重庆市万州三中2018-2019学年高二上学期文数第一次月考试卷
一、单选题
1．（2018高二上·万州月考）下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）．
A．空间任意三点 B．空间两条直线
C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点
2．（2018高二上·铜梁月考）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A．⑴是棱台 B．⑵是圆台 C．⑶是棱锥 D．⑷不是棱柱
3．（2016高一上·天河期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
4．（2018高一下·临川期末）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A． B． C．4 D．8
5．（2018高二上·万州月考）在空间中，两不同直线a、b，两不同平面 、 ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．（2017·山南模拟）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
7．（2018高二上·万州月考）如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018高二上·万州月考）已知空间四面体 中， 两两垂直且 ，那么四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018高二上·万州月考）如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10．（2018高二上·万州月考）已知a，b为异面直线，且所成的角为70°，过空间一点作直线l，直线l与a，b均异面，且所成的角均为50°，则满足条件的直线共有（ ） 条
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2018高二上·万州月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2018高二上·万州月考）如图，正方体 中， 为 中点， 为线段 上的动点（ 不与 重合），以下四个命题：
（ ） 平面 ． （ ） 平面 ；（ ） 的面积与 的面积相等；（ ）三棱锥 的体积有最大值，其中真命题的个数为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018高二上·万州月考）线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为5和7，则AB的中点到α的距离为 ．
14．（2018高二上·万州月考）已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则一质点自点 出发，沿第三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线的长为 ．
15．（2018高二上·万州月考）如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 ．
16．（2018高二上·万州月考）如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是 ．
三、解答题
17．（2018高二上·万州月考）如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，
（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；
（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；
（3）求出这个几何体的表面积。
18．（2018高二上·万州月考）如图，在三棱锥P—ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC、
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGH
19．（2018高二上·万州月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4 ．
（I）求证：PD∥面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。
20．（2018高二上·万州月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）AA1=2 ，求异面直线EF与BC所成的角的大小．
21．（2018高二上·万州月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.
（1）证明： 平面 ；
（2）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长.
22．（2018高二上·万州月考）如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折起到 的位置.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)若 ，求五棱锥 的体积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】A，空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故答案为：C.
【分析】利用平面的概念以及构成要素，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，
故答案为：C．
【分析】结合棱台、圆台，棱锥和棱柱的概念，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2× π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在斜二测直观图中OB=2，OA=2， 所以在平面图形中OB=2，OA=4， OA⊥OB， 所以面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画法可知，与x轴平行长度保持不变，与y轴平行长度变为原来的一般，与x轴的夹角由原来的90度变成45度，然后，换原图形，算出面积。
5．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】A，若 ，则 或者b在平面 内，故不正确；B. 若 ，则 或者 与面 相交，故不正确；C. 若 ，则 或者b在平面 内，故不正确；D. 若 ，则 ，根据面面平行的性质得到结果是正确的；
故答案为：D.
【分析】A，结合直线与平面平行的性质，即可得出答案。B，结合平面与平面平行的判定定理，即可得出答案。C，结合平面与平面平行性质，即可得出答案。D，结合平面与平面平行判定，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4 ，
故选B
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，进而根据勾股定理得到答案．
7．【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】 由题意， 的面积为 ，到三个顶点距离都不大于1的位置点形成区域的面积为 ，
所以其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】计算出阴影部分的面积，利用几何概型计算公式，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】以 两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为： ，球的半径为 故球的面积为：
故答案为：A.
【分析】计算出球与正方体的关系，得出球的半径长度，利用球面积计算公式，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1 ，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1 为异面直线AD与CB1所成角，等腰直角三角形BCB1 中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：D．
【分析】A选项运用直线与平面平行判定，即可得出答案。B选项结合三垂线定理，即可得出答案。C选项结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。D选项，找出所成角，构造三角形，计算角大小，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】在空间取一点P，经过点P分别作a∥a′，b∥b′，
设直线a′、b′确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，
PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角．
因为直线a，b所成的角为70°，得a′、b′所成锐角等于70°．
所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，
PM与a′、b′所成角的范围是[35°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a′、b′所成的角都是50°．
当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[55°，90°）．
这种情况下，过点P有0条直线（即PM α时）与a′、b′所成的角都是50°．
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有2条．
故答案为：B．
【分析】分别绘制出满足条件的直线个数，即可得出答案。
11．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
∴α= ，β=﹣1，
故答案为：A．
【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】（1）CD1与BM不垂直，所以CD1⊥平面BMN，不正确；（2）平面BMN∥平面AB1D1，所以MN∥平面AB1D1，正确；（3）两个三角形等底等高，△D1MN的面积与△CMN的面积相等，正确；（4）M与B重合，三棱锥D﹣MNC的体积最大，不正确．
故答案为：B．
【分析】（1）结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。（2）结合直线与平面平行判定，即可得出答案。（3）利用三角形面积计算公式，即可得出答案。（4）体积最大，找高最大，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题意，设AC⊥平面α，BD⊥平面α，则ACDB⊥平面α，过P作PE⊥CD，则PE表示P点到α的距离，由平面几何知识可知PE为梯形的中位线，所以PE= .
