河北省张家口市第一中学（实验班)2019-2020学年高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·张家口月考）某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为 的样本，若从丙车间抽取6件，则 的值为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．26
【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由分层抽样的定义，可得： ，从而解得： ，
故答案为：D.
【分析】利用分层抽样的方法结合已知条件，从而求出n的值。
2．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
3．（2019高二上·张家口月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为 .
故答案为：A.
【分析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.
4．（2019高二上·张家口月考）随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
餐费（元） 6 7 8
人数 10 20 20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）
A．7.2元，0.56元2 B．7.2元， 元
C．7元，0.6元2 D．7元， 元
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】先计算这50个学生午餐费的平均值是 ，
所以方差是 ，
故答案为：A．
【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可.
5．（2018高二上·阜城月考）方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，方程 表示焦点在x轴上的椭圆，
则有 ，
解可得2＜m＜6；
故答案为：D。
【分析】结合椭圆的标准方程，要表示焦点在x轴上的椭圆，则方程中的系数应满足的条件是两个分母都是正数，且有大小关系。
6．（2014·大纲卷理）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e= ，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1= = = ．
故选：A．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
7．（2019高二上·张家口月考）已知抛物线 ，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意知，直线 的方程为 ，联立直线 与抛物线的方程可得：
，解之得： ， ，所以 ，而原点到直线 的距离为 ，所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用抛物线标准方程求出焦点坐标，再利用直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，从而利用点斜式求出过焦点且倾斜角为60°的直线方程，再利用直线与抛物线交于A、B两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出A,B两点的距离，再利用点到直线的距离公式和三角形面积公式，从而求出三角形△AOB的面积。
8．（2019高二上·张家口月考）已知动点 的坐标满足方程 ，则 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】此方程表示点 到点 的距离与到点 的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点 的轨迹是双曲线的右支， ，点 的轨迹方程是 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，从而推出点 的轨迹方程。
9．（2019高二上·张家口月考）已知非零向量 不共线，如果 ， ， ，则四点A，B，C，D（ ）
A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．可能不共面
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 非零向量 不共线， ， ， ,
,
,
由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面.
故答案为：C
【分析】通过已知向量关系，求出 ，说明四点A，B，C，D共面.
10．（2019高二上·张家口月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由 得, , ,
所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.
如图所示,易知 ,
四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故答案为：C.
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
11．（2019高二上·张家口月考）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记 ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：
则有 ，
，
，
，
显然∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于 ，
，
，
得 ，
因此，λ的取值范围是 ,
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于 ，即 ,从而可求λ的取值范围.
12．（2019高二上·张家口月考）设f（x）在x处可导，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】 在 处可导，
.
故答案为：C
【分析】利用导数的定义即可求解.
二、填空题
13．（2019高二上·张家口月考）若向量 1， ， 且 ，则 ．
【答案】 或
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵向量 （2，1，﹣2）， ∥ 且| |＝1，
∴设 （2λ，λ，﹣2λ），
则| | 1，
解得 ，
∴ （ ）或 （ ， ， ）．
故答案为：（ ）或（ ， ， ）．
【分析】设 （2λ，λ，﹣2λ），则| | 1，由此能求出结果．
14．（2018高二上·杭锦后旗月考）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得 ，故 = ， = ，
又 ，所以
【分析】根据点的坐标，表示相应的向量，根据，得到a和c的关系，即可求出椭圆的离心率.
15．（2019高二上·张家口月考）函数y＝ x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数导数 ，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数 与x轴有两个交点， 或 。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用已知条件函数y＝ x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，得出导数值有正有负，即导函数 与x轴有两个交点，从而结合判别式法求出实数a的取值范围。
三、双空题
16．（2019高一上·辽宁月考）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 ， ．
【答案】5；8
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据茎叶图中的数据，得：
∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；
又∵乙组数据的平均数为16.8，
∴ 16.8，
解得：y＝8；
综上，x、y的值分别为5、8．
故答案为： 5 ； 8
【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．
四、解答题
17．（2019高二上·张家口月考）已知命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 “曲线 表示双曲线”．
（1）若命题 是真命题，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1）解：命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，
若 为真命题，则满足 ，解得 或 ，
即 的取值范围 .
