2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·辽宁期中）设双曲线 ﹣ =1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 的渐近线为y= ，
∵y= 与3x±2y=0重合，
∴a=2．
故选C．
【分析】先求出双曲线 的渐近线方程，再求a的值．
2．（2016高二上·辽宁期中）命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=0时，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，满足条件．
当a≠0时，则满足 ，
即 ，
即0＜a＜1时，
综上，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R时，0≤a＜1，
则p是q成立必要不充分条件，
故选：B．
【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．（2016高一下·平罗期末）已知x＞1，x+ ≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：若x＞1，x+ ≥m恒成立，
只需m≤（x+ ）min即可，
而x+ =（x﹣1）+ +1≥2+1=3，此时x=2取等号，
故m≤3，
故选：B．
【分析】问题转化为m≤（x+ ）min即可，根据基本不等式的性质求出（x+ ）的最小值即可．
4．（2016高二上·辽宁期中）已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，
∴a3=33，a4=31，
∴ ，
解得a1=37，d=﹣2，
∴
=﹣n2+38n
=﹣（n﹣19）2+361，
∴n=19时，Sn达到最大值S19=361．
故选B．
【分析】由{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，知a3=33，a4=31，利用等差数列的通项公式列出方程组 ，解得a1=37，d=﹣2，再由等差数列的前n项和公式得到Sn=﹣n2+36n，然后利用配方法能求出Sn达到最大值时n的值．
5．（2016高二上·辽宁期中）点A，F分别是椭圆C： =1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
由椭圆C： =1，得a2=16，b2=12，
∴ ，
|PF|= ，
|AF|=a+c=6，
∴△AFP的面积为 ．
故选：B．
【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．
6．（2016高二上·辽宁期中）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为 ，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2 a3=2a1=a1q =a1 a4，
∴a4=2．
∵a4与2a7的等差中项为 ，
∴a4 +2a7 = ，
故有a7 = ．
∴q3= = ，
∴q= ，
∴a1= =16．
∴S5= =31．
故选：B．
【分析】利用a2 a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为 ，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
7．（2016高二上·辽宁期中）已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），
所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，
于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，
解得x＜﹣3或x＞1；
所以不等式f（﹣x）＜0的解集是
（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
故选：C．
【分析】根据不等式f（x）＞0的解集得出x的取值范围，再由f（﹣x）＜0得出﹣x的取值范围，从而求出不等式f（﹣x）＜0的解集．
8．（2016高二上·辽宁期中）双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为
y= x，
由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，
则有 =2，即有b=2a，
c= = a，
则离心率为e= = ．
故选C．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．
9．（2016高二上·福州期中）已知数列{an}中，an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（ ）
A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．
【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：q=an﹣an﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，
所以 =﹣3 （﹣4）n﹣1，|bn|=|﹣3 （﹣4）n﹣1|=3 4n﹣1，
所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3 4+3 42+…+3 4n﹣1=3 =4n﹣1，
故选B．
【分析】先由an=﹣4n+5及q=an﹣an﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到bn，进而得到|bn|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|bn|．
10．（2016高二上·辽宁期中）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，
∴ = ，
∵y12=4x1，
∴解得x1= 或x1=4，
∵|AF|＞2，
∴x1=4，
∴A点到原点的距离为 =4 ，
故选：B．
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．
11．（2016高二上·辽宁期中）已知变量x、y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（ ）
A．（ ，+∞） B．（﹣∞， ）
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由题意作出其平面区域，
由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，
将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，
z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，
则﹣a ，
则a ，
故选C．
【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a ．
12．（2016高二上·辽宁期中）椭圆 =1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[ ， ]，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆 =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，
则：连接AF，AF1，AF，BF
所以：四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，
由椭圆的离心率e= = = ，
由α∈[ ， ]，
α+ ∈[ ， ]，
sin（α+ ）∈[ ，1]，
sin（α+ ）∈[ ， ]，
∈[ ， ]，
∴e∈[ ， ]，
故椭圆离心率的最大值 ．
故选A．
【分析】由椭圆的焦点在x轴上，设左焦点为F1，根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．则2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，由椭圆的离心率e= = = ，由α∈[ ， ]，根据正弦函数的图象及性质，求得椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率的最大值．
二、填空题
13．（2016高二上·陕西期中）设命题p： ，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[0， ]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由 ，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得 ，所以p： ．
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，
要使p是q的充分不必要条件，则 ，解得
所以a的取值范围是[0， ]，
故答案为：[0， ]．
【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．
14．（2016高二上·辽宁期中）设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则 的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部， 其中A（1，1），
B（ ，0），0为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（1，1）=a+b=2，
因此， = （a+b）（ ）= （2+ ）
∵a＞0且b＞0， ，∴ ≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立
∴ 的最小值为：2．