故答案为：6．
【分析】结合题目意义，判断出PE为梯形的中位线，计算长度，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】将三棱柱沿 展开，如图所示：
则最短线长为矩形对角线 ，由勾股定理可得 ，
故答案为： ．
【分析】将正三棱锥展开，得出最短距离即为两点连线，计算长度，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】取PD的中点记为F点，BC的中点记为 点，连接FG，GD，
因为 ，且 ， ，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为 ，FG= ，DG= ，
FD=1，根据余弦定理得到 ，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为： .
故答案为： .
【分析】找出立体图中直线BE和PD所成角，然后构造三角形，利用余弦定理，即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
如图，
假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；
设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；
由EN∥BD，可得： ，
两式相加，得： ，
化简，得8=4x+y，
可得：8=4x+y≥2 ，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，
解得：S=xy≤4．
故答案为：4．
【分析】分别设出所求四边形边长为x和y，然后建立不等式，利用基本不等式，计算最值，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：如图：
（2）解：正四棱锥
高为
（3）解：表面积为48cm2
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1）结合三视图，还原原图，即可得出答案。（2）建立直角三角形，利用勾股定理，即可得出高，即可得出答案。（3）结合三棱锥表面积计算公式，即可得出答案。
18．【答案】证明：连接EC，
有
又
（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH//AB
在
PE∩AB=E， GO∩FH=O
所以平面PAB//平面FGH
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明AB垂直平面PEC，利用直线与平面垂直的性质，即可得出答案。（2）利用平面与平面平行判定定理，相交直线相互平行，即可得出答案。
19．【答案】（I）证明：连接BD，交AC于F，连接EF．
∵四边形ABCD为正方形
∴F为BD的中点
∵E为PB的中点，
∴EF∥PD
又∵PD 面 ACE，EF 面ACE，
∴PD∥平面ACE
（Ⅱ）解：取AB中点为G，连接EG
∵E为AB的中点
∴EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
在Rt△PAB中，PB=4 ，AB=4，则PA=4，EG=2
∴
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）证明PD平行EF，结合直线与平面平行判定定理，即可得出答案。（2）找出高EG，计算长度，计算底面积，利用体积计算公式，即可得出答案。
20．【答案】（1）证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，
∴EF是△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，∵D1B 平面ABC1D1，EF 平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1
（2）解：∵AA1=2 ，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），
在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1 平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．
在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2 ，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC= ，∴∠D1BC=60°，
∴异面直线EF与BC所成的角的大小为60°
【知识点】直线与平面平行的判定；异面直线
【解析】【分析】（1）证明直线EF与该平面内一条直线平行，利用直线与平面平行判定，即可得出答案。（2）找出异面直线所成角，然后建立三角形，计算正切值得出角的大小，即可得出答案。
21．【答案】（1）证明：因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，而 面 ，所以 ，
由三视图得，在 中， ，为 的中点，
所以 ，又 ，所以 平面
（2）解：如图，取得AB的中点 ，连接 并延长至 ，
使得 ，点 即为所求，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
连接 ，四边形 的对角线互相平分，
所以 为平行四边形，所以 .
又 平面 ，所以在直角 中，得
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）分别证明AD与两直线垂直，结合直线与平面判定定理，即可得出答案。（2）从题目所给条件找出以PQ为斜边的直角三角形，利用勾股定理，即可得出答案。
22．【答案】解：（Ⅰ）由已知得， ，
又由 得 ，故 ，
由此得 ，所以 ．
（Ⅱ）由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
于是 ，故 ，
由（1）知 ，又 ，
所以 平面 ，于是 ，
又由 ，所以， 平面 ．
又由 得 ．
五边形 的面积 ．
所以五棱锥 体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）结合直线与平面判定定理，证明EF与两直线垂直，即可得出答案。（2）计算出高EF的长度，然后结合体积计算公式，即可得出答案。
重庆市万州三中2018-2019学年高二上学期文数第一次月考试卷
一、单选题
1．（2018高二上·万州月考）下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）．
A．空间任意三点 B．空间两条直线
C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点
【答案】C
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】A，空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故答案为：C.
