2023-2024 学年河南省郑州市八年级（上）月考数学试卷（10 月
份）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．±9 B．9 C．±3 D．3
2．（3分）下列四组数中，不能构成直角三角形边长的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10
C．1，2，3 D．1， ，
3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3 分）由于台风的影响，一棵树在离地面 6m处折断，树顶落在离树干底部 8m处（不
包括树根）长度是（ ）
A．8m B．10m C．16m D．18m
5．（3分）在实数 ， ，0.1414， ， ，﹣ ，0.1010010001…（两个 1之间依次
增加 1个 0）中（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（3分）9的平方根是 x，64的立方根是 y，则 x+y的值为（ ）
A．7 B．1或 7 C．3或 7 D．3
7．（3分）如图，数轴上点 A所表示的数是（ ）
A． B．﹣ +1 C． +1 D． ﹣1
8．（3分）如图，正方形 ABCD由 9个边长为 1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫
格点，AF，则∠EAF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．35°
9．（3分）如图，正方形 ABCD的边长为 18，将正方形折叠，折痕为 GH．若 BE：EC＝2：
1，则线段 CH的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若 P，
则 PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（3分） 的相反数是 ．
12．（3分）若 x2＝8，则 x＝ ．
13．（3 分）如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 AC＝8，其中阴影
部分的面积是 ．
14．（3分）一个直角三角形的两边长是 3和 4，那么第三边的长是 ．
15．（3分）把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺
的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C ，则 CD
＝ ．
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 75 分）
16．（12分）计算：
（1） ；
（2）（ ）（ ）﹣6 ；
（3） ；
（4） +（﹣2 ）2﹣ ．
17．（8分）已知 2a+4的立方根是 2，3a+b﹣1的算术平方根是 4， 的整数部分是 c
18．（8分）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： ．
解：原式＝2+2 +1﹣4 …第一步
＝ …第二步
＝3…第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，
这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
19．（10分）（1）观察被开方数 a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空：x＝ ，y＝ ．
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ≈1.414，则 ≈ ， ≈ ；
② ＝0.274，记 的整数部分为 x，则 ＝ ．
20．（10分）图 1是某品牌婴儿车，图 2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 BC⊥
CD，现测得 AB＝CD＝6dm，AD＝9dm，其中 AB与 BD之间由一个固定为 90°的零件
连接（即∠ABD＝90°）
21．（10分）如图 1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股
定理，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 c2＝ ，化简便得结论 a2+b2＝c2．这
里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，
请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图 2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
（2）如图 3，在△ABC中，AD是 BC边上的高，AC＝5，BC＝6，求 x的值．
22．（7分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求
这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时（每个小正方形的边长为 1），再在网格中
画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示，而借用网
格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
（2）在图②中画△DEF，使 DE、EF、DF三边的长分别为 、 、 ，并判断这
个三角形的形状
23．（10分）已知：如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝90°，AD2+CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当 BE⊥AD于 E时，试证明：BE＝AE+CD．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±3）2＝3，
∴9的平方根是±3．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是 0；负数没有平方根．
2．【分析】先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可求解．
【解答】解：A、0.35+0.42＝0.55，能构成直角三角形；
B、62+22＝102，能构成直角三角形；
C、62+28≠32，不能构成直角三角形；
D、72+（ ）5＝（ ）2，能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关
键．
3．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否
则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母，故 A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式；