（2）解：若命题 为真，则 ，即 ，
因为 是 的必要不充分条件，则 或
即 或 ，解得 或 .
即实数 的取值范围
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，得到 为真命题，则满足 ，即可求解；（2）求得命题 为真时，得到 ，再根据 是 的必要不充分条件，结合集合的包含关系，即可求解.
18．（2020高一下·天津期中）20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
（1）求频率直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．
【答案】（1）解：据直方图知组距=10，
由 ，解得
（2）解：成绩落在 中的学生人数为
成绩落在 中的学生人数为
（3）解：记成绩落在 中的2人为 ，成绩落在 中的3人为 、 、 ，
则从成绩在 的学生中人选2人的基本事件共有10个：
其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：
故所求概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用每组小矩形的面积等于每组的频率和频率之和等于1，从而求出频率直方图中a的值。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用古典概型求概率公式，从而求出这2人的成绩都在[60,70)中的概率。
19．（2019高二上·张家口月考）如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3， ．
（1）求证：AC⊥平面BCD；
（2）二面角B－AC－D为45°，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：△ABC中，由 ，
解得 ，从而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，
而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC 平面ABC，AC⊥平面BCD
（2）解：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
故平面ABC的法向量 ＝(0，0，1)，
设平面ACD的法向量 ＝(1，m，n)，由 ，易知m＝0，
从而 ＝(1，0，n)， ，
解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去，
所以 ＝(1，0，-1)，
易知 ，B(3，0，0)，故 ，则 ，
设直线AE与平面ACD所成的角为θ，
则 ，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.
20．（2019高二上·张家口月考）若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率.
【答案】解：曲线C1：y=x2，则y′=2x，曲线C2：y=x3，则y′=3x2，
直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，
直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为y=3m2x-2m3，
∴2a=3m2，a2=2m3，∴m=0或m= ，
∴直线l的斜率为0或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】分别设l与C1, C2的切点分别为（a，b），（m，n），利用导数分别求出切线方程，由l为公切线可知两切线重合，即可求解.
21．（2019高二上·张家口月考）已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直 交椭圆 于 两点，判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：由已知得
解得
所以椭圆E的方程为
（2）解：设点 AB中点为 ．
由
所以 从而 .
所以 .
,
故
所以 ，故G 在以AB为直径的圆外．
解法二：设点 ，则
由 所以
从而
所以 不共线，所以 为锐角.
故点G 在以AB为直径的圆外．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 ，结合代入法得出a,b的一个方程，再利用离心率公式建立a,c的一个方程，再利用a,b,c三者的关系式，从而建立关于a,b,c的第三个方程，再解方程组求出a,b,c的值，从而求出椭圆E的标准方程。
（2）由（1）得出的椭圆方程结合直线 交椭圆 于 两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点求距离公式求出圆的直径，再利用直径求出圆的半径，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，从而求出圆的标准方程，再利用点与圆的位置关系的判断方法，从而判断出点 与以线段 为直径的圆的位置关系。
22．（2018高一上·新余月考）已知抛物线C； 过点 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点 均与点A不重合 ，设直线AM，AN的斜率分别为 ， ，求证： 为定值．
【答案】（1）解：由题意得 ，所以抛物线方程为
（2）解：设 ， ，直线MN的方程为 ，
代入抛物线方程得 ．
所以 ， ， ．
所以 ,
所以 ， 是定值
【知识点】抛物线的标准方程；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由已知得到 ，即可求出抛物线C的方程；
（2）先设出直线MN的方程，与抛物线方程联立，再令 ，利用韦达定理整理化简，即可证明 为定值.
