第六章 碰撞与动量守恒定律
“碰撞类”模型问题
【考点预测】
1. 完全弹性碰撞（动碰静、动碰动）
2.完全非弹性碰撞（碰后粘连、板块问题、子弹打木块、含弹簧类问题、含曲面或斜面问题）
3.非完全弹性碰撞（碰后速度、碰后能量）
【方法技巧与总结】
一、碰撞的特点和分类
1.碰撞的特点
(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计。
(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以动量守恒。
2.碰撞的分类
(1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。
(2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。
(3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。
3.爆炸：一种特殊的“碰撞”
特点1：系统动量守恒。
特点2：系统动能增加。
二、弹性正碰模型
1.“一动碰一静”模型
当v2＝0时，有
2.如果两个相互作用的物体，满足动量守恒的条件，且相互作用过程初、末状态的总机械能不变，广义上也可以看成弹性正碰。
三、碰撞可能性分析
判断碰撞过程是否存在的依据
1.满足动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
2.满足动能不增加原理：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。
3.速度要符合情景
(1)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后＞v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度v前′≥v后′。
(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰 后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体 的速度，即v前≥v后。
【题型归纳目录】
题型一：“滑块—弹簧”模型
题型二：“滑块—斜(曲)面”模型
题型三：“物体与物体”正碰模型
题型四：“滑块—木板”碰撞模型
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【典型例题】
例1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上，现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度时间图像如图乙，则有（ ）
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长
C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2
D．从t3到t4时刻两物块动量变化量相同
【方法技巧与总结】
1．模型图示
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)．
练1．（多选）如图所示，两物块A、B用轻弹簧相连（与A不拴接），物块A、B质量均为m，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v0的速度在光滑的水平地面上运动，质量为2m的物块C静止在前方，物块B与物块C碰撞后并粘在一起共同运动。在以后的运动中，下列说法正确的是（ ）
A．B与C碰撞后，二者共同的速度为
B．当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为
C．整个过程中，弹簧弹性势能的最大值为
D．最终物块A的速度为零
【题型二】“滑块—斜(曲)面”模型
【典型例题】
例2．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g，不考虑任何阻力，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．小球运动到最高点时的速度为
C．小球能够上升的最大高度为
D．若a>b，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动
【方法技巧与总结】
1．模型图示
2．模型特点
(1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0.系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)．
(2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)．
练2．（2023·四川成都·树德中学校考二模）如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量为2m的光滑小球以v0的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法正确的是（ ）
A．小球离车后，对地将做自由落体运动
B．小球离车后，对地将向右做平抛运动
C．小球在弧形槽上上升的最大高度为
D．此过程中小球对车做的功为
【题型三】“物体与物体”正碰模型
【典型例题】
例3．（2022·高二课时练习）如图甲所示，光滑水平面上有A、B两物块，已知A物块的质量mA=1 kg。初始时刻B静止，A以一定的初速度向右运动，之后与B发生碰撞并一起运动，它们的位移—时间图像如图乙所示（规定向右为位移的正方向），已知A、B碰撞时间极短t=0.01 s，图中无法显示，则（ ）
A．物体B的质量为2 kg
B．物体B的质量为4 kg
C．A、B碰撞时的平均作用力为300 N
D．A、B碰撞时的平均作用力为100 N
【方法技巧与总结】
1．碰撞遵守的规律
(1)动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞没有结束。如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
2．碰撞模型类型
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝。
结论：
