2016-2017学年江西省九江一中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·九江期中）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
【答案】B
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B．
【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．
2．（2015高二上·安阳期末）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0
∴“a2＞2a”成立
即“a＞2” “a2＞2a”为真命题；
而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0
∴a＞2不一定成立
即“a2＞2a” “a＞2”为假命题；
故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件
故选A
【分析】我们分别判断“a＞2” “a2＞2a”与“a2＞2a” “a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．
3．（2016高二上·九江期中）平行线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解∵方程6x﹣8y+5=0可化为3x﹣4y+2.5=0，
∴两条平行线间的距离d= = ．
故选A．
【分析】先将方程化简，再运用公式计算即可
4．（2016高二上·九江期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若α＞β，则sinα＞sinβ
B．命题：“ x＞1，x2＞1”的否定是“ x≤1，x2≤1”
C．直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1
D．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若a=120°，β=60°，则α＞β，sinα=sinβ，故A错误；
命题：“ x＞1，x2＞1”的否定是“ x＞1，x2≤1”，故B错误；
直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a2﹣1=0，即a=±1，故C正确；
“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故D错误；
故选：C
【分析】举出反例a=120°，β=60°，可判断A；写出原命题的否定，可判断B；求出直线垂直的充要条件，可判断C；写出原命题的逆否命题，可判断D．
5．（2016高二上·九江期中）已知等差数列{an}中，a2+a4=16，a1=1，则a5的值是（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a2+a4=16=a1+a5，a1=1，
∴a5=15．
故选：A．
【分析】利用等差数列{an}的性质可得：a2+a4=a1+a5，即可得出．
6．（2016高二上·九江期中）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于A，m β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m α或m与α相交，选项A错误；
对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；
对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；
对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．
故选：C．
【分析】由m β，α⊥β，可得m与α的关系有三种说明A错误；由α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n得到α与β的位置关系有两种说明B错误；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定说明C正确；由α⊥γ，α⊥β，得到β与γ可能平行也可能相交说明D错误．
7．（2016高二上·九江期中）下列函数的最小值是2的为（ ）
A．y=x+
B．y=sinx+ ，x∈（0， ）
C．y=
D．y=x+ （x＞1）
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：x＞0时，y=x+ 的最小值是2，故A不正确；
x∈（0， ），0＜sinx＜1，函数取不到2，故B不正确；
y= = + ≥2，x=0时取等号，即函数的最小值是2，故正确；
x＞1，x﹣1＞0，则y=x+ =x﹣1+ +1≥2+1，x=02取等号，即函数的最小值是3，故不正确；
故选：C．
【分析】根据基本不等式的使用条件，即可得出结论．
8．（2016高二上·九江期中）设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3= ，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3= ．
故选B．
【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
9．（2016高二上·九江期中）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：由题得 ，
又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3
∴b2（a2﹣a1）=﹣8．
故选 B．
【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得 ，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．
10．（2016高二上·福州期中）已知a＞0，b＞0，若不等式 ﹣ ﹣ ≤0恒成立，则m的最大值为（ ）
A．4 B．16 C．9 D．3
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：不等式 恒成立 的最小值，
∵a＞0，b＞0， =10+ ≥10+ =16，当且仅当 ，即a=b时取等号．
∴m≤16，即m的最大值为16．
故选B．
【分析】不等式 恒成立 的最小值，利用不等式的基本性质求出即可．
11．（2016高二上·九江期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3}
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以﹣1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，
所以 ，
由a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax，得：ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0，
设ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c=0的两根为x3，x4，则 ①，
②，联立①②得：x3=0，x4=3，
因为a＜0，所以ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选A．
【分析】根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有 ，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．
12．（2016高二上·九江期中）若Sn=cos +cos +…+cos （n∈N+），则在S1，S2，…，S2015中，正数的个数是（ ）
A．882 B．756 C．750 D．378
【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵cos ＞0，cos ＞0，cos ＞0， =0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0，cos =﹣1＜0，
=﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =0，cos =cos ＞0，cos =cos ＞0，cos =cos ＞0，cos2π=1．
∴S1＞0，…，S6＞0，S7=0，S8＜0，…，S15＜0，S16=0．
在S1，S2，…，S16中，正数的个数是6个．
由三角函数的周期性，可得：在S1，S2，…，S2000，正数的个数有750项．
S2001，…，S2015中，正数的个数也6项．
在S1，S2，…，S2015中，正数的个数是756．
故选：B．
【分析】由cos ＞0，cos ＞0，cos ＞0， =0，…，cos =cos ＞0，cos2π=1．可得S1＞0，…，S6＞0，S7=0，S8＜0，…，S15＜0，S16=0．可得在S1，S2，…，S16中，正数的个数是6个．利用三角函数的周期性，即可得出．
