四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期理数第一次在线月考试卷
一、单选题
1．（2020高二下·泸县月考）直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2020高二下·泸县月考）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高二下·泸县月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019高二上·大庆月考）已知命题“设 、 、 ，若 ，则 ”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2020高二下·泸县月考）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若线段 的中点的横坐标为4，则 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
6．（2020高二下·泸县月考）若圆 的半径为 ，则实数 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
7．（2020高二下·泸县月考）已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置关系为（ ）
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
8．（2020高二下·泸县月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高二下·泸县月考）已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二下·泸县月考）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 ，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·泸县月考）若点 在椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·泸县月考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为左顶点，过点 且斜率为 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高二下·泸县月考）不等式 的解集用区间表示为 .
14．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
15．（2020高二下·泸县月考）双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于9，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
16．（2020高二下·泸县月考）已知点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 .
三、解答题
17．（2020高二下·泸县月考）给定如下两个命题：命题 “曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其中 为常数”；命题 “曲线 是焦点在 轴上的双曲线，其中 为常数”．已知命题“ ”为假命题，命题“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
18．（2020高二下·泸县月考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨）、一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 , 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理由.
19．（2020高二下·泸县月考）已知动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，其轨迹为 .
（1）求 的方程
（2）过点 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.
20．（2020高二下·泸县月考）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
参考公式和数据： ，
，
.
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.
（已知： ，则认为y与x线性相关性很强； ，则认为y与x线性相关性一般； ，则认为y与x线性相关性较）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
21．（2020高二下·泸县月考）如图，四棱锥 中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD， , E是PD的中点．
（1）证明：直线 ∥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
22．（2020高二下·泸县月考）已知椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有 ，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线 的斜率
，
∴ .
故选：C
【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率 ，再由 求解倾斜角.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“ ”的否定是“ ”，
故选：C.
【分析】由全称命题的否定为特称命题，再判断即可得解.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由 ，但 时 不一定成立，例如当 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
【分析】由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解.
4．【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】由题意得，命题“设 、 、 ，若 ，则 ”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设 、 、 ，若 ，则 ”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，
故答案为：B．
【分析】由已知利用四种命题的关系与真假判断，即可求出真命题的个数.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，抛物线的焦点为 ，则 .
由焦半径公式可得 ，
故 ，
因为线段 的中点的横坐标为4，故 ，故 .
故选：C.
【分析】利用焦半径公式可求 .
6．【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意，圆的方程可化为 ，
所以半径为 ，解得 .
故选：B.
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出 的值.
7．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 ，即 ，∴ ， ，
圆 ，即 ，∴ ， ，
∴两圆的圆心距 ， ， ，
∴ ，故两圆内含.
故选：B.
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距 与半径和与差的关系，即可得到结论.
8．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆
所以 即 ，由正弦函数的性质可得 ，
又 为锐角
即
故选：
【分析】依题意可得关于 的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.
9．【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ,则 满足 .故 .故 .
又点 在圆 上.故 .
故选：C
【分析】设 再表达出 的坐标代入圆方程 化简即可.
10．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由题意得外接球的直径等于 ,
所以表面积为 ,
故答案为：D.
【分析】由已知三棱锥的三条侧棱两两垂直， 结合补形法将三棱锥补成长方体，利用勾股定理求出体对角线长，即外接球的直径，进而得到外接球的半径，再利用球的表面积公式，即可求出该三棱锥的外接球的表面积。
11．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题知椭圆的方程为 ，
求 的最小值即求点 到点 斜率的最小值，
设过点 和点 的直线方程为 ，
联立 ，
知当 时直线斜率取最小值，
，
故当 时，斜率取最小值，
即 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】首先根据 的几何意义是点 到点 的斜率，然后求解斜率的最小值即可.
12．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ，
设点 ，
因为 ，即 为直角三角形，且 为直角，
所以 ，则 上，
解得 ，
故 ，又 ，
所以直线 的斜率 ，所以 ，
故该双曲线的离心率 .
故答案为：B.
【分析】先由 ，得 为直角，可得 ，即可得 ，然后利用直线斜率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为 ，即 ，即 ，
即表达式的解集为 ，
故答案为： .
【分析】由二次不等式的解法求解即可.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
15．【答案】3或15
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解： 双曲线的标准方程是 ，
，
设点 到另一个焦点的距离为 ，
双曲线上一点 到它的一个焦点的距离等于9，
由双曲线定义知： ，
解得 ，或 ．
点 到另一个焦点的距离是15或3．
故答案为：3或15．
【分析】通过双曲线方程求出 ，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设 ,因为 ,故
即 .故 的轨迹是以 为焦点, 的双曲线的下支.此时 .故 .故 .
故答案为：
【分析】根据 中 为定值,故先化简,再分析 满足的距离关系即可.
17．【答案】解：若命题 为真命题，则 ，若命题 为真命题，则 ，
由题知 与 一真一假，若 真 假，则 ，此时无解.