①当两球质量相等时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
②当质量大的球碰质量小的球时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。
③当质量小的球碰质量大的球时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
④撞前相对速度与撞后相对速度大小相等。
(2)完全非弹性碰撞
①撞后共速。
②有动能损失，且损失最多。
练3．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）图为丁俊晖正在准备击球，设丁俊晖在某一杆击球过程中，白色球（主球）和花色球碰撞前后都在同一直线上运动，碰前白色球A的动量，花色球B静止，碰后花色球B的动量变为，则两球质量与间的关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】“滑块—木板”碰撞模型
【典型例题】
例4．（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为的木块A放在长木板的左端，一颗质量为的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速度为，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
【方法技巧与总结】
模型 图示
模型 特点 (1)若子弹未射穿木块或滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块或木板的速度最大，两者的相对位移(子弹为射入木块的深度)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型) (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹(或滑块)的质量越小，木块(或木板)的质量越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图示求解
练4．（2023·湖北·校考模拟预测）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的另一端系着质量为M的木块.质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块，并以速度v离开木块，子弹穿过木块的时间极短.重力加速度为g，不计木块的质量损失，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒
B．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都不守恒
C．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力等于
D．木块上升到最高点时，速度大小为
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·新疆·统考二模）大小相同的两个小球a、b并排静止在光滑水平面上，距小球b右侧l处有一竖直墙面，墙面垂直于两小球连线，如图所示。小球a的质量为，小球b的质量为m。现给小球a一沿连线向右的初速度，忽略空气阻力及所有碰撞过程中的动能损失，小球a与小球b发生第二次碰撞时距竖直墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北邯郸·统考二模）质量相等的、两小球（视为质点）在同一竖直线的不同高度以不同的初速度同时竖直上抛，在球到达最高点时两球发生正碰且碰撞时间极短。图中实线和虚线分别表示、两小球位置随时间变化的曲线，图线Ⅰ前半部分、Ⅱ后半部分关于时刻对称。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，球的速率大于球的速率 B．碰撞前后瞬间，球的动量不变
C．球先落回地面 D．碰撞后球的机械能大于球的机械能
3．（2023·辽宁鞍山·统考二模）两个完全相同的小球A、B用长度均为L的细线悬于天花板上，如图所示。若将A从图示位置由静止释放，则B球被碰后第一次速度为零时距离最低点的高度可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质量为m的不带电小球P以的速度向右运动，与另一电荷量为+q的静止小球Q发生正碰。两球碰撞后合为一体垂直撞向平行于方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的，速度方向反向，则最终两小球与小球Q的初始位置的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北·模拟预测）如图，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙面紧靠。另一个质量为的物块C以某一初速度向A运动，C与A碰撞后粘在一起不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C一边振动一边向左运动。那么下列说法错误的是（ ）
A．从C触到A，到B离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失
B．B离开墙面以后的运动过程中，B的最大速度为
C．C的初动能为9J
D．B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为J
6．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）
A．两物块的质量之比为
B．在时刻和时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
C．时间内，弹簧的长度大于原长
D．时间内，弹簧的弹力逐渐减小
7．（2023·北京海淀·101中学校考三模）在冰壶比赛中，某队员利用红壶去碰撞对方的蓝壶，两者在大本营中心发生对心碰撞如图（a）所示，碰撞前后两壶运动的v—t图线如图（b）中实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，两冰壶质量相等，则（ ）
A．碰后红壶将被反弹回来
B．碰后蓝壶速度为0.8m/s
C．碰后蓝壶移动的距离为m
