河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·鸡泽月考）函数y=cos(2x+1)的导数是（ ）
A．y′=sin(2x+1) B．y′=-2xsin(2x+1)
C．y′=-2sin(2x+1) D．y′=2xsin(2x+1)
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】=-sin(2x+1)·(2x+1)'=-2sin(2x+1)，
故答案为：C。
【分析】利用复合函数求导数的方法，从而求出函数y=cos(2x+1)的导数。
2．（2019高二上·鸡泽月考）已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】复数 ，
则由复数除法运算化简可得
，
所以由复数模的定义可得 ，
故答案为：D.
【分析】根据复数的除法运算，化简可得 .由复数模的定义即可求得 .
3．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 在 处的导数为l，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为 ，且函数 在 处的导数为l，所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.
4．（2016高一下·宝坻期末）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 1 2 3 4 5
y 5 6 7 8 10
由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）
A．26.2 B．27 C．27.6 D．28.2
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵由表格可知 =3， =7.2，
∴这组数据的样本中心点是（3，7.2），
根据样本中心点在线性回归直线上，
∴7.2=a+1.2×3，
∴a=3.6，
∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.2x+3.6，
∵x=20，
∴y=1.2×20+3.6=27.6．
故选：C．
【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程，代入x的值，预报出结果．
5．（2019高二上·鸡泽月考）已知椭圆 的焦距为4，则实数 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当椭圆 的焦点在 轴上时， ，解得 ；
当椭圆 的焦点在 轴上时， ，无解，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】分为椭圆的焦点在 轴上和焦点在 轴上两种情形，分别根据椭圆中 所具有的性质列出关于 的方程，解出即可.
6．（2019·吉林模拟）过双曲线 的左焦点作倾斜角为 的直线 ，若 与 轴的交点坐标为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意设直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为 ，可得 与 轴的交点坐标，得到 结合 计算即可．
7．（2019高二上·鸡泽月考）对函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 ，（ ）
所以 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 内单调递减；
当 时， ，所以 在 内单调递增；
所以 在 处取得最小值，即 ，
故答案为：B.
【分析】先求得导函数，并求得极值点.利用导函数符号，判断极值点左右两侧的单调性，即可确定极值.
8．（2019高三上·佛山月考）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，求导得 ，
令 可得 ，故在区间 上 ， 单调递减；在区间 上 ， 单调递增。
故 ，
又当 趋近于正无穷大时， 趋近于正无穷大，故函数的值域为 ，
故答案为：C。
【分析】 中带有对数函数，故考虑求导分析单调性，进而求出最大最小值再算出值域.
9．（2019高二上·鸡泽月考）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
结合函数图象可知，导函数 在 内与 轴有4个交点，但在 两侧均为单调递增函数，因而 不是极值点，
所以 在开区间 内极值点有3个，
故答案为：C
【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断 在开区间 内极值点个数.
10．（2019高二上·鸡泽月考）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为函数 是奇函数，排除B D，
当 时， ，
所以 时，函数是增函数，排除C
.故答案为：A.
【分析】由函数 是奇函数，排除B D， 时， ，所以 时，函数是增函数，排除C.得到结论..
11．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令 ,
则
即 在定义域 上单调递增
即
故 正确，
故答案为：
【分析】构造函数 ，求出其导函数说明其单调性，得到不等关系.
12．（2019高三上·烟台期中）已知函数 的图象在 处的切线与函数 的图象相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 ，得 ，则 ，
又 ，所以函数 的图象在 处的切线为 ，即 .
设 与函数 的图象相切于点 ，
由 ，可得
解得 .
故答案为：B.
【分析】先求函数 的图象在 处的切线，再根据该切线也是函数 图象的切线，设出切点即可求解.
二、填空题
13．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 的最小值为1，则 ．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 取得极小值，亦即最小值，即 ，因此， .
故答案为ln2.
【分析】利用导数求出函数 的最小值，结合题中条件可求出实数 的值.
14．（2019高二上·鸡泽月考）已知 在 处有极小值为10, 求 .