故答案为：2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=1且y=1时，z最大值=a+b=2．由此再利用基本不等式求最值，可得 的最小值．
15．（2016高二上·辽宁期中）若数列{an}是正项数列，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则 + +…+ = ．
【答案】2n2+6n
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：令n=1，得 =4，∴a1=16．
当n≥2时，
+ +…+ =（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，
∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an．
∴an=4（n+1）2，
∴ =4n+4，
∴ + +…+ = =2n2+6n．
故答案为2n2+6n
【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得 + +…+ =（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{ }的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．
16．（2016高二上·辽宁期中）已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
【答案】7
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 =1可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．
|PF1|+|PF2|=2a=10．
圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；
圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．
∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．
∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】由椭圆 =1可得焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a．圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1，r1=1；圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2，r2=2．利用|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．即可得出．
三、解答题
17．（2016高二上·辽宁期中）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
【答案】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（Ⅱ）由（1）知Sn=na1+ d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
18．（2016高二上·辽宁期中）解答题。
（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，
即 ， ，△=b2﹣4ac＞0，
可得：
解得：0＜m＜1．
故得实数m的取值范围是（0，1）
（2）解：（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．
①若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．
当m=﹣1时，不合题意；当m=3时，符合题意．
②若m2﹣2m﹣3≠0，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．
则：m2﹣2m﹣3＜0，△=b2﹣4ac＜0，
解得： ．
故得实数m的取值范围是（﹣ ，3）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的分布可得答案．（2）对二次项系数进行讨论求解．
19．（2016高二上·辽宁期中）在△ABC中， ， ，且△ABC的周长为 ．
（1）求点A的轨迹方程C；
（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．
【答案】（1）解：由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．
∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．
∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．
设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．
则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，
联立解得a=4，b=2．
（2）解：设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在椭圆上，∴ ，
两式相减，得 ∴ ，
∴ ，∴直线方程为x+2y﹣4=0
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在椭圆上，可得 ， 两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
20．（2016高二上·辽宁期中）已知以 为一条渐近线的双曲线C的右焦点为 ．
（1）求该双曲线C的标准方程；
（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为 ，求l的方程．
【答案】（1）解：由抛物线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程： （a＞0，b＞0），
由c= ，渐近线方程：y=± x，
∴ = ，即 ，即2a2=3b2，
由c2=a2﹣b2=5，解得：a2=3，b2=2，
∴双曲线C的标准方程
（2）解：设l：y=2x+m，与双曲线的交点为：M（x1，y1），N（x2，y2）．
则 ，整理得：10x2+12mx+3m2+6=0，
由韦达定理可知：
∴ ，
解得， ．
∴l的方程
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程： （a＞0，b＞0），由c= ，渐近线方程：y=± x， ，由c2=a2﹣b2=5，即可求得a和b的值，求得双曲线的标准方程；（2）设l：y=2x+m，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，即可求得l的方程．
21．（2016高二上·辽宁期中）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）
（1）求证：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证： ．
【答案】（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）
∴
∴
∴数列{ }是以 为首项，1为公差的等差数列
（2）解：由（1）得
∴an=
（3）解：∵Sn= + +…+
∴2Sn= + +…+
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n） 2n﹣3
∴Sn=（2n﹣3） 2n+3＞（2n﹣3） 2n
∴
【知识点】等差关系的确定；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{ }是等差数列；（2）求出数列{ }的通项，即可求数列{an}的通项公式；（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．
22．（2016高二上·辽宁期中）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则 ， ，相减得 ，
∴ ，
∴ ，又 = ，
∴ ，即a2=2b2．
联立得 ，解得 ，
∴M的方程为 ．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴ ， ．
∴|CD|= = = ．
联立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ，
∴交点为A（0， ），B ，
∴|AB|= = ．
∴S四边形ACBD= = = ，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为 ，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为 ．
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣ =0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD= 即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·辽宁期中）设双曲线 ﹣ =1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2016高二上·辽宁期中）命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2016高一下·平罗期末）已知x＞1，x+ ≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）
4．（2016高二上·辽宁期中）已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