D．碰后红壶所受摩擦力小于蓝壶所受的摩擦力
8．（2022·湖南衡阳·统考二模）2022年北京冬奥会在某次冰壶比赛中，如图所示∶蓝壶静止在大本营Q处，材质相同、质量相等的红壶与蓝壶发生对心正碰，在摩擦力作用下最终分别停在M点和N点。下列说法正确的是（ ）
A．碰后两壶动量的变化量相同
B．两壶碰撞过程为弹性碰撞
C．碰后蓝壶速度约为红壶速度的2倍
D．红壶碰前速度约为碰后速度的4倍
二、多选题
9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，光滑水平面上放置滑块A和左侧固定轻质竖直挡板的木板B，滑块C置于B的最右端，三者质量分别为mA=2kg、mB=3kg、mC=1kg。开始时B、C静止，A以v0=7.5m/s的速度匀速向右运动，A与B发生正撞（碰撞时间极短），经过一段时间，B、C达到共同速度一起向右运动，且此时C再次位于B的最右端。已知所有的碰撞均无机械能损失，木板B的长度为L=0.9m，B、C之间的动摩擦因数为μ，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为5m/s
B．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为6m/s
C．C与B左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C对B摩擦力的冲量水平向左
D．μ=0.75
10．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，光滑水平桌面距离水平地面的高度为H，质量为m2、半径为R的光滑四分之一圆弧槽B静止放在桌面上，质量为m1的小球A从与圆弧槽圆心等高处由静止滑下，与静止在桌面上的质量为m3的小球C发生弹性正碰，最后两小球落到水平地面上的M、N两点，已知H=0.8m，R=0.9m，m1=2kg，m2=2kg，m3=1kg，重力加速度g=10m/s2，两球视为质点，不计空气阻力，下列选项正确的是（ ）
A．小球A从圆弧槽滑离时的速度为3m/s B．小球A与小球C碰撞后，小球C的速度为2m/s
C．M、N两点的距离为m D．小球A可能落在N点
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为2m的小车，小车的四分之一圆弧轨道在最低点B与水平轨道相切，圆弧轨道表面光滑，半径为R，水平轨道表面粗糙。在小车的右端固定一个轻弹簧，弹簧的原长小于水平轨道的长度。一个质量为m的小球从圆弧轨道与圆心等高的A点开始自由滑下，经B到达水平轨道，压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，重力加速度大小为g，下列说法不正确的是（ ）
A．小球、小车及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒
B．小球第一次到达B点时对小车的压力
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．从开始到弹簧具有最大弹性势能时，摩擦生热
12．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J
B．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为，方向向右
C．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J
D．物块B离开墙壁后，物块B的最大速度大小为
三、解答题
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m的小物块a连接，a静止在水平地面上的A处，此时弹簧处于原长状态，A左侧地面光滑；另一质量为的小滑块b静止在B处，b与地面间的动摩擦因数为μ。现对b施加一水平向左、大小为的恒定推力，经时间t后b与a发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰前瞬间撤去推力，a与b不再相碰。已知重力加速度大小为g。求；
（1）b与a碰撞前瞬间的速度大小v以及A与B间的距离x0；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm以及碰后b运动的路程L。
14．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图所示，质量m = 2kg可视为质点的小物块P以v0= 2m/s从水平传送带左端滑上传送带，传送带长L = 5m。传送带右侧水平面上静置一质量M = 8kg的光滑四分之一圆弧槽Q，与传送带平滑连接，且圆弧槽不固定。光滑圆弧槽的半径为R = 0.64m，物块与传送带间的动摩擦因数为μ = 0.2，其他一切摩擦不计，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）若传送带以v1= 3m/s的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度；
（2）若传送带以v2= 6m/s的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度。
15．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）如图所示，左侧AB为倾角θ=37°的粗糙斜面轨道，中间BC为光滑水平轨道，右侧CD为倾角θ=37°顺时针转动的传送带，其上方与一光滑水平台面平滑连接，水平轨道BC与斜面轨道AB以及传送带CD间均平滑连接。物块1从斜面轨道的最高点A由静止下滑，滑到水平轨道上先与静止的物块2发生弹性碰撞，物块2再与静止的物块3发生弹性碰撞，之后物块3滑上传送带，并最终滑到水平台面上。已知物块1的质量为m1=m0，物块3的质量为，轨道AB的长度lAB=9m，传送带CD的长度，物块与轨道AB、传送带CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，物块均可看做质点，sin37°=0.6、cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。
（1）求物块1第一次运动到B点时的速度v0的大小；
（2）求当m2为何值时，物块3获得的速度最大，并求出物块3的最大速度vm的大小；