【答案】15
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑，
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10，
当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值，
∴a=4，b=﹣11，且f（1）=10是极小值，
此时
故答案为15。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用已知条件函数 在 处有极小值为10，从而求出a,b的值，进而求出a-b的值。
15．（2019高三上·广东月考）若 ，则曲线 在点 处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，
，则 ，即 ．
，则 ．
曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
【分析】对函数进行求导，令 求得 ，从而得到函数解析式，进一步求得 ，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程．
16．（2019高二上·鸡泽月考）若函数 在定义域内有递减区间，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】根据题意，函数 ，其导数 ，
若函数 在定义域内存在单调递减区间，
则 在 上有解；
若 ，变形可得 ，
则 在 上能成立，
设 ，则 ，则 ，
则必有 ，
故 的取值范围为 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知 在 内能成立，利用参变量分离法，转化为 在 上能成立，设 ，利用换元法分析可得答案．
三、解答题
17．（2019高二上·鸡泽月考）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对 年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组： ， ， ， ， ，并整理得到频率分布直方图：
（1）求图中的a值；
（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；
（3）由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄．
【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质可得
，
解得
（2）解：第二组、第三组、第四组的频率比为 ，
因为共抽取8人，
所以三个组依次抽取的人数为2，4，2
（3）解：根据频率分布直方图的性质，
每组的中间值乘以对应的频率再相加，得到总体的平均值
∴被调查人员的平均年龄为47岁
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据频率之和为 ，将每组对应的纵坐标相加后，再乘以组距等于 ，得到 的值；（2）根据第二、三、四组的频率之比得到分层抽样的比例，再得到每组所抽取的人数，得到答案；（3）利用每组中间值和每组的频率得到所有被调查人员的平均年龄.
18．（2019高三上·南宁月考）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差为1，求m的值.
【答案】（1）解：
若 当 时， ；
当 时. ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减
若 . 在R上单调递增
若 ，当 时， ；当 时. ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）解：由（1）可知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
则
又 ，所以
所以 ，故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） ，分 ， 和 三种情况讨论求函数的单调区间；（2）由（1）可知，在 上单调递减， 上单调递增，根据单调性求最值，根据条件 列方程求 的值.
19．（2019高二上·鸡泽月考） ， .
（1）若 的单调递减区间为 ，求 的值.
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 的单调递减区间为 ，
∴ ， 是方程 的两个根，
∴ ，
解得
（2）解：不等式 恒成立，
即 恒成立，
∵ ，∴ 在 上恒成立，
令 ， ，
则 最大值，
又 ， ；
则当 时， ；
当 时， ；
∴ 在 上递增，在 上递减，
∴ 最大值为 ；
∴ 取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得导函数 ，根据一元二次方程与不等式关系，即可求得 的值.（2）将 及 代入不等式，化简并分离参数 ，构造函数 ，求得 ，根据 符号判断 的单调性，并求得最大值，即可求得 的取值范围.
20．（2019高二上·鸡泽月考）抛物线 的焦点为 ，斜率为正的直线 过点 交抛物线于 、 两点，满足 .
（1）求直线 的斜率；
（2）过焦点 与 垂直的直线交抛物线于 、 两点，求四边形 的面积.
【答案】（1）解：依题意知 ，设直线 的方程为 ， ；
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ；
消去 得 .设 ， ；
所以 ， ； ①
因为 ，得 ； ②
联立①和②，消去 ， ，得 ，
又 ，则 ；
故直线 的斜率是
（2）解：由条件有 ，
∴直线 的斜率 ；
则直线 的方程 ；
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ；
化简可得 ；
设 ， ，
∴ ；
∴ ；
由（1）知 ；
∴ ；
；
所以 ，
四边形 的面积为81
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 的方程，联立直线与抛物线方程，化简后由韦达定理表示出 ， ，根据 可由向量的坐标关系求得参数，得直线方程的斜率.（2）根据题意，表示出直线 的方程，联立抛物线可得 ，由（1）可求得 ，即可由对角线互相垂的性质直求得四边形 的面积.
21．（2019高二上·鸡泽月考）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， 为 的中点， 平面 且 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接 ，
由于 是 的中点，而四边形 是平行四边形，所以 是 的中点.由于 是 的中点，所以在三角形 中， 是中位线，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
（2）解：由于底面 是平行四边形， ， ，所以三角形 是等边三角形，所以 ，所以四边形 是菱形，对角线 相互垂直平分.由于 平面 ，所以 .以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.则 .所以 ，平面 的法向量为 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接 ，证得 是 的中点.根据中位线证得 ，由此证得 平面 .（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，利用直线 的方向向量和平面 的法向量，计算出直线 与平面 所成角的正弦值.
22．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 ， ，
（1）当 时，求函数 的最小值．
（2）当 时，对于两个不相等的实数 ， ，有 ，求证： ．
【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ，由 得 ；由 得 ；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴
（2）解：当 时， ，
对于两个不相等的实数 ， ，有 ，
∵ ，
由 得 ；由 得 ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，
令 ，
∴ ，
当 时， ， ， ，
∴ ，
∴ 在 单调递减，
∴ ，即 ，
因为 ，则 ，
由以上可知 ，
∵ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
又 ， ， 在 上单调递减，
所以 ，
因此 .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先由 得 ，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由 ，得到 ，对函数 求导，得到其单调区间，再设 ，令 ，用导数的方法研究函数 的单调性，进而可证明结论成立.