二、填空题
13．（2016高二上·九江期中）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（ + ）2= ．
【答案】3
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可得 =1×1×cos60°= ，∴（ + ）2= +2 =1+1+1=3，
故答案为：3．
【分析】由题意求得 的值，可得（ + ）2= +2 的值．
14．（2016高二上·九江期中）不等式 ＞1的解集为 ．
【答案】{x1＜x＜2}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ ＞1，
∴ ＞0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，
解得：1＜x＜2．
∴不等式 ＞1的解集为{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
【分析】将原不等式转化为 ＞0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，即可求得其解集．
15．（2016高二上·九江期中）已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则an= ．
【答案】
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵Sn=3+2n，
∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，
当n=1时，不符合n≥2时的表达式．
∴an= ．
故答案为：an= ．
【分析】这是数列中的知Sn求an型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．
16．（2016高二上·九江期中）若数列{an}满足a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…＞an+1﹣an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列，若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn（n∈N*）满足2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），则实数λ的取值范围是
【答案】
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），
∴n=1时，2a1=3a1+2λ﹣1，解得a1=1﹣2λ．
n≥2时，2an=3an﹣3an﹣1，化为an=3an﹣1．
同理可得：a2=3（1﹣2λ），a3=9（1﹣2λ），a4=27（1﹣2λ）．
∴a2﹣a1=2（1﹣2λ），a3﹣a2=6（1﹣2λ），a4﹣a3=18（1﹣2λ），
∵a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…，
∴2（1﹣2λ）＞6（1﹣2λ）＞18（1﹣2λ），
解得： ．
则实数λ的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），n=1时，2a1=3a1+2λ﹣1，解得a1=1﹣2λ．n≥2时，可得：an=3an﹣1．利用a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…，即可得出．
三、解答题
17．（2016高二上·九江期中）已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则 ，
解得：a1=1，d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
Sn= =n2
（2）解：bn= = = ，
∴数列{bn}的前n项和为Tn= +…+
= =
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
18．（2016高二上·九江期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C= cosC，其中C为锐角．
（1）求角C的大小；
（2）a=1，b=4，求边c的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，由sin2C= cosC，可得：2sinCcosC= cosC，
因为C为锐角，所以cosC≠0，
可得sinC= ，
可得角C的大小为
（2）解：由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos =13，
可得边c的长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得：2sinCcosC= cosC，结合C为锐角，即cosC≠0，可求sinC= ，进而可得角C的大小．（2）由（1）及余弦定理即可得解c的值．
19．（2016高二上·九江期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC= ，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．
（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．
【答案】（1）证明：∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又 AC∩AA1=A，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵AB 平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面AA1C1C
（2）证明：取BB1中点D，∵M为B1C1中点，
∴MD∥BC1（中位线），
又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，
∴DN∥AB（中位线），
又MD∩DN=D，
∴平面MND∥平面ABC1．
∵MN 平面MND，
∴MN∥平面ABC1．
∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．
过N作NH⊥AC1于H，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
∴NH⊥平面ABC1，
又根据△ANH∽△AC1A1
∴ ．
∴点M到平面ABC1的距离为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB⊥平面AA1C1C，再根据面面垂直的判定定理，证得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND∥平面ABC1，再根据面面平行的性质定理，得出MN∥平面ABC1，
求M到平面ABC1的距离，则根据性质，等价转化为求N到平面ABC1的距离．作出点N作出平面ABC1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度．
20．（2016高二上·九江期中）已知x，y满足不等式组 ，求
（1）z=x+2y的最大值；
（2）z=x2+y2﹣10y+25的最小值．
【答案】（1）解：由约束条件 表示的可行域如下图所示，
由z=x+2y，得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ ，由图象可知当直线y=﹣ 经过点A时，直线y=﹣ 的截距最大，此时z最大，
由 得 ，即A（7，9），此时z=7+2×9=25
（2）解：z=x2+y2﹣10y+25=x2+（y﹣5）2，z的几何意义为点P（x，y）到点（0，5）的距离的平方；
由图知，最小值为（0，5）到直线x﹣y+2=0的距离的平方，
即d2=（ ）2= ．经检验，垂足在线段AC上
【知识点】简单线性规划
【解析】【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，利用直线平行进行求解即可．（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
21．（2016高二上·九江期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC= ，试判断△ABC的形状．
【答案】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a2=（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，
整理得：bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA= = ，
又A为三角形的内角，
则A=60°；
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B，