（3）若物块3以最大速度vm滑上传送带，最终滑到水平台面上，求传送带的最小速度v的大小。
第六章 碰撞与动量守恒定律
“碰撞类”模型问题
【考点预测】
1. 完全弹性碰撞（动碰静、动碰动）
2.完全非弹性碰撞（碰后粘连、板块问题、子弹打木块、含弹簧类问题、含曲面或斜面问题）
3.非完全弹性碰撞（碰后速度、碰后能量）
【方法技巧与总结】
一、碰撞的特点和分类
1.碰撞的特点
(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计。
(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以动量守恒。
2.碰撞的分类
(1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。
(2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。
(3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。
3.爆炸：一种特殊的“碰撞”
特点1：系统动量守恒。
特点2：系统动能增加。
二、弹性正碰模型
1.“一动碰一静”模型
当v2＝0时，有
2.如果两个相互作用的物体，满足动量守恒的条件，且相互作用过程初、末状态的总机械能不变，广义上也可以看成弹性正碰。
三、碰撞可能性分析
判断碰撞过程是否存在的依据
1.满足动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
2.满足动能不增加原理：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。
3.速度要符合情景
(1)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后＞v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度v前′≥v后′。
(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰 后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体 的速度，即v前≥v后。
【题型归纳目录】
题型一：“滑块—弹簧”模型
题型二：“滑块—斜(曲)面”模型
题型三：“物体与物体”正碰模型
题型四：“滑块—木板”碰撞模型
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【典型例题】
例1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上，现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度时间图像如图乙，则有（ ）
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长
C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2
D．从t3到t4时刻两物块动量变化量相同
【答案】BC
【解析】AB．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，在t1时刻弹簧处于压缩状态，在t3时刻弹簧处于拉伸状态，从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长，恢复到初始状态，选项A错误，B正确；
C．在t2时刻弹簧处于原长状态，则在0~t2时间内，根据动量守恒和能量守恒关系可知
其中v0=3m/s，v1=-1m/s，v2=2m/s解得
两物块的质量之比为
m1:m2=1:2
选项C正确；
D．从t3到t4时刻A的动量增加2kg m/s，B的动量减小2kg m/s，则两物块动量变化量不相同，选项D错误。
故选BC。
【方法技巧与总结】
1．模型图示
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)．
练1．（多选）如图所示，两物块A、B用轻弹簧相连（与A不拴接），物块A、B质量均为m，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v0的速度在光滑的水平地面上运动，质量为2m的物块C静止在前方，物块B与物块C碰撞后并粘在一起共同运动。在以后的运动中，下列说法正确的是（ ）
A．B与C碰撞后，二者共同的速度为
B．当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为
C．整个过程中，弹簧弹性势能的最大值为
D．最终物块A的速度为零
【答案】AD
【解析】A．物块B与物块C碰撞过程，A不参与，碰撞后，设物块B、C的共同速度为vBC，由动量守恒定律有
可得碰后共同速度为
故A正确；
BC．当物块A、B、C三者的速度相同时弹簧的弹性势能最大，设物块A、B、C三者的共同速度为，由物块A、B、C三者组成的系动量守恒，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律可知
Ep
故BC错误；
D．最终物块A与弹簧分离，分离时物块A的速度为v1，物块B、C的速度为v2，由动量守恒定律有
由能量关系得
解得
v1=0，
故D正确。
故选AD。
【题型二】“滑块—斜(曲)面”模型
【典型例题】
例2．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如图乙所示，重力加速度为g，不考虑任何阻力，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．小球运动到最高点时的速度为
C．小球能够上升的最大高度为
D．若a>b，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动
【答案】C
【解析】A．设小球的质量为m，初速度为v0，在水平方向上由动量守恒定律得
结合图乙可得
所以
，
故A正确，不符合题意；
D．对小球和圆弧滑块组成的系统，有
解得小球在与圆弧滑块分离时的速度为
即a>b时，小球的速度方向向左，所以小球与圆弧分离时向左做平抛运动，故D正确，不符合题意；
B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得
解得
