兰溪市实验中学共同体2023学年第一学期期中学业反馈九年级数学学科试题卷 2023年10月
一、选择题（本大题共10小题，共30分。）
1.“明天是晴天”这个事件是( )
A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件
2.已知，则下列结论一定正确的是( )
A. ， B. C. D.
3.将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
4.已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数为实数，且，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知点是的外心，若，则的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
(
第
8
题
) (
第
9
题
) (
第
7
题
)
7.如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则( )
A. B. C. D.
10.二次函数为实数，且，对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是______．
12.做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据：
抛掷总次数
杯口朝上频数
杯口朝上频率
则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______ 结果精确到．
13.如图，正内接于，的半径为，则的孤长为______ ．
(
第
16
题
) (
第
15
题
) (
第
13
题
) (
第
11
题
)
14.已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______ ．
15.如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为______ ．
16.如图，正五边形的对角线和分别交对角线于点，，若的面积为，则正五边形的面积为______ 结果用含的代数式表示．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分一个布袋里装有只有颜色不同的个球，其中个红球，个白球．
从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．
从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的个球中，个是白球，个是红球的概率．
18.本小题分如图是一个管道的横截面，圆心到水面的距离是，水面宽．
求这个管道横截面的半径．
求的度数．
19.本小题分如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
若原矩形的长，宽问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
20.本小题分有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，桥洞的跨度为，如图建立直角坐标系．
求这条抛物线的函数表达式．
求离对称轴处，桥洞离水面的高是多少？
21.本小题分如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
求证：∽．
若，求的长．
22.本小题分二次函数的图象经过，两点．
当时，判断与的大小．
当时，求的取值范围．
若此函数图象还经过点，且，求证：．
23.本小题分如图，在中，为弦，为直径，且于点，过点作，交的延长线于点连接，．
求证：．
若，求的值．
如图，若的延长线与的交点恰好为的中点，若的半径为求图中阴影部分的面积结果用含的代数式表示．
24.本小题分如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
第3页，共4页兰溪市实验中学共同体2023学年第一学期期中学业反馈九年级数学学科答案
1-5 6-10
11. 12. 13. 14. 15. 16.
17. 解：；根据题意画出相应树状图如下，
由树状图可知，共有中等可能结果，其中摸出的个球中，个是白球，个是红球的有种结果，
摸出的个球中，个是白球，个是红球的概率为．
18. 解：；．
19. 解：不相似．理由如下：原矩形的长，宽，
划分后小矩形的长为，宽为，
又，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，每个小矩形与原矩形不相似．
原矩形的长，宽，划分后小矩形的长为，宽为，
又每个小矩形与原矩形相似， ，即．
20. 解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，
抛物线过点，，解得，
这条抛物线所对应的函数表达式为；
解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边处为，
将代入，可得，解得，
答：离对称轴处，桥洞离水面的高是
21. 证明：平分，，，，，
是边上的中线，，，∽；
解：，，，，∽，
，，．
22. 解：当时，，，
；，，又，，；
二次函数的对称轴为直线，二次函数经过，两点，
得，即，，．
23. 解：为直径，，即，又，
，；
如图，连接，，，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
为直径，且，，，，
，又，，，
∽，，即，解得，；
如图，连接，的延长线与的交点恰好为的中点，
，即，，，
又，，≌，，
为直径，，，，
，即为等边三角形，，
的半径为，，，
，，，
，，，≌，
，
．
24. 解：抛物线的顶点的坐标为，可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，，解得，
抛物线解析式为，即点在轴上，令可得，
点的坐标为，可设直线解析式为，把点代入可得，解得，
直线解析式为．设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，点在第一象限，点在点的上方，，当时，有最大值．
存在满足条件的点，理由如下：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，，，，
，，，
，，
当中边上的高为时，即，
，，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
第3页，共3页