河北省张家口市第一中学（实验班)2019-2020学年高二上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·张家口月考）某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为 的样本，若从丙车间抽取6件，则 的值为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．26
2．（2019·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2019高二上·张家口月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高二上·张家口月考）随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：
餐费（元） 6 7 8
人数 10 20 20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）
A．7.2元，0.56元2 B．7.2元， 元
C．7元，0.6元2 D．7元， 元
5．（2018高二上·阜城月考）方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2014·大纲卷理）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·张家口月考）已知抛物线 ，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高二上·张家口月考）已知动点 的坐标满足方程 ，则 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019高二上·张家口月考）已知非零向量 不共线，如果 ， ， ，则四点A，B，C，D（ ）
A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．可能不共面
10．（2019高二上·张家口月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
11．（2019高二上·张家口月考）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记 ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高二上·张家口月考）设f（x）在x处可导，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高二上·张家口月考）若向量 1， ， 且 ，则 ．
14．（2018高二上·杭锦后旗月考）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 ．
15．（2019高二上·张家口月考）函数y＝ x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是 ．
三、双空题
16．（2019高一上·辽宁月考）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 ， ．
四、解答题
17．（2019高二上·张家口月考）已知命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 “曲线 表示双曲线”．
（1）若命题 是真命题，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
18．（2020高一下·天津期中）20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
（1）求频率直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．
19．（2019高二上·张家口月考）如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3， ．
（1）求证：AC⊥平面BCD；
（2）二面角B－AC－D为45°，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值．
20．（2019高二上·张家口月考）若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率.
21．（2019高二上·张家口月考）已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直 交椭圆 于 两点，判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
22．（2018高一上·新余月考）已知抛物线C； 过点 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点 均与点A不重合 ，设直线AM，AN的斜率分别为 ， ，求证： 为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由分层抽样的定义，可得： ，从而解得： ，
故答案为：D.
【分析】利用分层抽样的方法结合已知条件，从而求出n的值。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】作出直线y=4-x和函数 的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.
3．【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为 .
故答案为：A.
【分析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.
4．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】先计算这50个学生午餐费的平均值是 ，
所以方差是 ，
故答案为：A．
【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】根据题意，方程 表示焦点在x轴上的椭圆，
则有 ，
解可得2＜m＜6；
故答案为：D。
【分析】结合椭圆的标准方程，要表示焦点在x轴上的椭圆，则方程中的系数应满足的条件是两个分母都是正数，且有大小关系。
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e= ，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1= = = ．
故选：A．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
7．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意知，直线 的方程为 ，联立直线 与抛物线的方程可得：
，解之得： ， ，所以 ，而原点到直线 的距离为 ，所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用抛物线标准方程求出焦点坐标，再利用直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，从而利用点斜式求出过焦点且倾斜角为60°的直线方程，再利用直线与抛物线交于A、B两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出A,B两点的距离，再利用点到直线的距离公式和三角形面积公式，从而求出三角形△AOB的面积。
8．【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】此方程表示点 到点 的距离与到点 的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点 的轨迹是双曲线的右支， ，点 的轨迹方程是 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，从而推出点 的轨迹方程。
9．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 非零向量 不共线， ， ， ,
,
,
由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面.
故答案为：C
【分析】通过已知向量关系，求出 ，说明四点A，B，C，D共面.
10．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由 得, , ,
所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.
如图所示,易知 ,
四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故答案为：C.
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
11．【答案】B
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：
则有 ，
，
，
，
显然∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于 ，
，
，
得 ，
因此，λ的取值范围是 ,
故答案为：B
【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于 ，即 ,从而可求λ的取值范围.
12．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】 在 处可导，
.
故答案为：C
【分析】利用导数的定义即可求解.
13．【答案】 或
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵向量 （2，1，﹣2）， ∥ 且| |＝1，
∴设 （2λ，λ，﹣2λ），
则| | 1，
解得 ，
∴ （ ）或 （ ， ， ）．
故答案为：（ ）或（ ， ， ）．
【分析】设 （2λ，λ，﹣2λ），则| | 1，由此能求出结果．
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得 ，故 = ， = ，
又 ，所以
【分析】根据点的坐标，表示相应的向量，根据，得到a和c的关系，即可求出椭圆的离心率.
