人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步练习
一、选择题
1．正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：2 B．1： C．：1 D．2：1
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解答：如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
2．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B．六 C．四 D．三
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：22﹣（ ）2=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
【分析】根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
3．已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2 ，高为3，
因而等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积=18 ，
故选C．
分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
4．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B、∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D、∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是( ).
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设正边形的边数是n．
根据题意得：
解得：n=4．
故选B．
【分析】设正边形的边数是n，根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值.
6．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A． cm B． cm C．8cm D．4cm
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8cm．
故它的内接正三角形的边长为8cm．
故答案为：A．
【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
7．（2017·河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
8．（2018·湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+ ）r C．（1+ ）r D． r
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC= r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG= r，
故答案为：D．
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD=90°，根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半得出∠DAC=30°，进而根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长，根据等腰三角形的三线合一得出OG⊥AD，然后利用勾股定理即可得出OG的长。
二、填空题
9．（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB cos∠BOM=6× =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
10．（2017·玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
【答案】8+8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= .
【答案】215°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案为：215．
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
12．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM= ，
∴AB= ，
∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】由圆外切六边形可知，正六边形的中心到边的距离等于半径，然后再由解直角三角形求得等边三角形AOB的边长，正六边形的面积即为六个等边三角形的面积之和。
13．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
【答案】 ：1
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°= R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF= ∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°= R，
∴OQ：OH=（ R）：（ R）= ：1，
故答案为： ：1．
【分析】设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，根据正多边形与圆的关系得出O为正方形ABCD的中心，故∠BOC=90°，根据等腰三角形的三线合一得出QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，根据余弦函数的定义，由OQ=OC×cos45°即可表示出OQ；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，故∠OGF= ∠EGF=30°，根据正弦函数的定义，由OH=OG×sin30°，表示出OH，从而即可得出OQ：OH。
14．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
【答案】72°
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
【分析】连接OA、OB、OC，根据正五边形的性质得出∠AOB=∠BOCOA=OB，OB=OC，可证明∠OBA=∠OCB，再证明△OBP≌△OCQ，得出∠BOP=∠COQ，再证明∠POQ=∠BOC，即可得出答案。
15．（2018·玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4 ，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
【答案】9+4
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= （180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM= AF= （6+4 ）=3+2 ，FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S +S +S ，
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）= ×r+ ×r+ ×（12+6 ）×r，
解得：r= ，
即O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，
故答案为：9+4 ．
【分析】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，利用正六边形的性质求出∠A、∠AFB的度数及AM、BF的长，设△AFB的内切圆的半径为r，根据S△AFB=S △AO1F +S △AO1B +S △BFO1 ，求出r和O1M的值，继而求出O1O2的长。
三、解答题
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．
【答案】解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝ R，AH＝ ＝ 而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6× × R× R＝48 ，解得R＝8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，根据正多边形中心的性质得出∠OAH＝30°.在Rt△OAH中，设OA＝R，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OH=R，根据勾股定理表示出AH，由△ACE的面积是△OAH面积的6倍，列出方程，求解得出R的值，根据正六边形的半径等于其边长从而得出正六边形的边长为8，进而得出正六边形的周长。
18．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB= =
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分，故只需要做出AC的中垂线该线与圆相交，顺次连接即可，分别以点A，C为圆心，大于AC长度的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这点及点O作直线交圆于点B，D连接AB，BC，CD，DA四边形ABCD就是所求的正方形；
（2）根据正方形的中心角的计算方法算出∠AOB=90°，再根据勾股定理即可算出AB的长。
19．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
20．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步练习
一、选择题
1．正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：2 B．1： C．：1 D．2：1
2．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B．六 C．四 D．三
3．已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
4．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是( ).
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
6．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A． cm B． cm C．8cm D．4cm
7．（2017·河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
8．（2018·湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+ ）r C．（1+ ）r D． r
二、填空题
9．（2017·贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
10．（2017·玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= .
12．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号）
13．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
14．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
15．（2018·玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4 ，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．
18．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
19．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
20．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解答：如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
2．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：22﹣（ ）2=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
【分析】根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2 ，高为3，
因而等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积=18 ，
故选C．
分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B、∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D、∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设正边形的边数是n．
根据题意得：
解得：n=4．
故选B．
【分析】设正边形的边数是n，根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值.
6．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8cm．
故它的内接正三角形的边长为8cm．
故答案为：A．
【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC= r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG= r，
故答案为：D．
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD=90°，根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半得出∠DAC=30°，进而根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长，根据等腰三角形的三线合一得出OG⊥AD，然后利用勾股定理即可得出OG的长。
9．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= =30°，
∴OM=OB cos∠BOM=6× =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
10．【答案】8+8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
11．【答案】215°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案为：215．
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM= ，
∴AB= ，
∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】由圆外切六边形可知，正六边形的中心到边的距离等于半径，然后再由解直角三角形求得等边三角形AOB的边长，正六边形的面积即为六个等边三角形的面积之和。
13．【答案】 ：1
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°= R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF= ∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°= R，
∴OQ：OH=（ R）：（ R）= ：1，
故答案为： ：1．
【分析】设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，根据正多边形与圆的关系得出O为正方形ABCD的中心，故∠BOC=90°，根据等腰三角形的三线合一得出QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，根据余弦函数的定义，由OQ=OC×cos45°即可表示出OQ；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，故∠OGF= ∠EGF=30°，根据正弦函数的定义，由OH=OG×sin30°，表示出OH，从而即可得出OQ：OH。
14．【答案】72°
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
【分析】连接OA、OB、OC，根据正五边形的性质得出∠AOB=∠BOCOA=OB，OB=OC，可证明∠OBA=∠OCB，再证明△OBP≌△OCQ，得出∠BOP=∠COQ，再证明∠POQ=∠BOC，即可得出答案。
15．【答案】9+4
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= （180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM= AF= （6+4 ）=3+2 ，FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S +S +S ，
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）= ×r+ ×r+ ×（12+6 ）×r，
解得：r= ，
即O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，
故答案为：9+4 ．
【分析】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，利用正六边形的性质求出∠A、∠AFB的度数及AM、BF的长，设△AFB的内切圆的半径为r，根据S△AFB=S △AO1F +S △AO1B +S △BFO1 ，求出r和O1M的值，继而求出O1O2的长。
16．【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
17．【答案】解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝ R，AH＝ ＝ 而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6× × R× R＝48 ，解得R＝8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，根据正多边形中心的性质得出∠OAH＝30°.在Rt△OAH中，设OA＝R，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OH=R，根据勾股定理表示出AH，由△ACE的面积是△OAH面积的6倍，列出方程，求解得出R的值，根据正六边形的半径等于其边长从而得出正六边形的边长为8，进而得出正六边形的周长。
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB= =
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分，故只需要做出AC的中垂线该线与圆相交，顺次连接即可，分别以点A，C为圆心，大于AC长度的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这点及点O作直线交圆于点B，D连接AB，BC，CD，DA四边形ABCD就是所求的正方形；
（2）根据正方形的中心角的计算方法算出∠AOB=90°，再根据勾股定理即可算出AB的长。
19．【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
20．【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