故B正确，不符合题意；
C．小球从开始运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得
解得
故C错误，符合题意。
故选C。
【方法技巧与总结】
1．模型图示
2．模型特点
(1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0.系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)．
(2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)．
练2．（2023·四川成都·树德中学校考二模）如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量为2m的光滑小球以v0的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法正确的是（ ）
A．小球离车后，对地将做自由落体运动
B．小球离车后，对地将向右做平抛运动
C．小球在弧形槽上上升的最大高度为
D．此过程中小球对车做的功为
【答案】C
【解析】AB．设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得
由动能守恒定律得
解得
所以小球与小车分离后对地将向左做平抛运动，故AB错误；
C．当小球与小车的水平速度相等时，小球弧形槽上升到最大高度，设该高度为h，系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
故C正确；
D．对小车运用动能定理得，小球对小车做功
故D错误。
故选C。
【题型三】“物体与物体”正碰模型
【典型例题】
例3．（2022·高二课时练习）如图甲所示，光滑水平面上有A、B两物块，已知A物块的质量mA=1 kg。初始时刻B静止，A以一定的初速度向右运动，之后与B发生碰撞并一起运动，它们的位移—时间图像如图乙所示（规定向右为位移的正方向），已知A、B碰撞时间极短t=0.01 s，图中无法显示，则（ ）
A．物体B的质量为2 kg
B．物体B的质量为4 kg
C．A、B碰撞时的平均作用力为300 N
D．A、B碰撞时的平均作用力为100 N
【答案】C
【解析】AB．由图乙可知撞前vA=4 m/s，vB=0，撞后
则由
可得
故AB错误；
CD．对B有
解得F=300 N，故C正确D错误。
故选C。
【方法技巧与总结】
1．碰撞遵守的规律
(1)动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞没有结束。如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
2．碰撞模型类型
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝。
结论：
①当两球质量相等时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
②当质量大的球碰质量小的球时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都沿速度v1的方向运动。
③当质量小的球碰质量大的球时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
④撞前相对速度与撞后相对速度大小相等。
(2)完全非弹性碰撞
①撞后共速。
②有动能损失，且损失最多。
练3．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）图为丁俊晖正在准备击球，设丁俊晖在某一杆击球过程中，白色球（主球）和花色球碰撞前后都在同一直线上运动，碰前白色球A的动量，花色球B静止，碰后花色球B的动量变为，则两球质量与间的关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】碰撞过程系统动量守恒，以白色球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得
根据碰撞过程总动能不增加，则有
解得
碰后，两球同向运动，A的速度不大于B的速度，则
解得
综上可知
故选C。
【题型四】“滑块—木板”碰撞模型
【典型例题】
例4．（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为的木块A放在长木板的左端，一颗质量为的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速度为，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
【答案】B
【解析】A．对子弹和木块A组成的系统，根据动量守恒定律
解得
此后木块A与子弹一起做减速运动，则此时木块的速度最大，选项A正确；
B．木块滑离木板时，对木板和木块包括子弹系统
解得
选项B错误；
C．对木板，由动量定理：
解得
选项C正确；
D．由能量守恒定律可知，木块在木板上滑动时，因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差，选项D正确。
本题选错误的，故选B。
【方法技巧与总结】
模型 图示
模型 特点 (1)若子弹未射穿木块或滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块或木板的速度最大，两者的相对位移(子弹为射入木块的深度)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型) (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹(或滑块)的质量越小，木块(或木板)的质量越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图示求解
练4．（2023·湖北·校考模拟预测）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的另一端系着质量为M的木块.质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块，并以速度v离开木块，子弹穿过木块的时间极短.重力加速度为g，不计木块的质量损失，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒
