2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二下学期开学数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二下·武汉期中）设f （x）为可导函数，且满足 =﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
【答案】D
【知识点】极限及其运算；直线的斜率
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∴f′（1）=﹣2
即曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，
故选D．
【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率．
2．（2016高二下·黑龙江开学考）曲线 在x=0处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵曲线 ，
∴f′（x）= ，
∴当x=0时，f′（0）=﹣ ，
又切点坐标为（0， ），
∴所求切线方程为y﹣ =﹣ x，即y=﹣ x+ ．
故选A．
【分析】根据求导法则求出曲线方程的导函数，把入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．
3．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=xlnx，则（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）在 上是增函数
C．当x∈（0，1）时，f（x）有最小值
D．f（x）在定义域内无极值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，
f（x）min=f（ ）=﹣ ，
当x∈（0，1）时，f（x）有最小值﹣ ，
故选：C．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到答案．
4．（2016高二上·岳阳期中）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（ ）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，
∴ 或
② 当 时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；
②当 时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）
∴x∈（ ，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．
∴ ，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．
故选C．
【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．
5．（2016高二下·黑龙江开学考）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：
①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；
②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．
而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；
④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．
故选：B．
【分析】利用导数与函数之间的关系，函数的递增区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案．
6．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）= 在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f′（x）= ，
由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥ln 恒成立，
∴ln ≤0，即 ≤1，
∴a≥e
故选：C．
【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．
7．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=sinx+ex+x2015，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），则f2016（x）=（ ）
A．sinx+ex B．cosx+ex C．﹣sinx+ex D．﹣cosx+ex
【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：f1（x）=f′（x）=cosx+ex+2015x2014
f2（x）=f′1（x）=﹣sinx+ex+2015×2014×x2013
f3（x）=f′2（x）=﹣cosx+ex+2015×2014×2013x2012
f4（x）=f′3（x）=sinx+ex+2015×2014×2013×2012x2011
…
f2015（x）=﹣cosx+ex+2015!
f2016（x）=f′2015（x）=sinx+ex
故选：A．
【分析】利用三角函数，指数函数，幂函数的导数公式分别进行求导，找出规律即可．
8．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x），（x∈R）上任一点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函数f（x）的单调递减区间是（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，﹣1）和（1，2） D．[2，+∞）
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为函数f（x），（x∈R）上任一点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），
即函数在任一点（x0，y0）的切线斜率为k=（x0﹣2）（x02﹣1），即知任一点的导数为f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1）．
由f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1）＜0，得x＜﹣1或1＜x＜2，即函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）和（1，2）．
故选C．
【分析】由切线方程y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），可知任一点的导数为f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1），然后由f′（x）＜0，可求单调递减区间．
9．（2016高二下·黑龙江开学考）函数y= ﹣2sinx 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象
【解析】【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0
故函数图象过原点，
可排除A
又∵y'=
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C满足要求
故选C
【分析】根据函数 的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．
10．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x﹣2+ = ，
若函数f（x）有两个不同的极值点，
则g（x）=x2﹣2x+a在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得：0＜a＜1，
故选：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
11．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，则实数a范围是（ ）
A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=e（a﹣1）x+4x，
所以y′=（a﹣1）e（a﹣1）x+4（a＜1），
所以函数的极值点为x0= ，
因为函数y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，
所以x0= ＞0，即 ＜0，
解得：a＜﹣3．
故选B．
【分析】由题意可得：y′=（a﹣1）e（a﹣1）x+4（a＜1），即可得到函数的极值点为x0= ，所以x0= ＞0，进而求出a的范围．
12．（2016高二下·黑龙江开学考）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，
∴x∈（0， ），函数单调减，x∈（ ，π），函数单调增，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图像如下，
由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．
故选：B．
【分析】根据x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．
二、填空题
13．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围 ．
【答案】（﹣1，1）
