2016-2017学年云南省德宏州芒市一中高二上学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·芒市期中）已知集合M={0，1，2，3}，N={1，3，4}，那么M∩N等于（ ）
A．{0} B．{0，1}
C．{1，3} D．{0，1，2，3，4}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合M={0，1，2，3}，N={1，3，4}，
所以M∩N={1，3}．
故选：C．
【分析】根据交集的定义进行计算即可．
2．（2016高二上·芒市期中）如图是某空间几何体的直观图，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体是一个正方体去掉一个角（三棱锥）得到的组合体，
故其俯视图的外框为一个正方形，
由于正方体上底面的对角线在俯视图中能看到，故应画为实线，
故选：B
【分析】由已知可得该几何体的侧视图的外轮廓为正方形，分析俯视图中斜向棱的虚实情况，比照答案后，可得答案．
3．（2016高二上·芒市期中）已知向量 与 的夹角为60°，且| |=2，| |=2，则 =（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据条件：
．
故选：A．
【分析】根据数量积的计算公式便可求出 的值．
4．（2016高二上·芒市期中）在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．y=lgx B．y=x2 C．y=x3 D．y=x+1
【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：A．y=lgx，其定义域为（0，+∞），关于原点不对称，因此不是偶函数．
B．f（x）=x2，定义域为R，∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），∴此函数是偶函数．
C．f（x）=x3，定义域为R，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），∴此函数是奇函数
D．f（﹣x）≠±f（x），为非奇非偶函数．
故选：B．
【分析】利用偶函数的定义即可判断出结论．
5．（2016高二上·芒市期中）已知圆x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与 B．（1，0）与
C．（1，0）与2 D．（﹣1，0）与2
【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3=0的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4，
圆的圆心（1，0），半径为2．
故选：C．
【分析】化简圆的方程为标准方程，即可得到结果．
6．（2016高二上·芒市期中）如图是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（ ）
A．87，86 B．83，85 C．88，85 D．82，86
【答案】A
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分78后，
所剩数据82，83，87，88，90的中位数是87，
平均数是 ×（82+83+87+88+90）=86．
故选：A．
【分析】根据所给的茎叶图看出7个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分和一个最低分后，把剩下的5个数求出中位数和平均数即可．
7．（2016高二上·芒市期中）化简cos222.5°﹣sin222.5°的值为（ ）
A． B．1 C．﹣ D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：cos222.5°﹣sin222.5°= ，
故选：D．
【分析】利用二倍角的余弦公式求得结果．
8．（2016高二上·芒市期中）一个算法的程序框图如图，当输入的x的值为﹣2时，输出的y值为（ ）
A．﹣2 B．1
C．﹣5 D．3是否开始输入x输出y结束
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟执行程序，可得算法的功能是求y= 的值，
由x=﹣2＜3，可得：y=2×（﹣2）﹣1=﹣5．
故选：C．
【分析】模拟执行程序，可得算法的功能是求y= 的值，由x的值为﹣2，即可计算得解．
9．（2016高二上·芒市期中）log2 +log27=（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：log2 +log27=log24﹣log27+log27=2．
故选：B．
【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．
10．（2016高二上·芒市期中）已知等差数列{an}中，a1=4，a2=6，则S4=（ ）
A．18 B．21 C．28 D．40
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=4，a2=6，则S4=4+6+8+10=28．
故选：C．
【分析】列出等差数列前4项，求和即可．
11．（2016高二上·芒市期中）把十进制数34化为二进制数为（ ）
A．101000 B．100100 C．100001 D．100010
【答案】D
【知识点】进位制
【解析】【解答】解：34÷2=17…0
17÷2=8…1
8÷2=4…0
4÷2=2…0
2÷2=1…0
1÷2=0…1
故34（10）=100010（2）
故选：D．
【分析】将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0为止，将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
12．（2016高二上·芒市期中）不等式4﹣x2＜0的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：4﹣x2＜0即为x2﹣4＞0
即（x﹣2）（x+2）＞0；
解得x＞2或x＜﹣2，
故不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）
故选：D
【分析】因式分解即可求出不等式的解集．
13．（2016高二上·芒市期中）某大学有A、B、C三个不同的校区，其中A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取900人参加一项活动，则A、B、C校区分别抽取（ ）
A．400人、300人、200人 B．350人、300人、250人
C．250人、300人、350人 D．200人、300人、400人
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，
则4000：3000：2000=4：3：2，
由分层抽样的定义得A校区中抽出的学生900× =400，
B校区中抽出的学生900× =300，
C校区中抽出的学生900× =200，