B．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都不守恒
C．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力等于
D．木块上升到最高点时，速度大小为
【答案】D
【解析】AB．根据题意可知，子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量守恒，子弹克服摩擦阻力做功，机械能不守恒，故AB错误；
C．子弹射出木块后的瞬间，木块有速度，根据圆周运动的规律，环对轻杆的压力大于，故C错误；
D．木块上升到最高点时，环和木块的速度相等，水平方向上系统动量守恒，由动量守恒定律有
解得
故D正确。
故选D。
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·新疆·统考二模）大小相同的两个小球a、b并排静止在光滑水平面上，距小球b右侧l处有一竖直墙面，墙面垂直于两小球连线，如图所示。小球a的质量为，小球b的质量为m。现给小球a一沿连线向右的初速度，忽略空气阻力及所有碰撞过程中的动能损失，小球a与小球b发生第二次碰撞时距竖直墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】a球与b球发生弹性碰撞，设a球碰前的初速度为，碰后a、b的速度为、，取向右为正，由动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
，
设小球a与小球b发生第二次碰撞时距竖直墙面的距离为，则满足
解得
故选C。
2．（2023·河北邯郸·统考二模）质量相等的、两小球（视为质点）在同一竖直线的不同高度以不同的初速度同时竖直上抛，在球到达最高点时两球发生正碰且碰撞时间极短。图中实线和虚线分别表示、两小球位置随时间变化的曲线，图线Ⅰ前半部分、Ⅱ后半部分关于时刻对称。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，球的速率大于球的速率 B．碰撞前后瞬间，球的动量不变
C．球先落回地面 D．碰撞后球的机械能大于球的机械能
【答案】D
【解析】A．图线的斜率表示速度，根据题图可知，时刻，球的速率小于球的速率，A错误；
BC．根据题图可知，碰撞前后瞬间，两球交换速度，所以碰撞后瞬间，球的速度变为零，球的速度增大，方向竖直向上，球先落回地面，BC错误；
D．碰撞后两球处于同一位置，球的速度大于球的速度，两球质量相等，因此碰撞后球的机械能大于球的机械能，D正确。
故选D。
3．（2023·辽宁鞍山·统考二模）两个完全相同的小球A、B用长度均为L的细线悬于天花板上，如图所示。若将A从图示位置由静止释放，则B球被碰后第一次速度为零时距离最低点的高度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】小球A从释放到最低点，由动能定理可知
解得
若A与B发生完全弹性碰撞，由能量守恒定律和动量守恒定律可知两者交换速度，即
B上升过程中由动能定理可知
解得
若A与B发生完全非弹性碰撞即AB粘在一起，由动量守恒定律可知
解得
在AB上升过程中，由动能定理可知
解得
所以B球上升的高度
高度可能是。
故选B。
4．（2023·云南·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质量为m的不带电小球P以的速度向右运动，与另一电荷量为+q的静止小球Q发生正碰。两球碰撞后合为一体垂直撞向平行于方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的，速度方向反向，则最终两小球与小球Q的初始位置的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设小球Q的质量为M，两球碰撞合为一体后的速度为v，根据动量守恒有
根据洛伦兹力提供向心力有
解得两球碰撞合为一体后运动半径
由题意可知小球与墙每次碰撞后的运动半径变为碰撞前的，所以在水平方向的距离为
利用等比数列求和公式可得
最后利用勾股定理可得最终两小球与小球Q的初始位置的距离
选项B正确。
故选B。
5．（2023·湖北·模拟预测）如图，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙面紧靠。另一个质量为的物块C以某一初速度向A运动，C与A碰撞后粘在一起不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C一边振动一边向左运动。那么下列说法错误的是（ ）
A．从C触到A，到B离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失
B．B离开墙面以后的运动过程中，B的最大速度为
C．C的初动能为9J
D．B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为J
【答案】B
【解析】AC．从C触到A，到B离开墙面这一过程，C与A碰撞后粘在一起不再分开，是非弹性碰撞，机械能有损失，C、A共同向右运动并压缩弹簧过程中，B受到墙面的作用力，系统的动量不守恒；设C的初速度为v0，初动能为，对C与A碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
C、A向右压缩弹簧的过程，由机械能守恒得
得
初动能为
联立解得
，，
机械能损为
AC正确；
B．当B刚离开墙壁时C、A的速度大小等于v1，方向向左。当弹簧由拉伸第二次恢复原长时B的速度最大，取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得
，
解得B的最大速度为
B错误；
D．B离开墙面后，当三个物体的速度相同时弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律和
机械能守恒定律得
，
联立解得B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为
D正确。
本题选择错误的，故选B。
6．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）
A．两物块的质量之比为
B．在时刻和时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