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求一阶导数可得f'（x）=3x2﹣3a2，
两个极值点分别在x=a、x=﹣a，
代入函数，得f（a）=﹣2a3+1，f（﹣a）=2a3+1，
当a＞0时，f（a）＞3或f（﹣a）＜3，得出a＜1，
当a＜0时，f（a）＜3或f（﹣a）＞3，得出a＞﹣1，
当a=0时，显然成立；
则实数a的取值范围为：﹣1＜a＜1，
故答案为：（﹣1，1）．
【分析】要使函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
14．（2016高二下·黑龙江开学考）函数f（x）（x∈R）满足f（4）=2， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设F（x）=f（x）﹣ x，则F′（x）=f′（x）﹣ ，
∵f′（x）＜ ，∴F′（x）=f′（x）﹣ ＜0，
即函数F（x）在R上单调递减，
而f（x2）＜ + ，
即f（x2）﹣ ＜f（4）﹣ ，
∴F（x2）＜F（4）而函数F（x）在R上单调递减，
∴x2＞4即x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【分析】设F（x）=f（x）﹣ x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜ + ，可得f（x2）﹣ ＜f（4）﹣ ，最后根据单调性可求出x的取值范围
15．（2016高二下·黑龙江开学考）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 ．
【答案】4
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，
当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=± ，
①当x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞ 时，f（x）为递增函数．
所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（ ）≥0，即a ﹣3 +1≥0，解得a≥4，
由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．
【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．
16．（2016高二下·黑龙江开学考）我们把形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得 ，两边对x求导数，得 ，于是 ，运用此方法可以求得函数 在（1，1）处的切线方程是 ．
【答案】y=x
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：仿照题目给定的方法，f（x）=x，g（x）=x
所以f′（x）=1，g′（x）=1
所以，y′=（1×lnx+x ）xx，
∴y′ =（1×lnx+x ）xx =1，
即：函数 在（1，1）处的切线的斜率为1，
故切线方程为：y﹣1=x﹣1，即y=x
故答案为：y=x．
【分析】仔细分析题意，找出f（x），g（x），然后依据题意求函数的导数，利用导数的几何意义，求出切线方程即可．
三、解答题
17．（2016高二下·黑龙江开学考）已知a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a．
【答案】（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 2（1﹣ln2+a） 单调递增
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）
（2）证明：设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，
于是g′（x）=ex﹣2，x＞0．
由（1）知，当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
g（x）最小值为g（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（a﹣ln2+1）．
于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（ln2）＞0．
从而，当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间及极值；（2）设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，于是g′（x）=ex﹣2．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1﹣ln2+a）．于是当a＞ln2﹣1且x＞0时，都有g（x）＞0，即ex＞2x﹣2a．
18．（2016高二下·黑龙江开学考）已知f（x）=xex﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，
当a= 时，f′（x）=（x+1）ex﹣（x+1）=（x+1）（ex﹣1），
当x＞0或x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，
函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），单调递减区间为（﹣1，0）；
（2）解：若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，
即g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，
①a=0时，g（x）=x，显然不成立，
②故a＜0，g（x）=ax2+x开口向下，对称轴x=﹣ ，
﹣ ＜1即a＜﹣ 时，g（x）在[1，+∞）递减，
g（x）min=g（1）=a+1≤0，解得：a≤﹣1；
﹣ ≤a＜0时，g（x）在[1，﹣ ）递增，在（﹣ ，+∞）递减，
g（x）max=g（﹣ ）=﹣ ＞0，不成立，
综上：a≤﹣1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0时，不成立，a＜0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．
19．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣ 且关于x的方程f（x）=﹣ x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：f'（x）=﹣ （x＞0）
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．
则a≤ =在x＞0恒成立，
即a≤[ ﹣1]min x＞0
当x=1时， ﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]
（2）解：a=﹣ ，f（x）=﹣ x+b∴
设g（x）= 则g'（x）= 列表：
X （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）
g′（x） + 0 ﹣ 0 +
g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣ ，
又g（4）=2ln2﹣b﹣2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图像与x轴的交点的问题．
20．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵函数 ，
∴ （x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即 ，
解得 ．
（Ⅱ） （x＞0）．
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当 时， ，
在区间（0，2）和 上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和 ，单调递减区间是
③当 时， ，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当 时， ，在区间 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是 和（2，+∞），单调递减区间是 ．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①当 时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故 ．
②当 时，f（x）在 上单调递增，
在 上单调递减，
故 ．
由 可知 ，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，
综上所述，a＞ln2﹣1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由函数 ，知 （x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ） （x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二下学期开学数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二下·武汉期中）设f （x）为可导函数，且满足 =﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
2．（2016高二下·黑龙江开学考）曲线 在x=0处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=xlnx，则（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）在 上是增函数