故选：A．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
14．（2016高二上·芒市期中）为了得到函数y=sin（3x+ ）的图象，只需要把函数y=sin（x+ ）的图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数y=sin（x+ ）的图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
可得函数y=sin（3x+ ）的图象，
故选：B．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
15．（2016高二上·芒市期中）已知α是第二象限角，且sinα= ，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα= ，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
则tanα= =﹣ ．
故选A
【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．
16．（2016高二上·芒市期中）若AD是△ABC的中线，已知 = ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴根据向量加法的四边形法则得， = ，
∵ = ， ，∴ = ．
故选B．
【分析】由题意和向量加法的四边形法则得， = ，再把已知条件代入即可．
17．（2016高二上·芒市期中）函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间为（ ）
A．（2，3） B．（3，4） C．（0，1） D．（1，2）
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣1单调递增，∴函数f（x）至多有一个零点．
而f（0.1）＜0，f（1）=﹣1＜0，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣1＞0．
∴f（2）f（3）＜0
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点．
故选：A．
【分析】利用函数的单调性和函数零点的判定定理即可得出．
18．（2016高二上·芒市期中）已知f（x）的定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上为减函数，则f（1）、f（﹣2）、f（3）的大小关系是（ ）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）的定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上为减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
则f（3）＞f（2）＞f（1），
即f（3）＞f（﹣2）＞f（1），
故选：D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
19．（2016高二上·芒市期中）有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】A
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：样本数据落在[10，12）内的频率为：1﹣（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，
∴样本数据落在[10，12）内的频数为0.18×100=18．
故选：A．
【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的 ，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，先求出[10，12）内的样本频率，再乘以样本容量就可求出频数
20．（2016高二上·芒市期中）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（ ）
A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：
x﹣2y+c=0，
把点（3，0）代入，3﹣0+c=0，
解得c=3，
∴经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是x﹣2y+3=0．
故选：B．
【分析】设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：x﹣2y+c=0，把点（3，0）代入，求出c．
二、填空题
21．（2016高二上·芒市期中）把二进制数101（2）化成十进制数为 ．
【答案】5
【知识点】带余除法
【解析】【解答】解：101（2）
=1+0×2+1×22
=1+4
=5（10）
故答案为：5．
【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．
22．（2016高二上·芒市期中）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，A=60°，a= ，B=30°，则b= ．
【答案】1
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由A=60°， ，
根据正弦定理 得：b= = = =1．
故答案为：1．
【分析】根据A和B的度数分别求出sinA和sinB的值，然后由sinA，sinB及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
23．（2016高二上·芒市期中）已知向量 =（1，2）， =（x，1），若 ⊥ ，则x= ．
【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：向量 =（1，2）， =（x，1），若 ⊥ ，
可得x+2=0，解得x=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】利用向量垂直的充要条件，列出方程求解即可．
24．（2016高二上·芒市期中）函数f（x）=（ ）x在区间[﹣2，﹣1]上的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： 在区间[﹣2，﹣1]为减函数，
∴f（x）min=f（﹣1）=2，
故答案为：2．
【分析】根据指数函数的单调性即可求出最值．
25．（2016高二上·芒市期中）圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的方程为 ．
【答案】（x﹣1）2+y2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的半径为：1，
所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1．
