2023-2024学年八年级上学期人教版数学第十三章限时训练卷（轴对称）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
3．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（3分）如图，已知a∥b，截线c与直线a，b分别交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线b于点C，连接AC，若∠CAB＝50°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．75°
6．（3分）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（3分）如图，∠A＝90°，E为BC上一点，点A和E关于BD对称，点B和C关于DE对称，则∠C的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
8．（3分）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
9．（3分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF＝3，则BP＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为 ．
13．（4分）如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是 ．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，则BD＝ ．
15．（4分）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
16．（4分）如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 ．
17．（4分）如图所示，等腰三角形ABC的底边BC＝4，高AD为8，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，交AB于点E，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，∠CAE＝20°，求∠BAC的度数．
19．（6分）如图，BD＝BA，CE＝CA，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求△ADE的各内角的度数．
20．（6分）如图，C，D是∠AOB内两点，你能找到一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，并且到点C和点D的距离也相等吗？利用直尺和圆规作出这个点．
21．（8分）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）、B（﹣3，3）、C（﹣1，2）．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，在图中描出满足条件的P点（保留作图痕迹），并直接写出P点的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．
（1）求证：△ABD≌△ACD'．
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，且BC＝11cm，△BCD的周长等于26cm．
（1）求AC的长；
（2）若∠A＝36°，且BC＝BD，求证：AB＝AC．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝ °，∠DEC＝ °；
（2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．
25．（10分）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接AQ、CP交于点M，
①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，
①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．
2023-2024学年八年级上学期人教版数学第十三章限时训练卷（轴对称）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：根据图形知，A选项图形是轴对称图形，
故选：A．
2．【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2），
故选：D．
3．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故选：B．
4．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．
故选：C．
5．【解答】解：由题意，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠CAB＝50°，
∴，
故选：B．
6．【解答】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
方法2：根据面积公式，高相等得到边相等，即AB＝BC，
在△ABC中，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
7．【解答】解：∵点A和E关于BD对称，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵点B和C关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠C，
在△ABC中，∠A+∠ABD+∠DBE+∠C＝180°，
∵∠A＝90°，
∴90°+3∠C＝180°，
∴∠C＝30°．
故选：B．
8．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
9．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°．
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠CAE，
∴∠BPF＝∠ABP+∠BAP＝∠BAP+∠EAC＝∠BAC＝60°，
在Rt△BPF中，∠PBF＝90°﹣60°＝30°，
∴BP＝2PF＝6．
故选：A．
10．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，
∴AD＝12，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点即为P的，此时PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．【解答】解：如图，由题意，∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4（180°﹣120°）＝30°，
∴∠1＝30°，
故答案为30°
12．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：过点P作PM⊥AB与点M，
∵BD垂直平分线段AC，
∴AB＝CB，
∴∠ABD＝∠DBC，即BD为角平分线，
∵AE＝7cm，AP＝4cm，
∴AE﹣AP＝3cm，
又PM⊥AB，PE⊥CB，
∴PM＝PE＝3（cm）．
故答案为：3cm．
14．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
15．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2cm，
∴AB＝BC＝AC＝2cm，
∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，
∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC＝2+2+2＝6（cm）．
故答案为：6．
16．【解答】解：延长AP交BC于D，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AD，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
∴∠BAP＝∠BDP，
∴BA＝BD，
而BP⊥AD，
∴AP＝DP，
∴S△BPDS△ABD，S△PDCS△PDC，
∴S△PBC＝S△BPD+S△PDCS△ABC（cm2）．
故答案为：cm2．
17．【解答】解：连接AD，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD的长为BM+MD的最小值，BDBC，
∴△BDM的周长最短＝AD+BD＝ADBC＝10．
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．【解答】解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝20°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝70°，∠DAC＝2∠CAE＝40°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝70°，
∴，
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝40°+35°＝75°．
19．【解答】解：∵BD＝BA，
∴∠D＝∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D＝50°，
∴∠D＝25°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠ACB＝2∠E＝70°，
∴∠E＝35°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°，
故∠D＝25°，∠E＝35°，∠DAE＝120°．
20．【解答】解：如图，点P即为所求．
21．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）点P即为所求；P（﹣3，0）．
证明：取点A关于x轴的对称点A″，连接A″C交x轴于点P，
根据轴对称性质知：PA＝PA″，
∴PA+PC＝PA″+PC＝A″C，
根据两点之间线段最短知：PA+PC最小．
22．【解答】（1）证明：∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，
∴AD＝AD′，
在△ABD和△ACD′中，
，
∴△ABD≌△ACD′（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，
∴∠BAD＝∠CAD′，
∴∠DAD′＝∠BAC＝100°，
∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，
∴∠DAE＝∠D′AE∠DAD′＝50°，
即∠DAE＝50°．
23．【解答】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长等于26cm，
∴BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝26（cm），
∵BC＝11cm，
∴AC＝26﹣11＝15（cm）；
（2）证明：∵DA＝DB，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ABC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AB＝AC．
24．【解答】解：（1）∵∠B＝∠50°，∠BDA＝100°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣（180°﹣100°﹣50°）＝100°，
故答案为：30；100；
（2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE全等，
理由如下：∵∠C＝50°，
∴∠DEC+∠EDC＝130°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠ADB+∠EDC＝130°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）∵△ADE是等腰三角形，
∴当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∵∠C＝50°，
∴点E与点C重合，不符合题意，舍去；
当AD＝ED时，∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝115°；
当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE＝50°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝100°，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为115°或100°．
25．【解答】解：（1）①当△PBQ是直角三角形时，∠B＝60°，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，
∠PQB＝90°，此时BP＝2BQ，
可得3﹣t＝2t，
解得t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，此时BQ＝2BP，
可得t＝2（3﹣t），
解得：t＝2，
∴当t＝1或2时，△PBQ是直角三角形；
②不发生变化，∠CMQ＝60°．
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠MAC+∠MCA＝∠MAC+∠BAQ＝∠CAP＝60°，
∵∠CMQ＝∠MAC+∠MCA，
∴∠CMQ＝∠CAP＝60°，
故不发生变化，∠CMQ＝60°；
（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，
∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APD＝90°，
∴AD＝2AP，即AD＝2t，
∵AC＝AD+CD，
∴2t+t＝3，
解得t＝1，
故答案为t＝1时，△DCQ是等腰三角形；
②结论：面积相等，
理由：如图2中，作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，
∴∠G＝∠AEP，
在△EAP和△GCQ中，
，
∴△EAP≌△GCQ（AAS），
∴PE＝QG，
∴△PCD和△QCD同底等高，
∴△PCD和△QCD面积相等，
故答案为：△PCD和△QCD面积相等．
