2023-2024学年九年级数学上学期期中仿真检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：上册全册（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．
2．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（ ）
A．88分 B．87.5分 C．87分 D．86分
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数（ ）
A．60° B．70° C．90° D．180°
4．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
5．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
6．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝3 B．（x﹣4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x+4）2＝17
7．已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2 B．2.4 C．5 D．6
8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是平面上的一个点，连换AP，BP，已知∠P始终为直角，则线段CP长的最大值为（ ）
A．6 B． C．+2 D．5
第Ⅱ卷
填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）
9．一元二次方程x2＝5x的解为 ．
10．甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是＝0.6，＝0.8，则运动员 的成绩比较稳定．
11．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
12．如图，圆锥的底面半径OC＝2，高AO＝3，则该圆锥的侧面积等于 ．（结果保留π）
13．如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝ °．
14．如图，⊙O的直径AB＝4，弦CD＝2，点M为CD的中点，若CD＝BN，则点C到AB的距离是 ．
15．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
16．已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
17．对于实数x和y，定义一种新运算“*”：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 ．
三、解答题（本题共10小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4； （2）3x2+2x﹣2＝0．
、
20．（8分）如图，在长30m，宽20m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为551m2，求所修建道路的宽度．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．
（1）求∠CED的度数．
（2）若DE＝BE，求∠C的度数．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
23．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
24．（10分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
25．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，
∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝ ，y＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
27．（8分）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
28．（10分）问题提出：（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是 ，位置关系是 ；
问题探究：（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC＝BC，若BD＝3，AD＝9，求CD的长；
问题解决：（3）如图③是某公园的一个面积为36πm2的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC，AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，按照设计要求，发现当点D为的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．
2023-2024学年九年级数学上学期期中仿真检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：上册全册（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．
【答案】B
【解答】解：A、2x+1＝0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、x2+y＝1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（ ）
A．88分 B．87.5分 C．87分 D．86分
【答案】A
【解答】解：他的数学学期总成绩为85×40%+90×60%＝88（分），
故选：A．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数（ ）
A．60° B．70° C．90° D．180°
【答案】C
【解答】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B＝135°，
∴∠D＝45°，
∵∠AOC与∠D都对，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
故选：C．
4．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
5．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】A
【解答】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，
∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，
∴，
∴，
∴△ABC的外接圆的半径为，
B、∵△ABC是等腰三角形，
过点A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，
∵AB＝AC＝10，
∴＝，，
∴AE是⊙O的直径，，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ADB∽△ABE，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为，
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，符合题意，
故选：A．
6．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝3 B．（x﹣4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x+4）2＝17
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
7．已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2 B．2.4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；
其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；
由勾股定理得：
AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，
∴AB＝10；由切线的性质定理的：
AF＝AE，BD＝BE；
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，
∴R＝2，
它的内切圆半径为2．
故选：A．
8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是平面上的一个点，连换AP，BP，已知∠P始终为直角，则线段CP长的最大值为（ ）
A．6 B． C．+2 D．5
【答案】C
【解答】解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，
连接OC，并延长CO与交⊙O于点P，此时PC最大，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，
∴OC＝，
∴PC＝OC+OP＝+2，
∴PC最在值为+2．
故选：C．
第Ⅱ卷
填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）
9．一元二次方程x2＝5x的解为 x1＝0，x2＝5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：移项，得x2﹣5x＝0，
提公因式，得x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝0，x2＝5，
故答案为x1＝0，x2＝5．
10．甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是＝0.6，＝0.8，则运动员 甲 的成绩比较稳定．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝0.6，＝0.8，
∴＜，
甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩比较稳定．
故答案为：甲．
11．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 35° ．
【答案】35°．
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
12．如图，圆锥的底面半径OC＝2，高AO＝3，则该圆锥的侧面积等于 2π ．（结果保留π）