河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·鸡泽月考）函数y=cos(2x+1)的导数是（ ）
A．y′=sin(2x+1) B．y′=-2xsin(2x+1)
C．y′=-2sin(2x+1) D．y′=2xsin(2x+1)
2．（2019高二上·鸡泽月考）已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 在 处的导数为l，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
4．（2016高一下·宝坻期末）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 1 2 3 4 5
y 5 6 7 8 10
由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）
A．26.2 B．27 C．27.6 D．28.2
5．（2019高二上·鸡泽月考）已知椭圆 的焦距为4，则实数 （ ）
A． 或 B． C． D． 或
6．（2019·吉林模拟）过双曲线 的左焦点作倾斜角为 的直线 ，若 与 轴的交点坐标为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·鸡泽月考）对函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
8．（2019高三上·佛山月考）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高二上·鸡泽月考）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2019高二上·鸡泽月考）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019高三上·烟台期中）已知函数 的图象在 处的切线与函数 的图象相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 的最小值为1，则 ．
14．（2019高二上·鸡泽月考）已知 在 处有极小值为10, 求 .
15．（2019高三上·广东月考）若 ，则曲线 在点 处的切线方程是 ．
16．（2019高二上·鸡泽月考）若函数 在定义域内有递减区间，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2019高二上·鸡泽月考）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对 年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组： ， ， ， ， ，并整理得到频率分布直方图：
（1）求图中的a值；
（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；
（3）由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄．
18．（2019高三上·南宁月考）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差为1，求m的值.
19．（2019高二上·鸡泽月考） ， .
（1）若 的单调递减区间为 ，求 的值.
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.
20．（2019高二上·鸡泽月考）抛物线 的焦点为 ，斜率为正的直线 过点 交抛物线于 、 两点，满足 .
（1）求直线 的斜率；
（2）过焦点 与 垂直的直线交抛物线于 、 两点，求四边形 的面积.
21．（2019高二上·鸡泽月考）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， 为 的中点， 平面 且 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
22．（2019高二上·鸡泽月考）已知函数 ， ，
（1）当 时，求函数 的最小值．
（2）当 时，对于两个不相等的实数 ， ，有 ，求证： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】=-sin(2x+1)·(2x+1)'=-2sin(2x+1)，
故答案为：C。
【分析】利用复合函数求导数的方法，从而求出函数y=cos(2x+1)的导数。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】复数 ，
则由复数除法运算化简可得
，
所以由复数模的定义可得 ，
故答案为：D.
【分析】根据复数的除法运算，化简可得 .由复数模的定义即可求得 .
3．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为 ，且函数 在 处的导数为l，所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵由表格可知 =3， =7.2，
∴这组数据的样本中心点是（3，7.2），
根据样本中心点在线性回归直线上，
∴7.2=a+1.2×3，
∴a=3.6，
∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.2x+3.6，
∵x=20，
∴y=1.2×20+3.6=27.6．
故选：C．
【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程，代入x的值，预报出结果．
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当椭圆 的焦点在 轴上时， ，解得 ；
当椭圆 的焦点在 轴上时， ，无解，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】分为椭圆的焦点在 轴上和焦点在 轴上两种情形，分别根据椭圆中 所具有的性质列出关于 的方程，解出即可.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意设直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为 ，可得 与 轴的交点坐标，得到 结合 计算即可．
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 ，（ ）
所以 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 内单调递减；
当 时， ，所以 在 内单调递增；
所以 在 处取得最小值，即 ，
故答案为：B.
【分析】先求得导函数，并求得极值点.利用导函数符号，判断极值点左右两侧的单调性，即可确定极值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，求导得 ，
令 可得 ，故在区间 上 ， 单调递减；在区间 上 ， 单调递增。
故 ，
又当 趋近于正无穷大时， 趋近于正无穷大，故函数的值域为 ，
故答案为：C。
【分析】 中带有对数函数，故考虑求导分析单调性，进而求出最大最小值再算出值域.
9．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
结合函数图象可知，导函数 在 内与 轴有4个交点，但在 两侧均为单调递增函数，因而 不是极值点，
所以 在开区间 内极值点有3个，
故答案为：C
【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断 在开区间 内极值点个数.
10．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为函数 是奇函数，排除B D，
当 时， ，
所以 时，函数是增函数，排除C
.故答案为：A.
【分析】由函数 是奇函数，排除B D， 时， ，所以 时，函数是增函数，排除C.得到结论..
11．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令 ,
则
即 在定义域 上单调递增
即
故 正确，
故答案为：
【分析】构造函数 ，求出其导函数说明其单调性，得到不等关系.
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 ，得 ，则 ，
又 ，所以函数 的图象在 处的切线为 ，即 .
设 与函数 的图象相切于点 ，
由 ，可得
解得 .
故答案为：B.
【分析】先求函数 的图象在 处的切线，再根据该切线也是函数 图象的切线，设出切点即可求解.
