永寿县中学2023～2024学年度高三年级第二次考试
数学（文科）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（）
A. B. C. 2 D. 1
3. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 函数在上的值域为（）
A. B. C. D.
5. 已知幂函数在区间上单调递增，则（）
A. -2 B. 1 C. D. -1
6. 在中，，，，则边上的高的长度为（）
A. B. C. D.
7. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（）
A. B. C. D.
10. 已知，均为锐角，且，，则（）
A. B. C. D.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，.已知，且，则的值为（）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
12. 若函数的一个零点为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则_________.
14. 已知角的终边上一点的坐标为，则__________．
15. 已知定义在R上奇函数的周期为3，且满足，记集合，则A＝______．
16若，则__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求A；
（2）若，求a的最小值.
18. 已知函数在区间上的值域为.
（1）求实数、的值；
（2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围.
19. 已知函数，其中．
（1）若函数的最大值是最小值的倍，求的值；
（2）当时，函数正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值．
20. 已知函数
（1）时，求的值域；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
21. 已知函数是R上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）请用单调性定义证明R上单调递增；
（3）解不等式：.
22. 设函数，其中是自然对数底数，.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(
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)永寿县中学2023～2024学年度高三年级第二次考试
数学（文科）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，进而求出.
【详解】，.
故选：D
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】化简复数，求出复数的模即可.
【详解】，
故.
故选：B.
3. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用全称命题的否定形式判定选项即可.
【详解】由全称命题的否定形式可知：命题“，”的否定为“，”.
故选：B
4. 函数在上的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可.
【详解】解：由，可得，
则.
故选：A.
5. 已知幂函数在区间上单调递增，则（）
A. -2 B. 1 C. D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意.
故选：B
6. 在中，，，，则边上的高的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求得面积，由余弦定理求得，再由等面积法可得高.
【详解】由，，，得，
由余弦定理得：，
边上的高的长度为．
故选：A.
7. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而 p为假命题， q为真命题，所以根据复合命题的真值表得A、B、C均为假命题，故选D．
考点：本题考查复合命题真假的判断．
点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【详解】∵，∴，
则，
故选：C
9. 已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可知：，
设切点为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以，
解得，则.
故选：B
10. 已知，均为锐角，且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方和关系求出、的值，再根据两角和的余弦公式求出的值，即可得答案.
【详解】解：易知，，
所以，
又因为，，所以，
即.
故选：C.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，.已知，且，则的值为（）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理及余弦定理化简求值即可.
【详解】因为向量，，，
所以，由正弦定理及可知，，
由余弦定理可得，则.
故选：D.
12. 若函数的一个零点为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，又因为，故有，再结合，即可得的取值范围，从而即可得答案.
【详解】解：由，可得，
又由，可得，
有，有，
由，当且仅当时，等号成立，
得，解得或，
又由，可得.
所以最小值为
故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两向量垂直时，数量积为0，再代入坐标计算即可得解.
【详解】解：由题意可知，，解得.
故答案为：
14. 已知角的终边上一点的坐标为，则__________．
【答案】####
【解析】
【分析】由三角函数定义可求得，代入即可求得结果.
【详解】为角的终边上一点，，，
.
故答案为：.
15. 已知定义在R上的奇函数的周期为3，且满足，记集合，则A＝______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数的周期性及奇偶性计算函数值．对分组求和可得．
【详解】由，可得，又周期为3，所以，，
又，所以的所有可能取值为，，．
故答案为：．
16. 若，则__________．
【答案】或4##4或
【解析】
【分析】两边取对数，即，从而得到即可．
【详解】解：因为，
所以，两边取对数，有，
则，
即，
故，
则，
即或，
解得：或，
故答案为：或4．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求A；
（2）若，求a的最小值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可.
【小问1详解】
，即，
即；
【小问2详解】
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
18. 已知函数在区间上值域为.
（1）求实数、的值；
（2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；
（2）分析可知有两个零点，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1），
令可得或，令可得，
可得函数的增区间为、，减区间为，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，，①
又由，
可得，可得，有，
又由，
可得，有，可化为，②
解方程①②可得；
（2）由（1）有，有，
若函数有且仅有两个极值点，必有，可得.
19. 已知函数，其中．
（1）若函数的最大值是最小值的倍，求的值；
（2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差正弦公式化简，在结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到方程，解得即可；
（2）依题意可得，令，求出，即可求出，，从而得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
当时，，
当时，，
由，解得，故；
【小问2详解】
当时，，
令，有，有或，
可得或，
取，可得，，
又由，有，解得，故．
20. 已知函数
（1）时，求的值域；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，结合二次函数的性质计算可得；
（2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可.
【小问1详解】
令，因为，所以，
令，，
因为，所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为，即，
故当时，值域为；
【小问2详解】
，
令，则，且，
所以
，
其中，当且仅当即时取等号，此时，
即，
所以，解得，即实数的取值范围为.
21. 已知函数是R上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）请用单调性定义证明R上单调递增；
（3）解不等式：.
【答案】（1）a＝1 （2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得，解可得a的值，验证函数的奇偶性可得答案；
（2）根据题意，由单调性的定义法证明：任取、作差、变形、定号和下结论等步骤可证；
（3）根据题意，由函数的奇偶性和单调性，原不等式等价于，进而可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
【详解】（1）根据题意，函数是R上的奇函数，
则有，解可得a＝1或，
又由，则a＝1，
当a＝1时，，
所以为奇函数，符合题意，
故a＝1；
（2）证明：由（1）的结论，
设，则
又由，则，，，
故，
故在R上单调递增；
（3）为R的奇函数且单调递增，
则，即
即，则，所以解得
故不等式的解集为
22. 设函数，其中是自然对数的底数，.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，整理得，又，故只需，
分离参数，即可求解.
(2)先讨论，不为根，再讨论，令，分离参数得，
题意转化为和的图像有两个交点，即可求解.
【小问1详解】
解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，
令，，当时，，当时，，所以，故，即.
【小问2详解】
当时,，
当时，，
当时，令，分离参数得，
由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：
所以，即,即.
(
1
)
