广西壮族自治区南宁市第三中学2019-2020学年高二上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·南宁月考）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2019高二上·南宁月考）若双曲线 的离心率为2，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（2019高二上·南宁月考）若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高二上·南宁月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2019高二上·南宁月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019高二上·南宁月考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高一下·郑州期末）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
8．（2019高二上·南宁月考）设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 和 在 上是关联函数， 称为关联区间，若 与 在 上是关联函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018高一下·金华期末）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
10．（2018·南阳模拟）已知 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．6
11．（2019高二上·南宁月考）设棱锥 的底面是正方形，且 , 的面积为 ，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高二上·南宁月考）定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于 成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高二上·南宁月考）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则 的最大值为
14．（2019高二上·南宁月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为
15．（2019高二上·南宁月考）如图，在边长为2正方体 中， 为 的中点，点 在正方体表面上移动，且满足 ，则点 和满足条件的所有点 构成的图形的面积是 .
16．（2019高二上·南宁月考）某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽 至少应是 米．
三、解答题
17．（2019高二上·南宁月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且满足 .
（Ⅰ)求角 ；
（Ⅱ)若 的面积为 ， ，求边 .
18．（2019高二上·南宁月考）已知数列 为等差数列， 为 的前n项和，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，其前项和为 ，求证：
19．（2019高二上·南宁月考）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm到184cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组 ，第2组 ，...，第6组 ，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
20．（2019高二上·南宁月考）在四棱锥 中， ， ． 为 的中点．
（1）若点 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）当平面 平面 时，线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ？若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明理由．
21．（2019高二上·南宁月考）已知 为圆 ： 上的动点，过点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、 ，连接 延长至点 ，使得 ，记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 ： 与圆 相切，直线 ： 与曲线 相切，求 的取值范围.
22．（2019高二上·南宁月考）已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，且 的面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 在轴上存在点 得 ，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】依题意得： ，所以 ，故 ，
故答案为：C.
【分析】先求出集合A，得到，再利用交集的运算即可得结果.
2．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由 ，解得a=1或a=3
故答案为：D.
【分析】由已知双曲线的离心率为2列式，即可求出a的值.
3．【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值为 .
故答案为：C
【分析】先画出可行域，利用图象得到目标函数在点 处取得最大值，代入计算即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图得到的几何体如图所示，
该几何体是四棱锥，底面积 ，高 ，四棱锥的体积 ，故答案为：B．
【分析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当“ ”时，如 ， ，故不能推出“ ” .当“ ”时，必然有“ ”.故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 .
故答案为：B.
【分析】采用“ ”分段法，找到小于 、在 之间和大于 的数，由此判断出三者的大小关系.
7．【答案】C
【知识点】简单随机抽样；系统抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】抽样要保证机会均等，故从 名学生中抽取 名，概率为 ，
故答案为：C.
【分析】利用简凡随机抽样和系统抽样的方法求出每人入选的概率。
8．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数零点存在定理
【解析】【解答】∵ 与 在 上是“关联函数”，故函数 在 上有两个不同的零点，
故有 ∴∴
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 在 上有两个不同的零点，故有 ，由此求得 的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：数列 满足 ， ，
当 时，
两式作商可得： ，
∴数列 的奇数项 ，成等比，
偶数项 ，成等比，
对于A来说， ，错误；
对于B来说，
，正确；
对于C来说，数列 是等比数列 ，错误；
对于D来说，数列 是等比数列，错误，
故答案为：B
【分析】利用条件，判断数列的奇数项、偶数项分别成等比数列，再结合选项，即可得出结论。
10．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则
，
故答案为：C.
【分析】结合椭圆和双曲线的基本性质，并利用基本不等式，即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解： ， ，
平面 ，
由此，面 面 ．
记 是 的中点，从而 ．
平面 ， ．
设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球．
不妨设 平面 ，于是 是 的内心．
设球 的半径为 ，则
设 ，
所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
当 时，满足条件的最大半径为 .
故答案为：B
【分析】设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设 ，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值．
12．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】由已知条件知函数 为奇函数且在 上为减函数,由 有 ,所以 ， ,若以 为横坐标, 为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,
阴影部分为不等式 表示的平面区域,即 及其内部, ,令 ,则 ,求出 ,所以 ,解得 ,∴ 的取值范围是 ,
故答案为：D.