【分析】由题意求出圆的半径，直接写出圆的标准方程即可．
三、解答题
26．（2016高二上·芒市期中）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、，若C=45°，b=4 ，sinB= ．
（1）求c的值；
（2）求sinA的值．
【答案】（1）解：∵C=45°，b=4 ，sinB= ．
∴由正弦定理可得：c= = =5
（2）解：∵sinB= ，B为锐角，
∴cosB= = ，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= × + × =
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理即可解得c的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算求值得解．
27．（2016高二上·芒市期中）已知函数 ．
（1）在给定的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）求满足方程f（x）=4的x的值．
【答案】（1）解：函数 的图象如图所示
（2）解：由图象可知，f（x）=4时，x=﹣3，或x=5
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】描点作图即可，由图象可知，f（x）=4时，x=﹣3，或x=5
28．（2016高二上·芒市期中）如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱锥C﹣PAB的体积．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，
∴AC⊥BC，
∵P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，BC ⊙O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC
（2）解：∵AC=6，PA=AB=10，
∴BC= =8，
∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，
又PA 平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，
∴点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，
∵ = ，
∴d= = = ，
又S△PAB= =50，
∴三棱锥C﹣PAB的体积V= = =80
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由圆的性质得AC⊥BC，由线面垂直得BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAC．（2）由勾股和得BC=8，推导出平面PAB⊥平面ABC，从而点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，由此能求出三棱锥C﹣PAB的体积．
29．（2016高二上·芒市期中）已知圆x2+y2=5与直线2x﹣y﹣m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．
（1）求m的取值范围；
（2）若OA⊥OB，求实数m的值．
【答案】（1）解：∵圆x2+y2=5与直线2x﹣y﹣m=0相交于不同的两点A，B，
∴圆心到直线的距离d= ＜ ，
∴﹣5＜m＜5
（2）解：∵OA⊥OB，
∴圆心到直线的距离d= = × ，
∴m=±
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离d= ＜ ，求出实数m的取值范围；（2）若OA⊥OB，则圆心到直线的距离d= = × ，即可求实数m的值．
30．（2016高二上·芒市期中）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎么的变换得到？
【答案】（1）解：因为：f（x）=sinx+cosx= sin（x+ ）
所以：函数f（x）的最小正周期T= =2π，最大值为
（2）解：将y=sinx的图象向左平移 个单位得到y=sin（x+ ）的函数图象，
再将y=sin（x+ ）的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到y= sin（x+ ）
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式及正弦函数的性质即可得到结论．（2）根据函数的图象变换规律得出．
31．（2016高二上·芒市期中）已知数列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m为常数）
（1）当c=1，m=1时，求数列{an}的通项公式an；
（2）当c=2，m=﹣1时，证明：数列{an﹣1}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，记bn= ，Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．
【答案】（1）解：当c=1，m=1时，数列{an}中，a1=3，an+1=an+1，
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴an=3+（n﹣1）×1=n+2
（2）解：证明：当c=2，m=﹣1时，数列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1，
∴an+1﹣1=2（an﹣1），
又a1﹣1=3﹣1=2，
∴数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列
（3）解：∵数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，∴an=2n+1，
∴bn= = ，
∴Sn=b1+b2+…+bn=
= =1﹣ ＜1．
∴Sn＜1
【知识点】数列的递推公式
【解析】【分析】（1）当c=1，m=1时，数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，由此能求出an的表达式．（2）当c=2，m=﹣1时，an+1=2an﹣1，从而an+1﹣1=2（an﹣1），由此能证明数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列．（3）推导出an=2n+1，从而bn= = ，由此能证明Sn＜1．
2016-2017学年云南省德宏州芒市一中高二上学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·芒市期中）已知集合M={0，1，2，3}，N={1，3，4}，那么M∩N等于（ ）
A．{0} B．{0，1}
C．{1，3} D．{0，1，2，3，4}