代入sinB+sinC= 得：sinB+sin（120°﹣B）= ，
∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB= ，
∴ sinB+ cosB= ，即sin（B+30°）=1，
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC= 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．
22．（2016高二上·九江期中）在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足2an+1=an+an+2的正整数n的值；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．
∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．
∴数列{an}的通项公式an= ，k∈N*
（2）解：①当n为奇数时，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化为： =n+1，
令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），
由f′（x）= × ×ln ﹣1≥ ﹣1=ln3﹣1＞0，
可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（1）=0，
∴当且仅当n=1时，满足 =n+1，即2a2=a1+a3．
②当n为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，
化为：n+1= + ，
上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．
综上，满足2an+1=an+an+2的正整数n的值只有1
（3）解：S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）= + =3n+n2﹣1，n∈N*．
S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．
假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，
则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），
∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）
从而3﹣m≥0，∴m≤3，
又m∈N*，∴m=1，2，3．
①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．
②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．
③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1），
则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1= ，n+1= ，且k1+k2=n﹣1，
从而 = =2，∴ ﹣ =2， =1，
∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题意可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①当n为奇数时，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化为： =n+1，令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，化为：n+1= + ，即可判断出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．
2016-2017学年江西省九江一中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·九江期中）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
2．（2015高二上·安阳期末）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2016高二上·九江期中）平行线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016高二上·九江期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若α＞β，则sinα＞sinβ
B．命题：“ x＞1，x2＞1”的否定是“ x≤1，x2≤1”
C．直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1
D．“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
5．（2016高二上·九江期中）已知等差数列{an}中，a2+a4=16，a1=1，则a5的值是（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
6．（2016高二上·九江期中）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
7．（2016高二上·九江期中）下列函数的最小值是2的为（ ）
A．y=x+
B．y=sinx+ ，x∈（0， ）
C．y=
D．y=x+ （x＞1）
8．（2016高二上·九江期中）设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（ ）
A． B． C． D．
9．（2016高二上·九江期中）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
10．（2016高二上·福州期中）已知a＞0，b＞0，若不等式 ﹣ ﹣ ≤0恒成立，则m的最大值为（ ）
A．4 B．16 C．9 D．3
11．（2016高二上·九江期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3}
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
12．（2016高二上·九江期中）若Sn=cos +cos +…+cos （n∈N+），则在S1，S2，…，S2015中，正数的个数是（ ）
A．882 B．756 C．750 D．378
二、填空题
13．（2016高二上·九江期中）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（ + ）2= ．
14．（2016高二上·九江期中）不等式 ＞1的解集为 ．
15．（2016高二上·九江期中）已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则an= ．
16．（2016高二上·九江期中）若数列{an}满足a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…＞an+1﹣an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列，若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn（n∈N*）满足2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），则实数λ的取值范围是
三、解答题
17．（2016高二上·九江期中）已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．（2016高二上·九江期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C= cosC，其中C为锐角．
（1）求角C的大小；
（2）a=1，b=4，求边c的长．
19．（2016高二上·九江期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC= ，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．
（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．
20．（2016高二上·九江期中）已知x，y满足不等式组 ，求
（1）z=x+2y的最大值；
（2）z=x2+y2﹣10y+25的最小值．
21．（2016高二上·九江期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC= ，试判断△ABC的形状．
22．（2016高二上·九江期中）在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足2an+1=an+an+2的正整数n的值；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B．
