深圳市2023年八年级上册期中考试模拟卷
一、选择题（共30分）
1．下列各数是无理数的是( )
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列各组数，属于勾股数的是( )
A．4，5，6 B．5，10，13 C．3，4，5 D．8，39，40
4．下面说法中，正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．带根号的数都是无理数
C．无限不循环小数都是无理数 D．平方根等于本身的数是1和0
5．点到y轴的距离是（ ）
A．4 B．5 C．1 D．
6．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．3﹣＝3 B．×＝ C．＋＝ D．÷＝4
8．如图，一架梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是3米，梯子下滑后停在DE的位置上，这时测得BE为1米，则梯子顶端A下滑了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
9．无理数的大小在以下两个整数之间（ ）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
10．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
二、填空题（共15分）
11．8的立方根为 ．
12．在平面直角坐标中，点A（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点B的坐标是 ．
13．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3= ．
14．a是的整数部分，b是的小数部分，则 ；
15．如图，正方形的边长为2，点分别在直线上，点在x轴上，直线与交于点E，则的面积为 ．
三、解答题（共55分）
16．（5分）计算
17．（7分）甲、乙两船同时从港口出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
18．（8分）若y－1与x＋2成正比例，且当x＝2时，y＝5．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果点在该函数图象上，求m的值．
19．（8分）如图，（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．
（1）求△ADC的面积．
（2）求BC的长．
21．（9分）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点B的直线与直线交于点A（4，2），与y轴交于点C，动点M在线段和射线上运动．
(1)求直线与直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，中，
，，是有理数，是无理数，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
2．B
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
【详解】第二象限内点横坐标为负，纵坐标为正，故点（ 3，2）所在的象限在第二象限．
故选B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
3．C
【分析】由勾股数的定义可知，两个较小整数的平方的和等于较大整数的平方，这三个整数即为勾股数，通过计算可以发现C选项符合勾股数的定义.
【详解】A. ∵42+52≠62 ，故不是勾股数；
B. ∵52+102≠132 ，故不是勾股数；
C. ∵32+42=52 ，故是勾股数；
D. ∵82+392≠402，故不是勾股数；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数.
4．C
【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、实数分为正实数、负实数和0，故选项错误，不符合题意；
B、带根号的数不一定是无理数，例如，故选项错误，不符合题意；
C、无限不循环小数都是无理数，故选项正确，符合题意；
D、平方根等于本身的数是0，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数，解题的关键是正确掌握实数的分类及概念．
5．A
【分析】根据点到y轴上的距离等于其横坐标的绝对值即可解答．
【详解】解：∵点M的坐标为，
∴点M到y轴的距离为4个单位长度．
故选：A．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解答此题的关键是熟记点的横纵坐标的绝对值分别代表点到y轴距离和点到x轴的距离．
6．C
【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；
B．不是一次函数，故选项不符合题意；
C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；
D．不是一次函数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
7．B
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A．原式＝2，所以该选项不符合题意；
B．原式＝＝，所以该选项符合题意；
C．与不能合并，所以该选项不符合题意；
D．原式＝＝＝2，所以该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
8．A
【分析】在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案．
【详解】在中，米，米，
根据勾股定理可得（米），
在中，米，米，
根据勾股定理可得（米），
米，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．A
【分析】先化简，然后再利用“夹逼法”估算无理数的大小即可．
【详解】=2-=．
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2．
故选：A．
10．D
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
11．2
【分析】根据立方根的意义即可完成．
【详解】∵
∴8的立方根为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
12．（2，﹣3）．
【分析】利用关于y轴对称点的性质得出答案即可．
【详解】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点B的坐标是：（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
【点睛】本题考查关于y轴对称点的性质，解题突破口是熟练掌握关于轴对称的性质.