D、被开方数含分母；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不
含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得 BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形 ABC中，根据勾股定理得：AB＝ ．
所以大树的高度是 10+6＝16米．
故选：C．
【点评】熟练运用勾股定理．熟记 6，8，10是勾股数，简便计算．
5．【分析】由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．
【解答】解：在实数 ， ，3.1414， ， ，﹣ ，其中是无理数 ， ， ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开
不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．【分析】根据平方根与立方根的意义可得 x＝±3，y＝4，然后分两种情况进行计算，即
可解答．
【解答】解：∵9的平方根是 x，64的立方根是 y，
∴x＝±3，y＝8，
当 x＝3时，x+y＝3+3＝7；
当 x＝﹣3时，x+y＝﹣2+4＝1；
综上所述：x+y＝5或 1，
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
7．【分析】先根据勾股定理计算出 BC＝ ，则 BA＝BC＝ ，然后计算出 AD的长，接
着计算出 OA的长，即可得到点 A所表示的数．
【解答】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝6，CD＝1，
∴BC＝ ＝ ＝ ，
∴BA＝BC＝ ，
∴AD＝ ﹣2，
∴OA＝6+ ﹣2＝ ，
∴点 A表示的数为 ﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．
8．【分析】连接 EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到 AE，EF，AF的长度，
继而可得出∠EAF的度数．
【解答】解：连接 EF．
∴AE＝ ＝ ，EF＝ ＝ ＝ ．
∵AE6+EF2＝AF2，AE＝EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△AEF是等腰直角三角形是解决本题的
关键．
9．【分析】根据折叠可得 DH＝EH，在直角△CEH中，设 CH＝x，则 DH＝EH＝18﹣x，根
据 BE：EC＝2：1可得 CE＝6，可以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH的长．
【解答】解：设 CH＝x，则 DH＝EH＝18﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝18，
∴CE＝ BC＝6，
∴在 Rt△ECH中，EH4＝EC2+CH2，
即（18﹣x）7＝62+x7，
解得：x＝8，
即 CH＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．解
题时，常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x的代数式表示其他
线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10．【分析】过点 C作 CM⊥AB交 AB于点 M，交 AD于点 P，过点 P作 PQ⊥AC于点 Q，
由 AD是∠BAC的平分线．得出 PQ＝PM，这时 PC+PQ有最小值，即 CM的长度，运用
勾股定理求出 AB，再运用 S△ABC＝ AB CM＝ AC BC，得出 CM的值，即 PC+PQ的
最小值．
【解答】解：如图，过点 C作 CM⊥AB交 AB于点 M，过点 P作 PQ⊥AC于点 Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时 PC+PQ有最小值，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10．
∵S△ABC＝ AB CM＝ ，
∴CM＝ ＝ ＝ ，
即 PC+PQ的最小值为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足 PC+PQ有最小值时点 P
和 Q的位置．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．【分析】根据﹣33＝﹣27，可得出 的值，再由相反数的定义即可得出 的相
反数．
【解答】解： ＝﹣3 的相反数为：3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了立方根及相反数的知识，属于基础题，解答本题需要掌握相反数的
定义及立方根的求解方法．
12．【分析】利用平方根的性质即可求出 x的值．
【解答】解：∵x2＝8，
∴x＝± ＝±2 ，
故答案为±7 ．
【点评】本题考查平方根的性质，利用平方根的性质可求解这类型的方程：（x+a）2＝b．
13．【分析】先利用勾股定理求出 AB2＝BE2＝28，再利用勾股定理计算出 BE2＝EH2+BH2
＝28，根据 S 阴影＝S 正方形 ABED+S 正方形 EFGH+S 正方形 BHMN计算即可．
【解答】解：如图，
在 Rt△ABC中，AB2＝BE2＝AC4﹣BC2＝83﹣62＝28，
在 Rt△BEH中，BE6＝EH2+BH2＝28，
∴S 阴影＝S 正方形 ABED+S 正方形 EFGH+S 正方形 BHMN
＝AB6+EH2+BH2
＝28+28
＝56，
故答案为：56．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
14．【分析】由题意这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情
况进行讨论解答．
【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，斜边为 5；
（2）3为直角边，4为斜边，直角边为 ．
故答案为：5或 ．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理，关键要明确本题利用了分类讨论思想，是数学
中常用的一种解题方法．
15．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出
DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点 A作 AF⊥BC于 F，
在 Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝ AB＝2 AB＝1，
∵两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在 Rt△ADF中，根据勾股定理得 ＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+ ﹣8＝ ，
故答案为： ﹣2．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题