13．【答案】ln2
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 取得极小值，亦即最小值，即 ，因此， .
故答案为ln2.
【分析】利用导数求出函数 的最小值，结合题中条件可求出实数 的值.
14．【答案】15
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑，
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10，
当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值，
∴a=4，b=﹣11，且f（1）=10是极小值，
此时
故答案为15。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用已知条件函数 在 处有极小值为10，从而求出a,b的值，进而求出a-b的值。
15．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，
，则 ，即 ．
，则 ．
曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
【分析】对函数进行求导，令 求得 ，从而得到函数解析式，进一步求得 ，再由直线的点斜式方程并化简得到直线的一般方程．
16．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】根据题意，函数 ，其导数 ，
若函数 在定义域内存在单调递减区间，
则 在 上有解；
若 ，变形可得 ，
则 在 上能成立，
设 ，则 ，则 ，
则必有 ，
故 的取值范围为 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知 在 内能成立，利用参变量分离法，转化为 在 上能成立，设 ，利用换元法分析可得答案．
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图的性质可得
，
解得
（2）解：第二组、第三组、第四组的频率比为 ，
因为共抽取8人，
所以三个组依次抽取的人数为2，4，2
（3）解：根据频率分布直方图的性质，
每组的中间值乘以对应的频率再相加，得到总体的平均值
∴被调查人员的平均年龄为47岁
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【分析】（1）根据频率之和为 ，将每组对应的纵坐标相加后，再乘以组距等于 ，得到 的值；（2）根据第二、三、四组的频率之比得到分层抽样的比例，再得到每组所抽取的人数，得到答案；（3）利用每组中间值和每组的频率得到所有被调查人员的平均年龄.
18．【答案】（1）解：
若 当 时， ；
当 时. ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减
若 . 在R上单调递增
若 ，当 时， ；当 时. ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）解：由（1）可知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
则
又 ，所以
所以 ，故
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） ，分 ， 和 三种情况讨论求函数的单调区间；（2）由（1）可知，在 上单调递减， 上单调递增，根据单调性求最值，根据条件 列方程求 的值.
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 的单调递减区间为 ，
∴ ， 是方程 的两个根，
∴ ，
解得
（2）解：不等式 恒成立，
即 恒成立，
∵ ，∴ 在 上恒成立，
令 ， ，
则 最大值，
又 ， ；
则当 时， ；
当 时， ；
∴ 在 上递增，在 上递减，
∴ 最大值为 ；
∴ 取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得导函数 ，根据一元二次方程与不等式关系，即可求得 的值.（2）将 及 代入不等式，化简并分离参数 ，构造函数 ，求得 ，根据 符号判断 的单调性，并求得最大值，即可求得 的取值范围.
20．【答案】（1）解：依题意知 ，设直线 的方程为 ， ；
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ；
消去 得 .设 ， ；
所以 ， ； ①
因为 ，得 ； ②
联立①和②，消去 ， ，得 ，
又 ，则 ；
故直线 的斜率是
（2）解：由条件有 ，
∴直线 的斜率 ；
则直线 的方程 ；
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ；
化简可得 ；
设 ， ，
∴ ；
∴ ；
由（1）知 ；
∴ ；
；
所以 ，
四边形 的面积为81
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 的方程，联立直线与抛物线方程，化简后由韦达定理表示出 ， ，根据 可由向量的坐标关系求得参数，得直线方程的斜率.（2）根据题意，表示出直线 的方程，联立抛物线可得 ，由（1）可求得 ，即可由对角线互相垂的性质直求得四边形 的面积.
21．【答案】（1）证明：连接 ，
由于 是 的中点，而四边形 是平行四边形，所以 是 的中点.由于 是 的中点，所以在三角形 中， 是中位线，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
（2）解：由于底面 是平行四边形， ， ，所以三角形 是等边三角形，所以 ，所以四边形 是菱形，对角线 相互垂直平分.由于 平面 ，所以 .以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.则 .所以 ，平面 的法向量为 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接 ，证得 是 的中点.根据中位线证得 ，由此证得 平面 .（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，利用直线 的方向向量和平面 的法向量，计算出直线 与平面 所成角的正弦值.
22．【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ，由 得 ；由 得 ；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴
（2）解：当 时， ，
对于两个不相等的实数 ， ，有 ，
∵ ，
由 得 ；由 得 ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，
令 ，
∴ ，
当 时， ， ， ，
∴ ，
∴ 在 单调递减，
∴ ，即 ，
因为 ，则 ，
由以上可知 ，
∵ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
又 ， ， 在 上单调递减，
所以 ，
因此 .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先由 得 ，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；（2）先由 ，得到 ，对函数 求导，得到其单调区间，再设 ，令 ，用导数的方法研究函数 的单调性，进而可证明结论成立.