2．（2016高二上·芒市期中）如图是某空间几何体的直观图，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高二上·芒市期中）已知向量 与 的夹角为60°，且| |=2，| |=2，则 =（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2016高二上·芒市期中）在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．y=lgx B．y=x2 C．y=x3 D．y=x+1
5．（2016高二上·芒市期中）已知圆x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．（﹣1，0）与 B．（1，0）与
C．（1，0）与2 D．（﹣1，0）与2
6．（2016高二上·芒市期中）如图是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（ ）
A．87，86 B．83，85 C．88，85 D．82，86
7．（2016高二上·芒市期中）化简cos222.5°﹣sin222.5°的值为（ ）
A． B．1 C．﹣ D．
8．（2016高二上·芒市期中）一个算法的程序框图如图，当输入的x的值为﹣2时，输出的y值为（ ）
A．﹣2 B．1
C．﹣5 D．3是否开始输入x输出y结束
9．（2016高二上·芒市期中）log2 +log27=（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
10．（2016高二上·芒市期中）已知等差数列{an}中，a1=4，a2=6，则S4=（ ）
A．18 B．21 C．28 D．40
11．（2016高二上·芒市期中）把十进制数34化为二进制数为（ ）
A．101000 B．100100 C．100001 D．100010
12．（2016高二上·芒市期中）不等式4﹣x2＜0的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
13．（2016高二上·芒市期中）某大学有A、B、C三个不同的校区，其中A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取900人参加一项活动，则A、B、C校区分别抽取（ ）
A．400人、300人、200人 B．350人、300人、250人
C．250人、300人、350人 D．200人、300人、400人
14．（2016高二上·芒市期中）为了得到函数y=sin（3x+ ）的图象，只需要把函数y=sin（x+ ）的图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变
15．（2016高二上·芒市期中）已知α是第二象限角，且sinα= ，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
16．（2016高二上·芒市期中）若AD是△ABC的中线，已知 = ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
17．（2016高二上·芒市期中）函数f（x）=lnx﹣1的零点所在的区间为（ ）
A．（2，3） B．（3，4） C．（0，1） D．（1，2）
18．（2016高二上·芒市期中）已知f（x）的定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上为减函数，则f（1）、f（﹣2）、f（3）的大小关系是（ ）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
19．（2016高二上·芒市期中）有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
20．（2016高二上·芒市期中）经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是（ ）
A．2x﹣y﹣6=0 B．x﹣2y+3=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y﹣3=0
二、填空题
21．（2016高二上·芒市期中）把二进制数101（2）化成十进制数为 ．
22．（2016高二上·芒市期中）在△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，A=60°，a= ，B=30°，则b= ．
23．（2016高二上·芒市期中）已知向量 =（1，2）， =（x，1），若 ⊥ ，则x= ．
24．（2016高二上·芒市期中）函数f（x）=（ ）x在区间[﹣2，﹣1]上的最小值为 ．
25．（2016高二上·芒市期中）圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的方程为 ．
三、解答题
26．（2016高二上·芒市期中）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、，若C=45°，b=4 ，sinB= ．
（1）求c的值；
（2）求sinA的值．
27．（2016高二上·芒市期中）已知函数 ．
（1）在给定的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）求满足方程f（x）=4的x的值．
28．（2016高二上·芒市期中）如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱锥C﹣PAB的体积．
29．（2016高二上·芒市期中）已知圆x2+y2=5与直线2x﹣y﹣m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．
（1）求m的取值范围；
（2）若OA⊥OB，求实数m的值．
30．（2016高二上·芒市期中）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎么的变换得到？
31．（2016高二上·芒市期中）已知数列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m为常数）
（1）当c=1，m=1时，求数列{an}的通项公式an；
（2）当c=2，m=﹣1时，证明：数列{an﹣1}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，记bn= ，Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合M={0，1，2，3}，N={1，3，4}，
所以M∩N={1，3}．
故选：C．
【分析】根据交集的定义进行计算即可．
2．【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体是一个正方体去掉一个角（三棱锥）得到的组合体，
故其俯视图的外框为一个正方形，
由于正方体上底面的对角线在俯视图中能看到，故应画为实线，
故选：B
【分析】由已知可得该几何体的侧视图的外轮廓为正方形，分析俯视图中斜向棱的虚实情况，比照答案后，可得答案．
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据条件：
．