C．当x∈（0，1）时，f（x）有最小值
D．f（x）在定义域内无极值
4．（2016高二上·岳阳期中）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（ ）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
5．（2016高二下·黑龙江开学考）下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
6．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）= 在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜
7．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=sinx+ex+x2015，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），则f2016（x）=（ ）
A．sinx+ex B．cosx+ex C．﹣sinx+ex D．﹣cosx+ex
8．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x），（x∈R）上任一点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函数f（x）的单调递减区间是（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，2]
C．（﹣∞，﹣1）和（1，2） D．[2，+∞）
9．（2016高二下·黑龙江开学考）函数y= ﹣2sinx 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1
11．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，则实数a范围是（ ）
A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C． D．
12．（2016高二下·黑龙江开学考）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
二、填空题
13．（2016高二下·黑龙江开学考）若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围 ．
14．（2016高二下·黑龙江开学考）函数f（x）（x∈R）满足f（4）=2， ，则不等式 的解集为 ．
15．（2016高二下·黑龙江开学考）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 ．
16．（2016高二下·黑龙江开学考）我们把形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得 ，两边对x求导数，得 ，于是 ，运用此方法可以求得函数 在（1，1）处的切线方程是 ．
三、解答题
17．（2016高二下·黑龙江开学考）已知a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a．
18．（2016高二下·黑龙江开学考）已知f（x）=xex﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求实数a的取值范围．
19．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=﹣ 且关于x的方程f（x）=﹣ x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
20．（2016高二下·黑龙江开学考）已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】极限及其运算；直线的斜率
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∴f′（1）=﹣2
即曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，
故选D．
【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率．
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵曲线 ，
∴f′（x）= ，
∴当x=0时，f′（0）=﹣ ，
又切点坐标为（0， ），
∴所求切线方程为y﹣ =﹣ x，即y=﹣ x+ ．
故选A．
【分析】根据求导法则求出曲线方程的导函数，把入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，
f（x）min=f（ ）=﹣ ，
当x∈（0，1）时，f（x）有最小值﹣ ，
故选：C．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到答案．
4．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，
∴ 或
② 当 时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；
②当 时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）
∴x∈（ ，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．
∴ ，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．
故选C．
【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．
5．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：
①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；
②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．
而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；
④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．
故选：B．
【分析】利用导数与函数之间的关系，函数的递增区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案．
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f′（x）= ，
由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥ln 恒成立，
∴ln ≤0，即 ≤1，
∴a≥e
故选：C．
【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：f1（x）=f′（x）=cosx+ex+2015x2014
f2（x）=f′1（x）=﹣sinx+ex+2015×2014×x2013
f3（x）=f′2（x）=﹣cosx+ex+2015×2014×2013x2012
f4（x）=f′3（x）=sinx+ex+2015×2014×2013×2012x2011
…
f2015（x）=﹣cosx+ex+2015!
f2016（x）=f′2015（x）=sinx+ex
故选：A．
【分析】利用三角函数，指数函数，幂函数的导数公式分别进行求导，找出规律即可．
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为函数f（x），（x∈R）上任一点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），
即函数在任一点（x0，y0）的切线斜率为k=（x0﹣2）（x02﹣1），即知任一点的导数为f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1）．
由f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1）＜0，得x＜﹣1或1＜x＜2，即函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1）和（1，2）．
故选C．
【分析】由切线方程y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），可知任一点的导数为f′（x）=（x﹣2）（x2﹣1），然后由f′（x）＜0，可求单调递减区间．
9．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象
【解析】【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0
故函数图象过原点，
可排除A
又∵y'=
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C满足要求
故选C
【分析】根据函数 的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．
10．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x﹣2+ = ，
若函数f（x）有两个不同的极值点，
则g（x）=x2﹣2x+a在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得：0＜a＜1，
故选：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
11．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数y=e（a﹣1）x+4x，