【答案】2π．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为＝，
所以该圆锥的侧面积＝×2π×2×＝2π．
故答案为：2π．
13．如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝ 72 °．
【答案】72．
【解答】解：连接OC，AO，
在正五边形ABCDE中，∠B＝＝108°，
∴∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，
∵OC＝OA，
∴∠CAO＝×（180°﹣144°）＝18°，
∵AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠OAF＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣18°＝72°，
故答案为：72．
14．如图，⊙O的直径AB＝4，弦CD＝2，点M为CD的中点，若CD＝BN，则点C到AB的距离是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：连接OC，OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OH⊥BN于H，
∵⊙O的直径AB＝4，
∴OC＝OD＝OB＝ON＝2，
∵CD＝2，CD＝BN，
∴△OCD、△OBN是等边三角形，
∴∠BON＝∠COD＝60°，
∴∠AOM＝60°，
∵点M为CD的中点，OH⊥BN，
∴CM＝DM，NH＝BH＝1，
∴∠COM＝30°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠COM＝30°，
∴CE＝OC＝1，
∴点C到AB的距离是1．
故答案为：1．
15．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k＜4且k≠0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝k，b＝﹣4，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，即k＜4方程有两个不相等的实数根，
则二次项系数不为零k≠0．
∴k＜4且k≠0．
16．已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵x1、x2是方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝﹣，
∴x1+x2﹣x1 x2＝﹣（﹣）＝．
故答案为：．
17．对于实数x和y，定义一种新运算“*”：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴，
两边同时乘以（x+4）（x﹣4）得，x﹣4＝x+4+x2﹣16，
即x2＝8，
解得．
经检验是原方程的解．
故答案为：．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以D为圆心，半径为1作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 14.5 ．
【答案】14.5．
【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切点，
∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴OA＝5，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴，
∵AD＝8，CD＝6，AC＝10，
∴，
∴，
∴△AOP的最大面积＝，
故答案为：14.5．
三、解答题（本题共10小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4； （2）3x2+2x﹣2＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝6；
（2）x1＝，x2＝．
【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4，
2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝6；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
20．（8分）如图，在长30m，宽20m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为551m2，求所修建道路的宽度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：假设修建的路宽应x米，
利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x2﹣50x+49＝0，
解得：x1＝1，x2＝49（不合题意舍去），
答：所修建道路的宽度为1m．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．
（1）求∠CED的度数．
（2）若DE＝BE，求∠C的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠A＝68°，
∴∠CED＝68°；
（2）连接AE．
∵DE＝BE，
∴＝，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m＝．
23．（8分）某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
（2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角＝；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18（人），
该校初三年级体重超过60kg的学生大约＝（人），
故答案为：（1）50；（2）0.32；72．
24．（10分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；
（2）这种干果每千克应降价12元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
25．（8分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，
∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝ ，y＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
【答案】（1）﹣4，﹣4；
（2）△ABC的周长为9．
【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+4＝0，
∴x＝y，y＝﹣4，
∴x＝y＝﹣4，
故答案为：﹣4，﹣4；
（2）∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣8b+16＝0，
∴2（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
∴a＝1，b＝4，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴3＜c＜5，
∴c＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝1+4+4＝9．
26．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝6，
∴OA＝3．
又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，
∴的长为：＝．
27．（8分）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】（1）2米；
（2）0.4米．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于点C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R米，在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2＝OC2+CB2，
即R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得：R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于点H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
28．（10分）问题提出：（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是 ，位置关系是 ；
问题探究：（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC＝BC，若BD＝3，AD＝9，求CD的长；
问题解决：（3）如图③是某公园的一个面积为36πm2的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC，AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，按照设计要求，发现当点D为的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．
【答案】（1）相等，垂直；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝∠BCE，
∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AD⊥BE．
故答案为：相等，垂直．
（2）过点C作CE⊥CD交AD于点E，如图：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，△DCE是等腰直角三角形，
∵∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣3＝6，
在等腰Rt△DCE中，；
（3）连接OC，BO，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵D为的中点，
∴，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴，
∵CB＝AB，∠BCD＝∠BAO，
∴△BAO≌△BCD（SAS），
∴S△BCD＝S△BAO，
∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，
∴△BAO≌△CAO（SSS），
同理△BAO≌△BCO，
∴S△ABC＝3S△ABO，
∴．