故选：A．
【分析】根据数量积的计算公式便可求出 的值．
4．【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：A．y=lgx，其定义域为（0，+∞），关于原点不对称，因此不是偶函数．
B．f（x）=x2，定义域为R，∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），∴此函数是偶函数．
C．f（x）=x3，定义域为R，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），∴此函数是奇函数
D．f（﹣x）≠±f（x），为非奇非偶函数．
故选：B．
【分析】利用偶函数的定义即可判断出结论．
5．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3=0的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4，
圆的圆心（1，0），半径为2．
故选：C．
【分析】化简圆的方程为标准方程，即可得到结果．
6．【答案】A
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分78后，
所剩数据82，83，87，88，90的中位数是87，
平均数是 ×（82+83+87+88+90）=86．
故选：A．
【分析】根据所给的茎叶图看出7个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分和一个最低分后，把剩下的5个数求出中位数和平均数即可．
7．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：cos222.5°﹣sin222.5°= ，
故选：D．
【分析】利用二倍角的余弦公式求得结果．
8．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟执行程序，可得算法的功能是求y= 的值，
由x=﹣2＜3，可得：y=2×（﹣2）﹣1=﹣5．
故选：C．
【分析】模拟执行程序，可得算法的功能是求y= 的值，由x的值为﹣2，即可计算得解．
9．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：log2 +log27=log24﹣log27+log27=2．
故选：B．
【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．
10．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=4，a2=6，则S4=4+6+8+10=28．
故选：C．
【分析】列出等差数列前4项，求和即可．
11．【答案】D
【知识点】进位制
【解析】【解答】解：34÷2=17…0
17÷2=8…1
8÷2=4…0
4÷2=2…0
2÷2=1…0
1÷2=0…1
故34（10）=100010（2）
故选：D．
【分析】将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0为止，将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
12．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：4﹣x2＜0即为x2﹣4＞0
即（x﹣2）（x+2）＞0；
解得x＞2或x＜﹣2，
故不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）
故选：D
【分析】因式分解即可求出不等式的解集．
13．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，
则4000：3000：2000=4：3：2，
由分层抽样的定义得A校区中抽出的学生900× =400，
B校区中抽出的学生900× =300，
C校区中抽出的学生900× =200，
故选：A．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
14．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数y=sin（x+ ）的图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
可得函数y=sin（3x+ ）的图象，
故选：B．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
15．【答案】A
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα= ，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
则tanα= =﹣ ．
故选A
【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．
16．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴根据向量加法的四边形法则得， = ，
∵ = ， ，∴ = ．
故选B．
【分析】由题意和向量加法的四边形法则得， = ，再把已知条件代入即可．
17．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣1单调递增，∴函数f（x）至多有一个零点．
而f（0.1）＜0，f（1）=﹣1＜0，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣1＞0．
∴f（2）f（3）＜0
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点．
故选：A．
【分析】利用函数的单调性和函数零点的判定定理即可得出．
18．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）的定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上为减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
则f（3）＞f（2）＞f（1），
即f（3）＞f（﹣2）＞f（1），
故选：D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
19．【答案】A
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：样本数据落在[10，12）内的频率为：1﹣（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，
∴样本数据落在[10，12）内的频数为0.18×100=18．
故选：A．
【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的 ，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，先求出[10，12）内的样本频率，再乘以样本容量就可求出频数