【分析】由已知函数 为奇函数且在 上为减函数，得到，再建立平面直角坐标系，画出不等式 表示的平面区域，令，利用直线的斜率范围列式，即可求出结果.
13．【答案】
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，
设 ，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1， 的最大值，
就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即： ，
解得k ，所求 的最大值为： ．
故答案为 ．
【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．
14．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】焦点在 轴上，且满足分母大于0，所以
解得k的范围为
即
【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在 轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。
15．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】取 ， 的中点分别为 ，连结 ，
由于 ，所以 四点共面，且四边形 为梯形，
因为 ，所以 面 ，
因为点 在正方体表面上移动，所以点 的运动轨迹为梯形 ，如图所示：
因为正方体 的边长为2，所以 ，
所以梯形 为等腰梯形，所以 。
【分析】点 满足 ，且在正方体的表面上，所以点 只能在面 、面 、面 、面 内。
16．【答案】32
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，当点 在椭圆上时， ，解得 车辆高度不超过 米， ，即拱宽至少 ，
故答案为 .
【分析】先由已知设出椭圆方程 ，利用点 在椭圆上代入解得 ，得到椭圆方程，再由车辆高度不超过 米列式，即可求出拱宽 的最小值.
17．【答案】解：（Ⅰ)由 得：
∴
∴ 又
∴ ，即 .又 ，∴
（Ⅱ)∵ 的面积为 ，∴∴
又 ，
∴ ，即
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，结合范围 ，可得 ．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得： ，进而根据余弦定理可得 的值．
18．【答案】（1）解：设公差为d，则由 得，
解得 .
所以 .
（2）解：
易知 随着n的增大而增大，所以
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）先根据已知求出 ，即得数列 的通项公式；（2）先利用裂项相消求出 ，再证明 .
19．【答案】（1）解：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率 .
（2）解：第5组有 （人），记为a，b，c，d，同理第6组有 ＝2（人）记为A，B，所有的情况为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有 、 、 、 、 、 、 、 、 共9种，所以所求概率为 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率 .（2）先求出第5组有4人，第6组有2，分别编号后利用列举法知，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有,1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式可得结果.
20．【答案】（1）解：连接 ， ．由已知得， 为等边三角形， ．
∵ ， ，由余弦定理可得：
∴
∴ ，∴
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ．
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 ．
∵ ， 平面
∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，∴ 平面 ．
（2）解：取 中点为 ，连接 ,
因为 ， ，所以 ， ．
∵平面 平面 ，且交线为 ， ， 面
∴ 平面 ．
， ，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直角坐标系 ．
， ， ， ， ．
设 ， 则可得
∵ 平面
∴平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量为 ．
∵ ，
由 得
取 得
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
化简得： ，解得 (舍)，
∴ ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明 平面 ， 平面 ，由面面平行的判定定理得到平面 平面 ，再由面面平行的性质即可得到 平面 ；(2) 以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，利用向量法求解即可.
21．【答案】（1）解：设 ， ，则 ， ，且 ，
因为 ，即 ，∴ ，代入 ，得 ，故曲线 的方程为 .
（2）解：∵ 与圆 相切，∴圆心 到 的距离 ，得 ，①
联立 ，消去 整理得 ，由 ，得 ，②
由①②得 ， ，故
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；圆的切线方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设出 ， ，根据向量关系 得到 坐标之间的关系，然后由 在圆上求解出曲线 的方程；（2）直线与圆相切得到圆心到直线的距离为半径，据此求解出等量关系；再利用直线与椭圆相切求解出另一个等量关系，两等式联立得到 的表示，并求解出取值范围.
22．【答案】（1）解：由题，当点P在上下顶点时，三角形 的面积最大，可得 ，
即可得 ，解得
椭圆 的方程为 .
（2）解：由 消去 整理 得，
且
设 ，线段 的中点为
则 .
在 轴上存在 点，使得 ，
，即 ，
因为
，当且仅当 且 ，即 时等号成立.
，故 ，
实数 的取值范围为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）当点P在上下顶点时，三角形 的面积最大，再根据离心率求得a、b、c的值，可得方程；（2）联立方程，解方程组，再由题 在轴上存在点 得 ，转化为 ，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围.