若 假 真，则 ，得 ，
综上：实数 的取值范围是
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】先求出 为真时参数的取值范围，再分 真 假和 假 真两类讨论后可得实数 的取值范围.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（2）解：由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12="36" 000．
（3）解：因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.
19．【答案】（1）解：由题意知，动点 到定直线 的距离与到定点 的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线 的方程为：
（2）解：由题意知直线存在斜率，设直线 的方程为 ， ， ， 中点 ，
则由 得 ，
所以 ， ，
则线段 的中垂线的方程为 ，则 ，
又 ，即 ，
所以 的取值范围是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解；（2）先联立直线与抛物线方程求得 中点 的坐标，然后求出线段 的中垂线的方程,再求出点 的坐标即可得解.
20．【答案】（1）解：由题得
所以 ，
y与x线性相关性很强.
（2）解：
，
，
关于 的线性回归方程是 .
当 时， ，
即该地区2020年足球特色学校有244个.
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据题意计算出r，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.
21．【答案】（1）解：取 的中点 ,连 ,
是 的中点,
,
又
四边形 是平行四边形
∥
又 平面 , 平面
∥平面
（2）解：在平面 内作 于 ,不妨令 ,则
由 是等边三角形,则 , 为 的中点,
分别以 、 所在的直线为 轴和 轴,以底面内 的中垂线为 轴建立空间直角坐标系,
则 , , ,
, ,
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,
则 则
则
经检验,二面角 的弦值的大小为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取 的中点 ,证明 进而求得 ∥ 即可.(2) 在平面 内作 于 ,建立空间直角坐标系求解即可.
22．【答案】解：（Ⅰ）设 为短轴的两个三等分点， 为正三角形，所以 ， ，解得 ． ，所以椭圆方程为 ．（Ⅱ）设 （ⅰ）当直线 与 轴重合时， 因此恒有．（ⅱ）当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为： 代入整理得 因恒有 ，所以 恒为钝角，即 恒成立．又 ，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，当 时， 最小值为0，所以 ， ，因为 ，即 ，解得 或 （舍去），即 ，综合（i）（ii）， 的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知椭圆的标准方程，求出短轴长和焦点坐标，利用三等分点的定义结合正三角形的结构特征，求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）先利用直线的点斜式求出过点F的直线l方程，与椭圆方程联立，求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式结合不等式恒成立问题， 得到 ，从而求出实数a的取值范围。
四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期理数第一次在线月考试卷
一、单选题
1．（2020高二下·泸县月考）直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线 的斜率
，
∴ .
故选：C
【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率 ，再由 求解倾斜角.
2．（2020高二下·泸县月考）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“ ”的否定是“ ”，
故选：C.
【分析】由全称命题的否定为特称命题，再判断即可得解.
3．（2020高二下·泸县月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由 ，但 时 不一定成立，例如当 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
【分析】由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解.
4．（2019高二上·大庆月考）已知命题“设 、 、 ，若 ，则 ”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系
【解析】【解答】由题意得，命题“设 、 、 ，若 ，则 ”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设 、 、 ，若 ，则 ”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，
故答案为：B．
【分析】由已知利用四种命题的关系与真假判断，即可求出真命题的个数.
5．（2020高二下·泸县月考）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若线段 的中点的横坐标为4，则 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，抛物线的焦点为 ，则 .
由焦半径公式可得 ，
故 ，
因为线段 的中点的横坐标为4，故 ，故 .
故选：C.
【分析】利用焦半径公式可求 .
6．（2020高二下·泸县月考）若圆 的半径为 ，则实数 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意，圆的方程可化为 ，
所以半径为 ，解得 .
故选：B.
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出 的值.
7．（2020高二下·泸县月考）已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置关系为（ ）
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 ，即 ，∴ ， ，
圆 ，即 ，∴ ， ，
∴两圆的圆心距 ， ， ，
∴ ，故两圆内含.
故选：B.
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距 与半径和与差的关系，即可得到结论.
8．（2020高二下·泸县月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆
所以 即 ，由正弦函数的性质可得 ，
又 为锐角
即
故选：
【分析】依题意可得关于 的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.
9．（2020高二下·泸县月考）已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设 ,则 满足 .故 .故 .
又点 在圆 上.故 .
故选：C
【分析】设 再表达出 的坐标代入圆方程 化简即可.
10．（2020高二下·泸县月考）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 ，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由题意得外接球的直径等于 ,
所以表面积为 ,
故答案为：D.
【分析】由已知三棱锥的三条侧棱两两垂直， 结合补形法将三棱锥补成长方体，利用勾股定理求出体对角线长，即外接球的直径，进而得到外接球的半径，再利用球的表面积公式，即可求出该三棱锥的外接球的表面积。
11．（2020高二下·泸县月考）若点 在椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题知椭圆的方程为 ，
求 的最小值即求点 到点 斜率的最小值，
设过点 和点 的直线方程为 ，
联立 ，
知当 时直线斜率取最小值，
，
故当 时，斜率取最小值，
即 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】首先根据 的几何意义是点 到点 的斜率，然后求解斜率的最小值即可.