【分析】利用平面的概念以及构成要素，即可得出答案。
2．（2018高二上·铜梁月考）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A．⑴是棱台 B．⑵是圆台 C．⑶是棱锥 D．⑷不是棱柱
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，
故答案为：C．
【分析】结合棱台、圆台，棱锥和棱柱的概念，即可得出答案。
3．（2016高一上·天河期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2× π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
4．（2018高一下·临川期末）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在斜二测直观图中OB=2，OA=2， 所以在平面图形中OB=2，OA=4， OA⊥OB， 所以面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画法可知，与x轴平行长度保持不变，与y轴平行长度变为原来的一般，与x轴的夹角由原来的90度变成45度，然后，换原图形，算出面积。
5．（2018高二上·万州月考）在空间中，两不同直线a、b，两不同平面 、 ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】A，若 ，则 或者b在平面 内，故不正确；B. 若 ，则 或者 与面 相交，故不正确；C. 若 ，则 或者b在平面 内，故不正确；D. 若 ，则 ，根据面面平行的性质得到结果是正确的；
故答案为：D.
【分析】A，结合直线与平面平行的性质，即可得出答案。B，结合平面与平面平行的判定定理，即可得出答案。C，结合平面与平面平行性质，即可得出答案。D，结合平面与平面平行判定，即可得出答案。
6．（2017·山南模拟）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4 ，
故选B
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，进而根据勾股定理得到答案．
7．（2018高二上·万州月考）如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概型
【解析】【解答】 由题意， 的面积为 ，到三个顶点距离都不大于1的位置点形成区域的面积为 ，
所以其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】计算出阴影部分的面积，利用几何概型计算公式，即可得出答案。
8．（2018高二上·万州月考）已知空间四面体 中， 两两垂直且 ，那么四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】以 两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为： ，球的半径为 故球的面积为：
故答案为：A.
【分析】计算出球与正方体的关系，得出球的半径长度，利用球面积计算公式，即可得出答案。
9．（2018高二上·万州月考）如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1 ，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1 为异面直线AD与CB1所成角，等腰直角三角形BCB1 中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：D．
【分析】A选项运用直线与平面平行判定，即可得出答案。B选项结合三垂线定理，即可得出答案。C选项结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。D选项，找出所成角，构造三角形，计算角大小，即可得出答案。
10．（2018高二上·万州月考）已知a，b为异面直线，且所成的角为70°，过空间一点作直线l，直线l与a，b均异面，且所成的角均为50°，则满足条件的直线共有（ ） 条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】在空间取一点P，经过点P分别作a∥a′，b∥b′，
设直线a′、b′确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，
PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角．
因为直线a，b所成的角为70°，得a′、b′所成锐角等于70°．
所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，
PM与a′、b′所成角的范围是[35°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a′、b′所成的角都是50°．
当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[55°，90°）．
这种情况下，过点P有0条直线（即PM α时）与a′、b′所成的角都是50°．
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有2条．
故答案为：B．
【分析】分别绘制出满足条件的直线个数，即可得出答案。
11．（2018高二上·万州月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
∴α= ，β=﹣1，
故答案为：A．
【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
12．（2018高二上·万州月考）如图，正方体 中， 为 中点， 为线段 上的动点（ 不与 重合），以下四个命题：
（ ） 平面 ． （ ） 平面 ；（ ） 的面积与 的面积相等；（ ）三棱锥 的体积有最大值，其中真命题的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】（1）CD1与BM不垂直，所以CD1⊥平面BMN，不正确；（2）平面BMN∥平面AB1D1，所以MN∥平面AB1D1，正确；（3）两个三角形等底等高，△D1MN的面积与△CMN的面积相等，正确；（4）M与B重合，三棱锥D﹣MNC的体积最大，不正确．
故答案为：B．
【分析】（1）结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。（2）结合直线与平面平行判定，即可得出答案。（3）利用三角形面积计算公式，即可得出答案。（4）体积最大，找高最大，即可得出答案。
二、填空题
13．（2018高二上·万州月考）线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为5和7，则AB的中点到α的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题意，设AC⊥平面α，BD⊥平面α，则ACDB⊥平面α，过P作PE⊥CD，则PE表示P点到α的距离，由平面几何知识可知PE为梯形的中位线，所以PE= .