广西壮族自治区南宁市第三中学2019-2020学年高二上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·南宁月考）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】依题意得： ，所以 ，故 ，
故答案为：C.
【分析】先求出集合A，得到，再利用交集的运算即可得结果.
2．（2019高二上·南宁月考）若双曲线 的离心率为2，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由 ，解得a=1或a=3
故答案为：D.
【分析】由已知双曲线的离心率为2列式，即可求出a的值.
3．（2019高二上·南宁月考）若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值为 .
故答案为：C
【分析】先画出可行域，利用图象得到目标函数在点 处取得最大值，代入计算即可得结果.
4．（2019高二上·南宁月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图得到的几何体如图所示，
该几何体是四棱锥，底面积 ，高 ，四棱锥的体积 ，故答案为：B．
【分析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可.
5．（2019高二上·南宁月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当“ ”时，如 ， ，故不能推出“ ” .当“ ”时，必然有“ ”.故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.
6．（2019高二上·南宁月考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 .
故答案为：B.
【分析】采用“ ”分段法，找到小于 、在 之间和大于 的数，由此判断出三者的大小关系.
7．（2019高一下·郑州期末）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
【答案】C
【知识点】简单随机抽样；系统抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】抽样要保证机会均等，故从 名学生中抽取 名，概率为 ，
故答案为：C.
【分析】利用简凡随机抽样和系统抽样的方法求出每人入选的概率。
8．（2019高二上·南宁月考）设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 和 在 上是关联函数， 称为关联区间，若 与 在 上是关联函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数零点存在定理
【解析】【解答】∵ 与 在 上是“关联函数”，故函数 在 上有两个不同的零点，
故有 ∴∴
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 在 上有两个不同的零点，故有 ，由此求得 的取值范围.
9．（2018高一下·金华期末）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：数列 满足 ， ，
当 时，
两式作商可得： ，
∴数列 的奇数项 ，成等比，
偶数项 ，成等比，
对于A来说， ，错误；
对于B来说，
，正确；
对于C来说，数列 是等比数列 ，错误；
对于D来说，数列 是等比数列，错误，
故答案为：B
【分析】利用条件，判断数列的奇数项、偶数项分别成等比数列，再结合选项，即可得出结论。
10．（2018·南阳模拟）已知 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则
，
故答案为：C.
【分析】结合椭圆和双曲线的基本性质，并利用基本不等式，即可得出答案。
11．（2019高二上·南宁月考）设棱锥 的底面是正方形，且 , 的面积为 ，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解： ， ，
平面 ，
由此，面 面 ．
记 是 的中点，从而 ．
平面 ， ．
设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球．
不妨设 平面 ，于是 是 的内心．
设球 的半径为 ，则
设 ，
所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
当 时，满足条件的最大半径为 .
故答案为：B
【分析】设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设 ，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值．
12．（2019高二上·南宁月考）定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于 成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】由已知条件知函数 为奇函数且在 上为减函数,由 有 ,所以 ， ,若以 为横坐标, 为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,
阴影部分为不等式 表示的平面区域,即 及其内部, ,令 ,则 ,求出 ,所以 ,解得 ,∴ 的取值范围是 ,
故答案为：D.
【分析】由已知函数 为奇函数且在 上为减函数，得到，再建立平面直角坐标系，画出不等式 表示的平面区域，令，利用直线的斜率范围列式，即可求出结果.
二、填空题
13．（2019高二上·南宁月考）已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则 的最大值为
【答案】
【知识点】直线的斜率；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，
设 ，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1， 的最大值，
就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即： ，
解得k ，所求 的最大值为： ．
故答案为 ．
【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．
14．（2019高二上·南宁月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】焦点在 轴上，且满足分母大于0，所以
解得k的范围为
即
【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在 轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。
15．（2019高二上·南宁月考）如图，在边长为2正方体 中， 为 的中点，点 在正方体表面上移动，且满足 ，则点 和满足条件的所有点 构成的图形的面积是 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】取 ， 的中点分别为 ，连结 ，
由于 ，所以 四点共面，且四边形 为梯形，
因为 ，所以 面 ，
因为点 在正方体表面上移动，所以点 的运动轨迹为梯形 ，如图所示：
因为正方体 的边长为2，所以 ，
所以梯形 为等腰梯形，所以 。
【分析】点 满足 ，且在正方体的表面上，所以点 只能在面 、面 、面 、面 内。
16．（2019高二上·南宁月考）某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽 至少应是 米．
【答案】32
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，当点 在椭圆上时， ，解得 车辆高度不超过 米， ，即拱宽至少 ，
故答案为 .