C．时间内，弹簧的长度大于原长
D．时间内，弹簧的弹力逐渐减小
【答案】B
【解析】A．以m1的初速度方向为正方向，对0～1s时间内的过程，由动量守恒定律得
将v1=3m/s，v共=1m/s代入解得
故A错误；
B．根据系统能量守恒可知在时刻和时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；
C．在时刻弹簧压缩至最短，所以时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；
D．时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大
故选B。
7．（2023·北京海淀·101中学校考三模）在冰壶比赛中，某队员利用红壶去碰撞对方的蓝壶，两者在大本营中心发生对心碰撞如图（a）所示，碰撞前后两壶运动的v—t图线如图（b）中实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行，两冰壶质量相等，则（ ）
A．碰后红壶将被反弹回来
B．碰后蓝壶速度为0.8m/s
C．碰后蓝壶移动的距离为m
D．碰后红壶所受摩擦力小于蓝壶所受的摩擦力
【答案】B
【解析】AB．由图可知，碰前红壶的速度v0＝1.0m/s，碰后速度为v′0＝0.2m/s，碰后红壶沿原方向运动，设碰后蓝壶的速度为v，取碰撞前红壶的速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得
mv0＝mv′0+mv
代入数据解得
v＝0.8m/s
由于
碰撞过程机械能有损失，碰撞为非弹性碰撞，A错误，B正确；
C．根据速度图像与坐标轴围成的面积表示位移，可得，碰后蓝壶移动的位移大小
C错误；
D．根据图像的斜率表示加速度，可知碰后红壶的加速度大于蓝壶的加速度，两者的质量相等，由牛顿第二定律可知，碰后红壶所受摩擦力大于蓝壶所受的摩擦力，D错误。
故选B。
8．（2022·湖南衡阳·统考二模）2022年北京冬奥会在某次冰壶比赛中，如图所示∶蓝壶静止在大本营Q处，材质相同、质量相等的红壶与蓝壶发生对心正碰，在摩擦力作用下最终分别停在M点和N点。下列说法正确的是（ ）
A．碰后两壶动量的变化量相同
B．两壶碰撞过程为弹性碰撞
C．碰后蓝壶速度约为红壶速度的2倍
D．红壶碰前速度约为碰后速度的4倍
【答案】C
【解析】A．碰后两壶运动距离不相同，碰后两球速度不相同，因此动量的变化量不相同，A错误；
C．碰后红壶运动的距离为
蓝壶运动的距离为
二者质量相同，二者碰后的所受摩擦力相同，即二者做减速运动的加速度相同，对红壶，有
对蓝壶，有
联立可得
即碰后蓝壶速度约为红壶速度的2倍，C正确；
D．设红壶碰前速度为，根据动量守恒，则有
解得
即红壶碰前速度约为碰后速度的3倍，D错误；
B．碰前的动能为
碰后动能为
则有
机械能不守恒，D错误。
故选C。
二、多选题
9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，光滑水平面上放置滑块A和左侧固定轻质竖直挡板的木板B，滑块C置于B的最右端，三者质量分别为mA=2kg、mB=3kg、mC=1kg。开始时B、C静止，A以v0=7.5m/s的速度匀速向右运动，A与B发生正撞（碰撞时间极短），经过一段时间，B、C达到共同速度一起向右运动，且此时C再次位于B的最右端。已知所有的碰撞均无机械能损失，木板B的长度为L=0.9m，B、C之间的动摩擦因数为μ，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为5m/s
B．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为6m/s
C．C与B左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C对B摩擦力的冲量水平向左
D．μ=0.75
【答案】BD
【解析】AB．规定向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
解得
故A错误，B正确；
C．C与B左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C的速度大于B的速度，C对B的摩擦力水平向右，此时C对B摩擦力的冲量水平向右，故C错误；
D．由动量守恒定律和机械能守恒定律得
解得
故D正确。
故选BD。
10．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，光滑水平桌面距离水平地面的高度为H，质量为m2、半径为R的光滑四分之一圆弧槽B静止放在桌面上，质量为m1的小球A从与圆弧槽圆心等高处由静止滑下，与静止在桌面上的质量为m3的小球C发生弹性正碰，最后两小球落到水平地面上的M、N两点，已知H=0.8m，R=0.9m，m1=2kg，m2=2kg，m3=1kg，重力加速度g=10m/s2，两球视为质点，不计空气阻力，下列选项正确的是（ ）
A．小球A从圆弧槽滑离时的速度为3m/s B．小球A与小球C碰撞后，小球C的速度为2m/s
C．M、N两点的距离为m D．小球A可能落在N点
【答案】AC
【解析】设球滑离圆弧槽时的速度为，圆弧槽的速度为，取向右为正方向，此过程由水平方向动量守恒和机械能守恒得
解得
假设与碰撞后的速度为，由动量守恒和机械能守恒得
解得
假设两球从桌面平抛运动时间为，由
A球的水平位移
球的水平位移
MN两点的距离
因为，所以A球落在M点。
故选AC。
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为2m的小车，小车的四分之一圆弧轨道在最低点B与水平轨道相切，圆弧轨道表面光滑，半径为R，水平轨道表面粗糙。在小车的右端固定一个轻弹簧，弹簧的原长小于水平轨道的长度。一个质量为m的小球从圆弧轨道与圆心等高的A点开始自由滑下，经B到达水平轨道，压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，重力加速度大小为g，下列说法不正确的是（ ）
A．小球、小车及弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒
B．小球第一次到达B点时对小车的压力
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．从开始到弹簧具有最大弹性势能时，摩擦生热
【答案】AB
