凤城高中2022级（高二年级）10月24号考试
（考试总分：150 分 考试时长： 0 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
2.（5分）已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有( )
A. B. C. D.
3.（5分）如图，平行六面体中，为的中点，，则( )
A. B. C. D.
4.（5分）已知，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.（5分）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是( )
A. B. C. D.
6.（5分）直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C.或 D.或
7.（5分）实数满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.（5分）如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.（5分）已知直线，若，则( )
A. B. C. D.
10.（5分）已知圆，直线下列说法正确的是( )
A.直线恒过定点
B.圆被轴截得的弦长为
C.直线被圆截得弦长存在最大值,此时直线的方程为
D.直线被圆截得弦长存在最小值,此时直线的方程为
11.（5分）未找到试题题干
12.（5分）如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则( )
A.当时,平面
B.当时,取得最小值,其值为
C.的最小值为
D.当平面时,
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是________.
14.（5分）已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是________.
15.（5分）若是圆上一动点，是圆上一动点，则的最小值是________.
16.（5分）如图，矩形中，是的中点，将三角形沿翻折，使得平面和平面垂直，如图，连接，则异面直线和所成角的余弦值为________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）如图：在平行六面体中，点是线段的中点，点在线段上，且.
(1)求满足的实数、、的值.
(2)求的长.
18.（12分）已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程
(2)若过点的直线被圆截得的弦的长是，求直线的方程.
19.（12分）已知直线过点.
(1)若直线在两坐标轴上截距和为零，求方程；
(2)设直线的斜率，直线与两坐标轴交点分别为、，求面积最小值.
20.（12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.
(1)求圆的圆心的坐标
(2)求线段的中点的轨迹方程.
21.（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，侧面为等边三角形，分别为的中点，平面.
(1)求证：平面
(2)求异面直线与所成角的余弦值
(3)求点到平面的距离.
22.（12分）如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点.
(1)求证：平面
(2)求平面与平面夹角的余弦值
(3)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值若不存在，请说明理由.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.（5分）【答案】A
2.（5分）【答案】A
3.（5分）【答案】B
4.（5分）【答案】B
5.（5分）【答案】B
6.（5分）【答案】D
7.（5分）【答案】C
8.（5分）【答案】B
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.（5分）【答案】AB
10.（5分）【答案】BD
11.（5分）【答案】ABD
12.（5分）【答案】BC
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）【答案】且
14.（5分）【答案】
15.（5分）【答案】
16.（5分）【答案】
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)
，
所以；
(2)，
.
18.（12分）(1)设圆的标准方程为，
依题意可得，
解得
，
圆的标准方程为.
(2)，
圆心到直线的距离.
直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意
直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
，解得，
直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
19.（12分）(1)设直线的方程为，即.
则它在两坐标轴上截距分别为和，
由题意，，解得：或，
直线的方程为或.
(2)设直线的斜率，
则直线与两坐标轴交点分别为、，
，
当且仅当时，等号成立，
故面积最小值为.
20.（12分）(1)由得，所以圆的圆心的坐标为.
(2)设，因为点为线段的中点，所以，所以，当时，可得，整理得，又当直线与轴重合时，点的坐标为，代入上式成立.
设直线的方程为，与联立，消去得，
令，得，
此时方程为，
解得或舍去，
因此，
所以线段的中点的轨迹方程为.
21.（12分）(1)证明：由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.
则
，
设平面的一个法向量为，
由，取，得.
，且平面平面；
(2)，
，
则异面直线与所成角的余弦值为；
(3)，
设平面的一个法向量为，
由，取，得.
又，
到平面的距离为.
22.（12分）(1)证明：，，，平面，又平面，又平面，平面.
(2)以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，设平面的法向量为，
令，则设平面的法向量为，，
令，则，，
，平面与平面夹角的余弦值为.
(3)假设存在点，设，，
由知平面的一个法向量为，
由，得，
即
或或.