5．（2016高二上·辽宁期中）点A，F分别是椭圆C： =1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
6．（2016高二上·辽宁期中）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为 ，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
7．（2016高二上·辽宁期中）已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）
8．（2016高二上·辽宁期中）双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2016高二上·福州期中）已知数列{an}中，an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（ ）
A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．
10．（2016高二上·辽宁期中）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．（2016高二上·辽宁期中）已知变量x、y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（ ）
A．（ ，+∞） B．（﹣∞， ）
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
12．（2016高二上·辽宁期中）椭圆 =1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[ ， ]，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
13．（2016高二上·陕西期中）设命题p： ，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14．（2016高二上·辽宁期中）设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则 的最小值为 ．
15．（2016高二上·辽宁期中）若数列{an}是正项数列，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则 + +…+ = ．
16．（2016高二上·辽宁期中）已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
三、解答题
17．（2016高二上·辽宁期中）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
18．（2016高二上·辽宁期中）解答题。
（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2016高二上·辽宁期中）在△ABC中， ， ，且△ABC的周长为 ．
（1）求点A的轨迹方程C；
（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．
20．（2016高二上·辽宁期中）已知以 为一条渐近线的双曲线C的右焦点为 ．
（1）求该双曲线C的标准方程；
（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为 ，求l的方程．
21．（2016高二上·辽宁期中）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）
（1）求证：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证： ．
22．（2016高二上·辽宁期中）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 的渐近线为y= ，
∵y= 与3x±2y=0重合，
∴a=2．
故选C．
【分析】先求出双曲线 的渐近线方程，再求a的值．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a=0时，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，满足条件．
当a≠0时，则满足 ，
即 ，
即0＜a＜1时，
综上，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R时，0≤a＜1，
则p是q成立必要不充分条件，
故选：B．
【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：若x＞1，x+ ≥m恒成立，
只需m≤（x+ ）min即可，
而x+ =（x﹣1）+ +1≥2+1=3，此时x=2取等号，
故m≤3，
故选：B．
【分析】问题转化为m≤（x+ ）min即可，根据基本不等式的性质求出（x+ ）的最小值即可．
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，
∴a3=33，a4=31，
∴ ，
解得a1=37，d=﹣2，
∴
=﹣n2+38n
=﹣（n﹣19）2+361，
∴n=19时，Sn达到最大值S19=361．
故选B．
【分析】由{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，知a3=33，a4=31，利用等差数列的通项公式列出方程组 ，解得a1=37，d=﹣2，再由等差数列的前n项和公式得到Sn=﹣n2+36n，然后利用配方法能求出Sn达到最大值时n的值．
5．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
由椭圆C： =1，得a2=16，b2=12，
∴ ，
|PF|= ，
|AF|=a+c=6，
∴△AFP的面积为 ．
故选：B．
【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．
6．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2 a3=2a1=a1q =a1 a4，
∴a4=2．
∵a4与2a7的等差中项为 ，
∴a4 +2a7 = ，
故有a7 = ．
∴q3= = ，
∴q= ，
∴a1= =16．
∴S5= =31．
故选：B．
【分析】利用a2 a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为 ，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），
所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，
于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，
解得x＜﹣3或x＞1；
所以不等式f（﹣x）＜0的解集是
（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
故选：C．
【分析】根据不等式f（x）＞0的解集得出x的取值范围，再由f（﹣x）＜0得出﹣x的取值范围，从而求出不等式f（﹣x）＜0的解集．
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为
y= x，
由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，
则有 =2，即有b=2a，
c= = a，
则离心率为e= = ．
故选C．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．
9．【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：q=an﹣an﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，
所以 =﹣3 （﹣4）n﹣1，|bn|=|﹣3 （﹣4）n﹣1|=3 4n﹣1，
所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3 4+3 42+…+3 4n﹣1=3 =4n﹣1，
故选B．
【分析】先由an=﹣4n+5及q=an﹣an﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到bn，进而得到|bn|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|bn|．
10．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，
∴ = ，
∵y12=4x1，
∴解得x1= 或x1=4，
∵|AF|＞2，
∴x1=4，
∴A点到原点的距离为 =4 ，
故选：B．
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．
11．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由题意作出其平面区域，
由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，
将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，
z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，
则﹣a ，
则a ，
故选C．
【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a ．
12．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆 =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，
则：连接AF，AF1，AF，BF
所以：四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，