【解析】A．小球、小车及弹簧组成的系统由于克服阻力做功，机械能不守恒，水平方向外力为零，水平方向动量守恒，但竖直方向合力不为零，系统动量不守恒，故A错误，符合题意；
B．将小车和小球、弹簧当成一个系统，在运动过程中，系统的水平动量守恒，取向右为正
，
小球第一次到达B点时
解得
根据牛顿第三定律，对小车的压力，故B错误，符合题意；
CD．弹簧具有的最大弹性势能时，系统共速
解得
根据能量守恒，设克服阻力做功为
压缩弹簧后被弹回并恰好相对于小车静止在B点，可知
最终共速为0，根据能量守恒
解得
故CD正确，不符合题意。
故选AB。
12．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J
B．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为，方向向右
C．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J
D．物块B离开墙壁后，物块B的最大速度大小为
【答案】AD
【解析】A．AC碰撞过程中由动量守恒可得
，解得
当AC速度减为零时弹簧压缩至最短，此时弹性势能最大
故A正确；
B．4s到12s的时间内弹簧对AC的冲量为
由能量守恒可知12s B的速度为零，4s到12s的时间内对B由动量定理可得
得
即大小为，方向向左，故B错误；
C．当B的速度与AC相等时由动量守恒可得
解得
所以弹簧的最大弹性势能为
故C错误；
D．当弹簧为原长时B的速度达到最大，由动量守恒和能量守恒可得
解得
故D正确。
故选AD。
三、解答题
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m的小物块a连接，a静止在水平地面上的A处，此时弹簧处于原长状态，A左侧地面光滑；另一质量为的小滑块b静止在B处，b与地面间的动摩擦因数为μ。现对b施加一水平向左、大小为的恒定推力，经时间t后b与a发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰前瞬间撤去推力，a与b不再相碰。已知重力加速度大小为g。求；
（1）b与a碰撞前瞬间的速度大小v以及A与B间的距离x0；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm以及碰后b运动的路程L。
【答案】（1）v = 2μgt，x0 = μgt2；（2），
【解析】（1）b从B运动到A的过程中做匀加速直线运动，设加速度大小为，则
根据牛顿第二定律有
解得
v = 2μgt，x0 = μgt2
（2）b与a发生弹性正碰，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，有
解得
a碰后向左运动到速度为零时弹簧的弹性势能最大，则
解得
b碰后向右做匀减速直线运动，设加速度大小为，则
根据牛顿第二定律有
解得
14．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图所示，质量m = 2kg可视为质点的小物块P以v0= 2m/s从水平传送带左端滑上传送带，传送带长L = 5m。传送带右侧水平面上静置一质量M = 8kg的光滑四分之一圆弧槽Q，与传送带平滑连接，且圆弧槽不固定。光滑圆弧槽的半径为R = 0.64m，物块与传送带间的动摩擦因数为μ = 0.2，其他一切摩擦不计，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）若传送带以v1= 3m/s的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度；
（2）若传送带以v2= 6m/s的速度顺时针转动，求物块在运动过程中离地的最大高度。
【答案】（1）0.36m；（2）1m
【解析】假设物块滑上传送带后可以一直加速，则有
假设物块刚好能够到达圆弧槽最高点，有
解得
（1）若传送带的速度顺时针转动，则物块在传送带上先加速后匀速，最终以的速度冲上圆弧槽；且由可知，物块到不了最高点，则有
解得
（2）若传送带的速度时针转动，，物块在传送带上一直加速，最终的速度冲上圆弧；且由可知，物块能到达圆弧最高点。
则P滑到Q的最高点时，设二者的水平速度为，P的竖直速度为，P的速度为
水平方向动量守恒
系统机械能守恒
设P离开Q后在竖直方向上升的高度为h，则有
解得
h = 0.36m
物块在运动过程中的最大高度
15．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）如图所示，左侧AB为倾角θ=37°的粗糙斜面轨道，中间BC为光滑水平轨道，右侧CD为倾角θ=37°顺时针转动的传送带，其上方与一光滑水平台面平滑连接，水平轨道BC与斜面轨道AB以及传送带CD间均平滑连接。物块1从斜面轨道的最高点A由静止下滑，滑到水平轨道上先与静止的物块2发生弹性碰撞，物块2再与静止的物块3发生弹性碰撞，之后物块3滑上传送带，并最终滑到水平台面上。已知物块1的质量为m1=m0，物块3的质量为，轨道AB的长度lAB=9m，传送带CD的长度，物块与轨道AB、传送带CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，物块均可看做质点，sin37°=0.6、cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。
（1）求物块1第一次运动到B点时的速度v0的大小；
（2）求当m2为何值时，物块3获得的速度最大，并求出物块3的最大速度vm的大小；
（3）若物块3以最大速度vm滑上传送带，最终滑到水平台面上，求传送带的最小速度v的大小。
【答案】（1）6m/s；（2），；（3）4m/s
【解析】（1）对物块1，由A运动到B的过程，根据动能定理可得
解得
（2）设物块1、2碰撞后瞬间的速度大小分别为v1、v2，物块2、3碰撞后瞬间的速度大小分别为、v3，由动量守恒和能量守恒可得
由以上各式可得
当时，物块3获得的速度最大，最大速度为
（3）当物块3以最大速度vm滑上传送带，最终滑到水平台面上速度刚好减为0时，传送带的速度最小，由于
故物块3在传送带上先以加速度大小a1做匀减速直线运动，直到与传送带共速时，再以加速度大小a2做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可得
设物块3第一段匀减速运动的位移大小为l1，第二段匀减速运动的位移大小为l2，由运动学公式可得
解得