【分析】先由已知设出椭圆方程 ，利用点 在椭圆上代入解得 ，得到椭圆方程，再由车辆高度不超过 米列式，即可求出拱宽 的最小值.
三、解答题
17．（2019高二上·南宁月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且满足 .
（Ⅰ)求角 ；
（Ⅱ)若 的面积为 ， ，求边 .
【答案】解：（Ⅰ)由 得：
∴
∴ 又
∴ ，即 .又 ，∴
（Ⅱ)∵ 的面积为 ，∴∴
又 ，
∴ ，即
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，结合范围 ，可得 ．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得： ，进而根据余弦定理可得 的值．
18．（2019高二上·南宁月考）已知数列 为等差数列， 为 的前n项和，
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，其前项和为 ，求证：
【答案】（1）解：设公差为d，则由 得，
解得 .
所以 .
（2）解：
易知 随着n的增大而增大，所以
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）先根据已知求出 ，即得数列 的通项公式；（2）先利用裂项相消求出 ，再证明 .
19．（2019高二上·南宁月考）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm到184cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组 ，第2组 ，...，第6组 ，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
【答案】（1）解：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率 .
（2）解：第5组有 （人），记为a，b，c，d，同理第6组有 ＝2（人）记为A，B，所有的情况为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有 、 、 、 、 、 、 、 、 共9种，所以所求概率为 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率 .（2）先求出第5组有4人，第6组有2，分别编号后利用列举法知，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有,1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式可得结果.
20．（2019高二上·南宁月考）在四棱锥 中， ， ． 为 的中点．
（1）若点 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）当平面 平面 时，线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ？若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接 ， ．由已知得， 为等边三角形， ．
∵ ， ，由余弦定理可得：
∴
∴ ，∴
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ．
又∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 ．
∵ ， 平面
∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，∴ 平面 ．
（2）解：取 中点为 ，连接 ,
因为 ， ，所以 ， ．
∵平面 平面 ，且交线为 ， ， 面
∴ 平面 ．
， ，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直角坐标系 ．
， ， ， ， ．
设 ， 则可得
∵ 平面
∴平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量为 ．
∵ ，
由 得
取 得
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
化简得： ，解得 (舍)，
∴ ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明 平面 ， 平面 ，由面面平行的判定定理得到平面 平面 ，再由面面平行的性质即可得到 平面 ；(2) 以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，利用向量法求解即可.
21．（2019高二上·南宁月考）已知 为圆 ： 上的动点，过点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、 ，连接 延长至点 ，使得 ，记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 ： 与圆 相切，直线 ： 与曲线 相切，求 的取值范围.
【答案】（1）解：设 ， ，则 ， ，且 ，
因为 ，即 ，∴ ，代入 ，得 ，故曲线 的方程为 .
（2）解：∵ 与圆 相切，∴圆心 到 的距离 ，得 ，①
联立 ，消去 整理得 ，由 ，得 ，②
由①②得 ， ，故
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；圆的切线方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设出 ， ，根据向量关系 得到 坐标之间的关系，然后由 在圆上求解出曲线 的方程；（2）直线与圆相切得到圆心到直线的距离为半径，据此求解出等量关系；再利用直线与椭圆相切求解出另一个等量关系，两等式联立得到 的表示，并求解出取值范围.
22．（2019高二上·南宁月考）已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，且 的面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 在轴上存在点 得 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题，当点P在上下顶点时，三角形 的面积最大，可得 ，
即可得 ，解得
椭圆 的方程为 .
（2）解：由 消去 整理 得，
且
设 ，线段 的中点为
则 .
在 轴上存在 点，使得 ，
，即 ，
因为
，当且仅当 且 ，即 时等号成立.
，故 ，
实数 的取值范围为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）当点P在上下顶点时，三角形 的面积最大，再根据离心率求得a、b、c的值，可得方程；（2）联立方程，解方程组，再由题 在轴上存在点 得 ，转化为 ，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围.