15．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】函数导数 ，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数 与x轴有两个交点， 或 。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用已知条件函数y＝ x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，得出导数值有正有负，即导函数 与x轴有两个交点，从而结合判别式法求出实数a的取值范围。
16．【答案】5；8
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据茎叶图中的数据，得：
∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；
又∵乙组数据的平均数为16.8，
∴ 16.8，
解得：y＝8；
综上，x、y的值分别为5、8．
故答案为： 5 ； 8
【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．
17．【答案】（1）解：命题 “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，
若 为真命题，则满足 ，解得 或 ，
即 的取值范围 .
（2）解：若命题 为真，则 ，即 ，
因为 是 的必要不充分条件，则 或
即 或 ，解得 或 .
即实数 的取值范围
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，得到 为真命题，则满足 ，即可求解；（2）求得命题 为真时，得到 ，再根据 是 的必要不充分条件，结合集合的包含关系，即可求解.
18．【答案】（1）解：据直方图知组距=10，
由 ，解得
（2）解：成绩落在 中的学生人数为
成绩落在 中的学生人数为
（3）解：记成绩落在 中的2人为 ，成绩落在 中的3人为 、 、 ，
则从成绩在 的学生中人选2人的基本事件共有10个：
其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：
故所求概率为
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用每组小矩形的面积等于每组的频率和频率之和等于1，从而求出频率直方图中a的值。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图，再利用古典概型求概率公式，从而求出这2人的成绩都在[60,70)中的概率。
19．【答案】（1）证明：△ABC中，由 ，
解得 ，从而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小为90°，即平面BCD⊥平面ABC，
而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC 平面ABC，AC⊥平面BCD
（2）解：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
故平面ABC的法向量 ＝(0，0，1)，
设平面ACD的法向量 ＝(1，m，n)，由 ，易知m＝0，
从而 ＝(1，0，n)， ，
解得n＝±1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135°，应舍去，
所以 ＝(1，0，-1)，
易知 ，B(3，0，0)，故 ，则 ，
设直线AE与平面ACD所成的角为θ，
则 ，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）△ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.
20．【答案】解：曲线C1：y=x2，则y′=2x，曲线C2：y=x3，则y′=3x2，
直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，
直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为y=3m2x-2m3，
∴2a=3m2，a2=2m3，∴m=0或m= ，
∴直线l的斜率为0或
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】分别设l与C1, C2的切点分别为（a，b），（m，n），利用导数分别求出切线方程，由l为公切线可知两切线重合，即可求解.
21．【答案】（1）解：由已知得
解得
所以椭圆E的方程为
（2）解：设点 AB中点为 ．
由
所以 从而 .
所以 .
,
故
所以 ，故G 在以AB为直径的圆外．
解法二：设点 ，则
由 所以
从而
所以 不共线，所以 为锐角.
故点G 在以AB为直径的圆外．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 ，结合代入法得出a,b的一个方程，再利用离心率公式建立a,c的一个方程，再利用a,b,c三者的关系式，从而建立关于a,b,c的第三个方程，再解方程组求出a,b,c的值，从而求出椭圆E的标准方程。
（2）由（1）得出的椭圆方程结合直线 交椭圆 于 两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点求距离公式求出圆的直径，再利用直径求出圆的半径，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，从而求出圆的标准方程，再利用点与圆的位置关系的判断方法，从而判断出点 与以线段 为直径的圆的位置关系。
22．【答案】（1）解：由题意得 ，所以抛物线方程为
（2）解：设 ， ，直线MN的方程为 ，
代入抛物线方程得 ．
所以 ， ， ．
所以 ,
所以 ， 是定值
【知识点】抛物线的标准方程；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由已知得到 ，即可求出抛物线C的方程；
（2）先设出直线MN的方程，与抛物线方程联立，再令 ，利用韦达定理整理化简，即可证明 为定值.