【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．
2．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0
∴“a2＞2a”成立
即“a＞2” “a2＞2a”为真命题；
而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0
∴a＞2不一定成立
即“a2＞2a” “a＞2”为假命题；
故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件
故选A
【分析】我们分别判断“a＞2” “a2＞2a”与“a2＞2a” “a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解∵方程6x﹣8y+5=0可化为3x﹣4y+2.5=0，
∴两条平行线间的距离d= = ．
故选A．
【分析】先将方程化简，再运用公式计算即可
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若a=120°，β=60°，则α＞β，sinα=sinβ，故A错误；
命题：“ x＞1，x2＞1”的否定是“ x＞1，x2≤1”，故B错误；
直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a2﹣1=0，即a=±1，故C正确；
“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故D错误；
故选：C
【分析】举出反例a=120°，β=60°，可判断A；写出原命题的否定，可判断B；求出直线垂直的充要条件，可判断C；写出原命题的逆否命题，可判断D．
5．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a2+a4=16=a1+a5，a1=1，
∴a5=15．
故选：A．
【分析】利用等差数列{an}的性质可得：a2+a4=a1+a5，即可得出．
6．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：对于A，m β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m α或m与α相交，选项A错误；
对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；
对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；
对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．
故选：C．
【分析】由m β，α⊥β，可得m与α的关系有三种说明A错误；由α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n得到α与β的位置关系有两种说明B错误；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定说明C正确；由α⊥γ，α⊥β，得到β与γ可能平行也可能相交说明D错误．
7．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：x＞0时，y=x+ 的最小值是2，故A不正确；
x∈（0， ），0＜sinx＜1，函数取不到2，故B不正确；
y= = + ≥2，x=0时取等号，即函数的最小值是2，故正确；
x＞1，x﹣1＞0，则y=x+ =x﹣1+ +1≥2+1，x=02取等号，即函数的最小值是3，故不正确；
故选：C．
【分析】根据基本不等式的使用条件，即可得出结论．
8．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3= ，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3= ．
故选B．
【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
9．【答案】B
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：由题得 ，
又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3
∴b2（a2﹣a1）=﹣8．
故选 B．
【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得 ，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．
10．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：不等式 恒成立 的最小值，
∵a＞0，b＞0， =10+ ≥10+ =16，当且仅当 ，即a=b时取等号．
∴m≤16，即m的最大值为16．
故选B．
【分析】不等式 恒成立 的最小值，利用不等式的基本性质求出即可．
11．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以﹣1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，
所以 ，
由a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax，得：ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0，
设ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c=0的两根为x3，x4，则 ①，
②，联立①②得：x3=0，x4=3，
因为a＜0，所以ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选A．
【分析】根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有 ，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．
12．【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵cos ＞0，cos ＞0，cos ＞0， =0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0，cos =﹣1＜0，
=﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =﹣cos ＜0， =0，cos =cos ＞0，cos =cos ＞0，cos =cos ＞0，cos2π=1．
∴S1＞0，…，S6＞0，S7=0，S8＜0，…，S15＜0，S16=0．
在S1，S2，…，S16中，正数的个数是6个．
由三角函数的周期性，可得：在S1，S2，…，S2000，正数的个数有750项．
S2001，…，S2015中，正数的个数也6项．
在S1，S2，…，S2015中，正数的个数是756．
故选：B．
【分析】由cos ＞0，cos ＞0，cos ＞0， =0，…，cos =cos ＞0，cos2π=1．可得S1＞0，…，S6＞0，S7=0，S8＜0，…，S15＜0，S16=0．可得在S1，S2，…，S16中，正数的个数是6个．利用三角函数的周期性，即可得出．
13．【答案】3
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可得 =1×1×cos60°= ，∴（ + ）2= +2 =1+1+1=3，
故答案为：3．
【分析】由题意求得 的值，可得（ + ）2= +2 的值．
14．【答案】{x1＜x＜2}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ ＞1，
∴ ＞0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，
解得：1＜x＜2．
∴不等式 ＞1的解集为{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
【分析】将原不等式转化为 ＞0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，即可求得其解集．
15．【答案】
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵Sn=3+2n，
∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，
当n=1时，不符合n≥2时的表达式．
∴an= ．
故答案为：an= ．
【分析】这是数列中的知Sn求an型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．
16．【答案】
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），
∴n=1时，2a1=3a1+2λ﹣1，解得a1=1﹣2λ．