故答案为：6．
【分析】结合题目意义，判断出PE为梯形的中位线，计算长度，即可得出答案。
14．（2018高二上·万州月考）已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则一质点自点 出发，沿第三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线的长为 ．
【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】将三棱柱沿 展开，如图所示：
则最短线长为矩形对角线 ，由勾股定理可得 ，
故答案为： ．
【分析】将正三棱锥展开，得出最短距离即为两点连线，计算长度，即可得出答案。
15．（2018高二上·万州月考）如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】取PD的中点记为F点，BC的中点记为 点，连接FG，GD，
因为 ，且 ， ，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为 ，FG= ，DG= ，
FD=1，根据余弦定理得到 ，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为： .
故答案为： .
【分析】找出立体图中直线BE和PD所成角，然后构造三角形，利用余弦定理，即可得出答案。
16．（2018高二上·万州月考）如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
如图，
假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；
设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；
由EN∥BD，可得： ，
两式相加，得： ，
化简，得8=4x+y，
可得：8=4x+y≥2 ，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，
解得：S=xy≤4．
故答案为：4．
【分析】分别设出所求四边形边长为x和y，然后建立不等式，利用基本不等式，计算最值，即可得出答案。
三、解答题
17．（2018高二上·万州月考）如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，
（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；
（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；
（3）求出这个几何体的表面积。
【答案】（1）解：如图：
（2）解：正四棱锥
高为
（3）解：表面积为48cm2
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1）结合三视图，还原原图，即可得出答案。（2）建立直角三角形，利用勾股定理，即可得出高，即可得出答案。（3）结合三棱锥表面积计算公式，即可得出答案。
18．（2018高二上·万州月考）如图，在三棱锥P—ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC、
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）证明：平面PAB//平面FGH
【答案】证明：连接EC，
有
又
（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH//AB
在
PE∩AB=E， GO∩FH=O
所以平面PAB//平面FGH
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明AB垂直平面PEC，利用直线与平面垂直的性质，即可得出答案。（2）利用平面与平面平行判定定理，相交直线相互平行，即可得出答案。
19．（2018高二上·万州月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4 ．
（I）求证：PD∥面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。
【答案】（I）证明：连接BD，交AC于F，连接EF．
∵四边形ABCD为正方形
∴F为BD的中点
∵E为PB的中点，
∴EF∥PD
又∵PD 面 ACE，EF 面ACE，
∴PD∥平面ACE
（Ⅱ）解：取AB中点为G，连接EG
∵E为AB的中点
∴EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
在Rt△PAB中，PB=4 ，AB=4，则PA=4，EG=2
∴
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）证明PD平行EF，结合直线与平面平行判定定理，即可得出答案。（2）找出高EG，计算长度，计算底面积，利用体积计算公式，即可得出答案。
20．（2018高二上·万州月考）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）AA1=2 ，求异面直线EF与BC所成的角的大小．
【答案】（1）证明：连结BD1，在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，
∴EF是△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，∵D1B 平面ABC1D1，EF 平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1
（2）解：∵AA1=2 ，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），
在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1 平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．
在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2 ，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC= ，∴∠D1BC=60°，
∴异面直线EF与BC所成的角的大小为60°
【知识点】直线与平面平行的判定；异面直线
【解析】【分析】（1）证明直线EF与该平面内一条直线平行，利用直线与平面平行判定，即可得出答案。（2）找出异面直线所成角，然后建立三角形，计算正切值得出角的大小，即可得出答案。
21．（2018高二上·万州月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.
（1）证明： 平面 ；
（2）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长.
【答案】（1）证明：因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，而 面 ，所以 ，
由三视图得，在 中， ，为 的中点，
所以 ，又 ，所以 平面
（2）解：如图，取得AB的中点 ，连接 并延长至 ，
使得 ，点 即为所求，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
连接 ，四边形 的对角线互相平分，
所以 为平行四边形，所以 .
又 平面 ，所以在直角 中，得
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）分别证明AD与两直线垂直，结合直线与平面判定定理，即可得出答案。（2）从题目所给条件找出以PQ为斜边的直角三角形，利用勾股定理，即可得出答案。
22．（2018高二上·万州月考）如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折起到 的位置.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)若 ，求五棱锥 的体积.
【答案】解：（Ⅰ）由已知得， ，
又由 得 ，故 ，
由此得 ，所以 ．
（Ⅱ）由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
于是 ，故 ，
由（1）知 ，又 ，
所以 平面 ，于是 ，
又由 ，所以， 平面 ．
又由 得 ．
五边形 的面积 ．
所以五棱锥 体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）结合直线与平面判定定理，证明EF与两直线垂直，即可得出答案。（2）计算出高EF的长度，然后结合体积计算公式，即可得出答案。