20．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：
x﹣2y+c=0，
把点（3，0）代入，3﹣0+c=0，
解得c=3，
∴经过点B（3，0），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线的方程是x﹣2y+3=0．
故选：B．
【分析】设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为：x﹣2y+c=0，把点（3，0）代入，求出c．
21．【答案】5
【知识点】带余除法
【解析】【解答】解：101（2）
=1+0×2+1×22
=1+4
=5（10）
故答案为：5．
【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．
22．【答案】1
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由A=60°， ，
根据正弦定理 得：b= = = =1．
故答案为：1．
【分析】根据A和B的度数分别求出sinA和sinB的值，然后由sinA，sinB及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
23．【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：向量 =（1，2）， =（x，1），若 ⊥ ，
可得x+2=0，解得x=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】利用向量垂直的充要条件，列出方程求解即可．
24．【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： 在区间[﹣2，﹣1]为减函数，
∴f（x）min=f（﹣1）=2，
故答案为：2．
【分析】根据指数函数的单调性即可求出最值．
25．【答案】（x﹣1）2+y2=1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的半径为：1，
所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1．
【分析】由题意求出圆的半径，直接写出圆的标准方程即可．
26．【答案】（1）解：∵C=45°，b=4 ，sinB= ．
∴由正弦定理可得：c= = =5
（2）解：∵sinB= ，B为锐角，
∴cosB= = ，
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= × + × =
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理即可解得c的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算求值得解．
27．【答案】（1）解：函数 的图象如图所示
（2）解：由图象可知，f（x）=4时，x=﹣3，或x=5
【知识点】函数的图象
【解析】【分析】描点作图即可，由图象可知，f（x）=4时，x=﹣3，或x=5
28．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O上异于A、B的任意一点，
∴AC⊥BC，
∵P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，BC ⊙O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC
（2）解：∵AC=6，PA=AB=10，
∴BC= =8，
∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，
又PA 平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，
∴点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，
∵ = ，
∴d= = = ，
又S△PAB= =50，
∴三棱锥C﹣PAB的体积V= = =80
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由圆的性质得AC⊥BC，由线面垂直得BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAC．（2）由勾股和得BC=8，推导出平面PAB⊥平面ABC，从而点C到AB的距离d即为点C到平面PAB的距离，由此能求出三棱锥C﹣PAB的体积．
29．【答案】（1）解：∵圆x2+y2=5与直线2x﹣y﹣m=0相交于不同的两点A，B，
∴圆心到直线的距离d= ＜ ，
∴﹣5＜m＜5
（2）解：∵OA⊥OB，
∴圆心到直线的距离d= = × ，
∴m=±
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离d= ＜ ，求出实数m的取值范围；（2）若OA⊥OB，则圆心到直线的距离d= = × ，即可求实数m的值．
30．【答案】（1）解：因为：f（x）=sinx+cosx= sin（x+ ）
所以：函数f（x）的最小正周期T= =2π，最大值为
（2）解：将y=sinx的图象向左平移 个单位得到y=sin（x+ ）的函数图象，
再将y=sin（x+ ）的图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到y= sin（x+ ）
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式及正弦函数的性质即可得到结论．（2）根据函数的图象变换规律得出．
31．【答案】（1）解：当c=1，m=1时，数列{an}中，a1=3，an+1=an+1，
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴an=3+（n﹣1）×1=n+2
（2）解：证明：当c=2，m=﹣1时，数列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1，
∴an+1﹣1=2（an﹣1），
又a1﹣1=3﹣1=2，
∴数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列
（3）解：∵数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，∴an=2n+1，
∴bn= = ，
∴Sn=b1+b2+…+bn=
= =1﹣ ＜1．
∴Sn＜1
【知识点】数列的递推公式
【解析】【分析】（1）当c=1，m=1时，数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，由此能求出an的表达式．（2）当c=2，m=﹣1时，an+1=2an﹣1，从而an+1﹣1=2（an﹣1），由此能证明数列{an﹣1}为首项为2，公比为2的等比数列．（3）推导出an=2n+1，从而bn= = ，由此能证明Sn＜1．