n≥2时，2an=3an﹣3an﹣1，化为an=3an﹣1．
同理可得：a2=3（1﹣2λ），a3=9（1﹣2λ），a4=27（1﹣2λ）．
∴a2﹣a1=2（1﹣2λ），a3﹣a2=6（1﹣2λ），a4﹣a3=18（1﹣2λ），
∵a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…，
∴2（1﹣2λ）＞6（1﹣2λ）＞18（1﹣2λ），
解得： ．
则实数λ的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】2Sn=3an+2λ﹣1（n∈N*），n=1时，2a1=3a1+2λ﹣1，解得a1=1﹣2λ．n≥2时，可得：an=3an﹣1．利用a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…，即可得出．
17．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则 ，
解得：a1=1，d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
Sn= =n2
（2）解：bn= = = ，
∴数列{bn}的前n项和为Tn= +…+
= =
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
18．【答案】（1）解：在△ABC中，由sin2C= cosC，可得：2sinCcosC= cosC，
因为C为锐角，所以cosC≠0，
可得sinC= ，
可得角C的大小为
（2）解：由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos =13，
可得边c的长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得：2sinCcosC= cosC，结合C为锐角，即cosC≠0，可求sinC= ，进而可得角C的大小．（2）由（1）及余弦定理即可得解c的值．
19．【答案】（1）证明：∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又 AC∩AA1=A，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵AB 平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面AA1C1C
（2）证明：取BB1中点D，∵M为B1C1中点，
∴MD∥BC1（中位线），
又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，
∴DN∥AB（中位线），
又MD∩DN=D，
∴平面MND∥平面ABC1．
∵MN 平面MND，
∴MN∥平面ABC1．
∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．
过N作NH⊥AC1于H，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
∴NH⊥平面ABC1，
又根据△ANH∽△AC1A1
∴ ．
∴点M到平面ABC1的距离为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB⊥平面AA1C1C，再根据面面垂直的判定定理，证得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND∥平面ABC1，再根据面面平行的性质定理，得出MN∥平面ABC1，
求M到平面ABC1的距离，则根据性质，等价转化为求N到平面ABC1的距离．作出点N作出平面ABC1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度．
20．【答案】（1）解：由约束条件 表示的可行域如下图所示，
由z=x+2y，得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ ，由图象可知当直线y=﹣ 经过点A时，直线y=﹣ 的截距最大，此时z最大，
由 得 ，即A（7，9），此时z=7+2×9=25
（2）解：z=x2+y2﹣10y+25=x2+（y﹣5）2，z的几何意义为点P（x，y）到点（0，5）的距离的平方；
由图知，最小值为（0，5）到直线x﹣y+2=0的距离的平方，
即d2=（ ）2= ．经检验，垂足在线段AC上
【知识点】简单线性规划
【解析】【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，利用直线平行进行求解即可．（2）z的几何意义是两点间的距离的平方，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
21．【答案】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a2=（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，
整理得：bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA= = ，
又A为三角形的内角，
则A=60°；
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B，
代入sinB+sinC= 得：sinB+sin（120°﹣B）= ，
∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB= ，
∴ sinB+ cosB= ，即sin（B+30°）=1，
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC= 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．
22．【答案】（1）解：由a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．
∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．
∴数列{an}的通项公式an= ，k∈N*
（2）解：①当n为奇数时，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化为： =n+1，
令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），
由f′（x）= × ×ln ﹣1≥ ﹣1=ln3﹣1＞0，
可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（1）=0，
∴当且仅当n=1时，满足 =n+1，即2a2=a1+a3．
②当n为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，
化为：n+1= + ，
上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．
综上，满足2an+1=an+an+2的正整数n的值只有1
（3）解：S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）= + =3n+n2﹣1，n∈N*．
S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．
假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，
则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），
∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）
从而3﹣m≥0，∴m≤3，
又m∈N*，∴m=1，2，3．
①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．
②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．
③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1），
则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1= ，n+1= ，且k1+k2=n﹣1，
从而 = =2，∴ ﹣ =2， =1，
∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题意可得数列{an}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①当n为奇数时，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化为： =n+1，令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，化为：n+1= + ，即可判断出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．