所以y′=（a﹣1）e（a﹣1）x+4（a＜1），
所以函数的极值点为x0= ，
因为函数y=e（a﹣1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，
所以x0= ＞0，即 ＜0，
解得：a＜﹣3．
故选B．
【分析】由题意可得：y′=（a﹣1）e（a﹣1）x+4（a＜1），即可得到函数的极值点为x0= ，所以x0= ＞0，进而求出a的范围．
12．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，
∴x∈（0， ），函数单调减，x∈（ ，π），函数单调增，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图像如下，
由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．
故选：B．
【分析】根据x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣ ）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．
13．【答案】（﹣1，1）
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求一阶导数可得f'（x）=3x2﹣3a2，
两个极值点分别在x=a、x=﹣a，
代入函数，得f（a）=﹣2a3+1，f（﹣a）=2a3+1，
当a＞0时，f（a）＞3或f（﹣a）＜3，得出a＜1，
当a＜0时，f（a）＜3或f（﹣a）＞3，得出a＞﹣1，
当a=0时，显然成立；
则实数a的取值范围为：﹣1＜a＜1，
故答案为：（﹣1，1）．
【分析】要使函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
14．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设F（x）=f（x）﹣ x，则F′（x）=f′（x）﹣ ，
∵f′（x）＜ ，∴F′（x）=f′（x）﹣ ＜0，
即函数F（x）在R上单调递减，
而f（x2）＜ + ，
即f（x2）﹣ ＜f（4）﹣ ，
∴F（x2）＜F（4）而函数F（x）在R上单调递减，
∴x2＞4即x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【分析】设F（x）=f（x）﹣ x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜ + ，可得f（x2）﹣ ＜f（4）﹣ ，最后根据单调性可求出x的取值范围
15．【答案】4
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，
当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=± ，
①当x＜﹣ 时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞ 时，f（x）为递增函数．
所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（ ）≥0，即a ﹣3 +1≥0，解得a≥4，
由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．
【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．
16．【答案】y=x
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：仿照题目给定的方法，f（x）=x，g（x）=x
所以f′（x）=1，g′（x）=1
所以，y′=（1×lnx+x ）xx，
∴y′ =（1×lnx+x ）xx =1，
即：函数 在（1，1）处的切线的斜率为1，
故切线方程为：y﹣1=x﹣1，即y=x
故答案为：y=x．
【分析】仔细分析题意，找出f（x），g（x），然后依据题意求函数的导数，利用导数的几何意义，求出切线方程即可．
17．【答案】（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 单调递减 2（1﹣ln2+a） 单调递增
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）
（2）证明：设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，
于是g′（x）=ex﹣2，x＞0．
由（1）知，当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
g（x）最小值为g（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（a﹣ln2+1）．
于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（ln2）＞0．
从而，当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞2x﹣2a
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间及极值；（2）设g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，于是g′（x）=ex﹣2．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1﹣ln2+a）．于是当a＞ln2﹣1且x＞0时，都有g（x）＞0，即ex＞2x﹣2a．
18．【答案】（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，
当a= 时，f′（x）=（x+1）ex﹣（x+1）=（x+1）（ex﹣1），
当x＞0或x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，
函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），单调递减区间为（﹣1，0）；
（2）解：若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，
即g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，
①a=0时，g（x）=x，显然不成立，
②故a＜0，g（x）=ax2+x开口向下，对称轴x=﹣ ，
﹣ ＜1即a＜﹣ 时，g（x）在[1，+∞）递减，
g（x）min=g（1）=a+1≤0，解得：a≤﹣1；
﹣ ≤a＜0时，g（x）在[1，﹣ ）递增，在（﹣ ，+∞）递减，
g（x）max=g（﹣ ）=﹣ ＞0，不成立，
综上：a≤﹣1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0时，不成立，a＜0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．
19．【答案】（1）解：f'（x）=﹣ （x＞0）
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．
则a≤ =在x＞0恒成立，
即a≤[ ﹣1]min x＞0
当x=1时， ﹣1取最小值﹣1
∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]
（2）解：a=﹣ ，f（x）=﹣ x+b∴
设g（x）= 则g'（x）= 列表：
X （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）
g′（x） + 0 ﹣ 0 +
g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣ ，
又g（4）=2ln2﹣b﹣2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则 ，得ln2﹣2＜b≤﹣
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图像与x轴的交点的问题．
20．【答案】解：（Ⅰ）∵函数 ，
∴ （x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即 ，
解得 ．
（Ⅱ） （x＞0）．
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当 时， ，
在区间（0，2）和 上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和 ，单调递减区间是
③当 时， ，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当 时， ，在区间 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是 和（2，+∞），单调递减区间是 ．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①当 时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故 ．
②当 时，f（x）在 上单调递增，
在 上单调递减，
故 ．
由 可知 ，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，
综上所述，a＞ln2﹣1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由函数 ，知 （x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ） （x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．