的关键．
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 75 分）
16．【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式，二次根式性质化简，合并即可得到结果；
（3）原式利用二次根式除法法则计算，即可得到结果；
（4）原式利用二次根式性质，除法法则计算，化简后合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2 ×6 +
＝10×3﹣2 +
＝30﹣ ；
（2）原式＝﹣（ ﹣ ）2﹣4×
＝﹣（7﹣2 +3）﹣2
＝﹣3+2 ﹣7﹣2
＝﹣7；
（3）原式＝ + ﹣2
＝ + ﹣2
＝2+5﹣2
＝1；
（4）原式＝3 +8﹣ ×
＝7 +8﹣
＝6 +8﹣
＝2 +8．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
17．【分析】根据乘方，可得 a，b的值，根据被开方数是越大算术平方根越大，可得答案 c，
根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：∵2a+4的立方根是 8，3a+b﹣1的算术平方根是 5，
∴2a+4＝7，3a+b﹣1＝16，
∴a＝8，b＝11，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝7×2﹣11+3＝﹣6
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数是越大算术平方根越大得出 c的
值是解题关键．
18．【分析】利用二次根式的运算法则求解，通过计算过程得结论．
【解答】解：∵原式＝2+2 +1﹣
＝2+2 +1﹣ ．
∴计算从第一步出现错误，出现错误的原因是被开方数 4 ，而不是 4× ．
故答案为：一，利用二次根式的性质化简 ．
正解：原式＝2+2 +1﹣
＝3+ ．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
19．【分析】（1）根据表格数据规律即可填空；
（2）①根据被开方数 a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律即可求解；
②根据被开方数 a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律即可得出 x的值，进
而求解．
【解答】解：（1）观察表格数据可知：
x＝ ＝0.2 ＝10；
故答案为：0.1；10；
（2）∵ ≈1.414，
∴ ≈14.14，
故答案为：14.14；4.1414；
（3）∵ ＝0.274，记 ，
∴x＝27，
则 ＝
故答案为 ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小、规律型﹣数字的变化，解决本题的关键是观察
被开方数 a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律，并运用规律．
20．【分析】在 Rt△ABD中，由勾股定理求出 BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理
逆定理判断即可．
【解答】解：在 Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB3＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD8＝32+52＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用
是解决问题的关键．
21．【分析】（1）先根据勾股定理先求出 AB，再根据“双求法”求出 CD的长度；
（2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出 AD，德关于 x的方程求解．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中 ，
由面积的两种算法可得： ，
解得：CD＝ ．
（2）在 Rt△ABD中 AD2＝72﹣x2＝16﹣x4，
在 Rt△ADC中 AD2＝58﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
所以 16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得 ＝ ．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．
22．【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可求出△ABC的面积；
（2）利用勾股定理和网格特点分别画出△DEF，然后根据勾股定理的逆定理证明此三角
形为直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣ ×1×7﹣ ×2×3＝ ；
故答案为 ；
（2）如图 2，△DEF为所作，
△DEF为直角三角形．理由如下：
∵DE＝ ，EF＝ ，
∴DE2+EF4＝DF2，
∴△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图
形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了
勾股定理的逆定理．
23．【分析】（1）根据勾股定理 AB2+BC2＝AC2，得出 AB2+BC2＝2AB2，进而得出 AB＝BC；
（2）首先证明 CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出 AE＝BF，进而证明结论．
【解答】证明：（1）连接 AC．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC8．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC6．
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AB2+BC5＝2AB2，
∴BC6＝AB2，
∵AB＞0，BC＞3，
∴AB＝BC．
（2）过 C作 CF⊥BE于 F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，
∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，
∴四边形 CDEF是矩形．
∴CD＝EF．
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴ ，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE＝BF．
∴BE＝BF+EF＝AE+CD．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形
CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．