由椭圆的离心率e= = = ，
由α∈[ ， ]，
α+ ∈[ ， ]，
sin（α+ ）∈[ ，1]，
sin（α+ ）∈[ ， ]，
∈[ ， ]，
∴e∈[ ， ]，
故椭圆离心率的最大值 ．
故选A．
【分析】由椭圆的焦点在x轴上，设左焦点为F1，根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．则2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，由椭圆的离心率e= = = ，由α∈[ ， ]，根据正弦函数的图象及性质，求得椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率的最大值．
13．【答案】[0， ]
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由 ，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得 ，所以p： ．
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，
要使p是q的充分不必要条件，则 ，解得
所以a的取值范围是[0， ]，
故答案为：[0， ]．
【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．
14．【答案】2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部， 其中A（1，1），
B（ ，0），0为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（1，1）=a+b=2，
因此， = （a+b）（ ）= （2+ ）
∵a＞0且b＞0， ，∴ ≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立
∴ 的最小值为：2．
故答案为：2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=1且y=1时，z最大值=a+b=2．由此再利用基本不等式求最值，可得 的最小值．
15．【答案】2n2+6n
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：令n=1，得 =4，∴a1=16．
当n≥2时，
+ +…+ =（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，
∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an．
∴an=4（n+1）2，
∴ =4n+4，
∴ + +…+ = =2n2+6n．
故答案为2n2+6n
【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得 + +…+ =（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{ }的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．
16．【答案】7
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 =1可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．
|PF1|+|PF2|=2a=10．
圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；
圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．
∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．
∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．
故答案为：7．
【分析】由椭圆 =1可得焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a．圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1，r1=1；圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2，r2=2．利用|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．即可得出．
17．【答案】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（Ⅱ）由（1）知Sn=na1+ d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
18．【答案】（1）解：方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，
即 ， ，△=b2﹣4ac＞0，
可得：
解得：0＜m＜1．
故得实数m的取值范围是（0，1）
（2）解：（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．
①若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．
当m=﹣1时，不合题意；当m=3时，符合题意．
②若m2﹣2m﹣3≠0，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．
则：m2﹣2m﹣3＜0，△=b2﹣4ac＜0，
解得： ．
故得实数m的取值范围是（﹣ ，3）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的分布可得答案．（2）对二次项系数进行讨论求解．
19．【答案】（1）解：由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．
∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．
∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．
设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．
则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，
联立解得a=4，b=2．
（2）解：设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在椭圆上，∴ ，
两式相减，得 ∴ ，
∴ ，∴直线方程为x+2y﹣4=0
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在椭圆上，可得 ， 两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
20．【答案】（1）解：由抛物线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程： （a＞0，b＞0），
由c= ，渐近线方程：y=± x，
∴ = ，即 ，即2a2=3b2，
由c2=a2﹣b2=5，解得：a2=3，b2=2，
∴双曲线C的标准方程
（2）解：设l：y=2x+m，与双曲线的交点为：M（x1，y1），N（x2，y2）．
则 ，整理得：10x2+12mx+3m2+6=0，
由韦达定理可知：
∴ ，
解得， ．
∴l的方程
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程： （a＞0，b＞0），由c= ，渐近线方程：y=± x， ，由c2=a2﹣b2=5，即可求得a和b的值，求得双曲线的标准方程；（2）设l：y=2x+m，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，即可求得l的方程．
21．【答案】（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）
∴
∴
∴数列{ }是以 为首项，1为公差的等差数列
（2）解：由（1）得
∴an=
（3）解：∵Sn= + +…+
∴2Sn= + +…+
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n） 2n﹣3
∴Sn=（2n﹣3） 2n+3＞（2n﹣3） 2n
∴
【知识点】等差关系的确定；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{ }是等差数列；（2）求出数列{ }的通项，即可求数列{an}的通项公式；（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．
22．【答案】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则 ， ，相减得 ，
∴ ，
∴ ，又 = ，
∴ ，即a2=2b2．
联立得 ，解得 ，
∴M的方程为 ．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴ ， ．
∴|CD|= = = ．
联立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ，
∴交点为A（0， ），B ，
∴|AB|= = ．
∴S四边形ACBD= = = ，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为 ，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为 ．
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣ =0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD= 即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