12．（2020高二下·泸县月考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为左顶点，过点 且斜率为 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ，
设点 ，
因为 ，即 为直角三角形，且 为直角，
所以 ，则 上，
解得 ，
故 ，又 ，
所以直线 的斜率 ，所以 ，
故该双曲线的离心率 .
故答案为：B.
【分析】先由 ，得 为直角，可得 ，即可得 ，然后利用直线斜率公式求解即可.
二、填空题
13．（2020高二下·泸县月考）不等式 的解集用区间表示为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为 ，即 ，即 ，
即表达式的解集为 ，
故答案为： .
【分析】由二次不等式的解法求解即可.
14．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
15．（2020高二下·泸县月考）双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于9，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
【答案】3或15
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解： 双曲线的标准方程是 ，
，
设点 到另一个焦点的距离为 ，
双曲线上一点 到它的一个焦点的距离等于9，
由双曲线定义知： ，
解得 ，或 ．
点 到另一个焦点的距离是15或3．
故答案为：3或15．
【分析】通过双曲线方程求出 ，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．
16．（2020高二下·泸县月考）已知点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设 ,因为 ,故
即 .故 的轨迹是以 为焦点, 的双曲线的下支.此时 .故 .故 .
故答案为：
【分析】根据 中 为定值,故先化简,再分析 满足的距离关系即可.
三、解答题
17．（2020高二下·泸县月考）给定如下两个命题：命题 “曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其中 为常数”；命题 “曲线 是焦点在 轴上的双曲线，其中 为常数”．已知命题“ ”为假命题，命题“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】解：若命题 为真命题，则 ，若命题 为真命题，则 ，
由题知 与 一真一假，若 真 假，则 ，此时无解.
若 假 真，则 ，得 ，
综上：实数 的取值范围是
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】先求出 为真时参数的取值范围，再分 真 假和 假 真两类讨论后可得实数 的取值范围.
18．（2020高二下·泸县月考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨）、一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 , 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理由.
【答案】（1）解：由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
（2）解：由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12="36" 000．
（3）解：因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.
19．（2020高二下·泸县月考）已知动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，其轨迹为 .
（1）求 的方程
（2）过点 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知，动点 到定直线 的距离与到定点 的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线 的方程为：
（2）解：由题意知直线存在斜率，设直线 的方程为 ， ， ， 中点 ，
则由 得 ，
所以 ， ，
则线段 的中垂线的方程为 ，则 ，
又 ，即 ，
所以 的取值范围是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解；（2）先联立直线与抛物线方程求得 中点 的坐标，然后求出线段 的中垂线的方程,再求出点 的坐标即可得解.
20．（2020高二下·泸县月考）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
参考公式和数据： ，
，
.
（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.
（已知： ，则认为y与x线性相关性很强； ，则认为y与x线性相关性一般； ，则认为y与x线性相关性较）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
【答案】（1）解：由题得
所以 ，
y与x线性相关性很强.
（2）解：
，
，
关于 的线性回归方程是 .
当 时， ，
即该地区2020年足球特色学校有244个.
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据题意计算出r，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.
21．（2020高二下·泸县月考）如图，四棱锥 中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD， , E是PD的中点．
（1）证明：直线 ∥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）解：取 的中点 ,连 ,
是 的中点,
,
又
四边形 是平行四边形
∥
又 平面 , 平面
∥平面
（2）解：在平面 内作 于 ,不妨令 ,则
由 是等边三角形,则 , 为 的中点,
分别以 、 所在的直线为 轴和 轴,以底面内 的中垂线为 轴建立空间直角坐标系,
则 , , ,
, ,
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,
则 则
则
经检验,二面角 的弦值的大小为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取 的中点 ,证明 进而求得 ∥ 即可.(2) 在平面 内作 于 ,建立空间直角坐标系求解即可.
22．（2020高二下·泸县月考）已知椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有 ，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设 为短轴的两个三等分点， 为正三角形，所以 ， ，解得 ． ，所以椭圆方程为 ．（Ⅱ）设 （ⅰ）当直线 与 轴重合时， 因此恒有．（ⅱ）当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为： 代入整理得 因恒有 ，所以 恒为钝角，即 恒成立．又 ，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，当 时， 最小值为0，所以 ， ，因为 ，即 ，解得 或 （舍去），即 ，综合（i）（ii）， 的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知椭圆的标准方程，求出短轴长和焦点坐标，利用三等分点的定义结合正三角形的结构特征，求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）先利用直线的点斜式求出过点F的直线l方程，与椭圆方程联立，求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式结合不等式恒成立问题， 得到 ，从而求出实数a的取值范围。