13．12
【分析】由正方形的面积公式可知S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．
【详解】解：∵S1=4，
∴BC2=4，
∵S2=12，
∴AC2=8，
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=4+8=12，
∴S3=AB2=12．
故答案为C．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般．
14．
【分析】由＜＜可得的值，再把的值代入即可得到答案.
【详解】解： ＜＜
的整数部分是 则
的小数部分是 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分，熟悉判断无理数的整数部分与小数部分的方法是解题的关键.
15．/
【分析】正方形ABCD的边长为2，设点B（m，2），将点B坐标代入y＝2x得：2＝2m，解得：m＝1，进而求出点C（3，1），之后求出，进而求出点，即可求出的面积．
【详解】解：正方形ABCD的边长为2，设点B（m，2），
将点B坐标代入y＝2x得：2＝2m，解得：m＝1，
故点B（1，2），
点D（3，0），点C（3，2），
将点C的坐标代入：y＝kx得：2＝3k，
解得：k＝，
的横坐标为，
当时，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，利用正方形性质即可求解．
16．
【分析】首先把根式化为最简二次根式，然后合并同类根式即可.
【详解】原式=
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，根号部分相同的二次根式才能相加减，类似于合并同类项.
17．40
【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．
【详解】解：如图，
∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，
∴AC=60海里．
∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，
∴∠CAB=90°．
∵BC=100海里，
∴海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度为80÷2=40海里/时．
【点睛】此题考查了直角三角形的判定，勾股定理及方向角的掌握情况，根据已知判断出△ABC是直角三角形是解此题的关键．
18．(1)
(2)2
【分析】（1）根据y－1与x＋2成正比例列关系式，将x＝2时，y＝5，代入求解即可；
（2）将x＝m，y＝5代入（1）中所求函数关系式，求解即可．
【详解】（1）解：y－1与x＋2成正比例，
设，
将x＝2时，y＝5，代入得：，
解得，
，
移项得，
故y与x的函数关系式为：；
（2）点在该函数图象上，
，
解得，
故m的值是2．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式、函数上点的坐标，属于基础题，注意（1）中求出后要移项合并同类项．
19．（1）如图所示，△A1B1C1即为所求见解析；（2）如图所示，点P即为所求见解析；（3）S△ABC＝6.5.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1，分别连接各点即可；（2）先找出C点关于x轴对称的点C′，连接C′A交x轴于点P，则点p即为所求点；（3）可画出直角梯形BCDE，再减去两个三角形的面积及为△ABC的面积.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，S△ABC＝S梯形BCDE﹣S△ACD﹣S△ABE
＝
＝12﹣2.5﹣3
＝6.5．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、作图－轴对称变换和三角形面积和梯形面积的求法，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
20．（1）30；（2）4．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵AB＝13，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AC＝13，CD＝12，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30；
（2）在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝4，即BC的长是4．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的应用.
21．（1）；（2）；（3）3
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）原式
；
（3），
，
．
答：的值为3．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出的值和正确变形是解此题的关键．
22．(1)直线OA的解析式为，直线AB的解析式为
(2)12
(3)（1，）或（1，5）或（-1，7）
【分析】（1）设直线OA的解析式为，然后把A点坐标分别代入直线OA，AB解析式中求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出OC的长，再由进行求解即可；
（3）设点M的坐标为（m，n），先根据面积关系得到，求出，然后分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：设直线OA的解析式为，
∵过点B的直线与直线交于点A（4，2），
∴，
∴，，
∴直线OA的解析式为，直线AB的解析式为；
（2）解：对于函数，令x=0，则y=6，
∴点C的坐标为（0，6），
∴OC=6，
∴；
（3）解：设点M的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
当m=1，且点M在线段OA上时，，即点M的坐标为（1，）；
当m=1，且点M在射线AC上时，，即点M的坐标为（1，5）；
当m=-1，且点M在射线AC上时，，即点M的坐标为（-1，7）；
综上所述，存在点M坐标为（1，）或（1，5）或（-1，7）使的面积是面积的．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
