第19章学情评估
一、选择题(每题3分，共24分)
1． ABCD中，添加一个条件就能成为矩形，则添加的条件可以是( )
A．AB＝AD B．∠B＋∠D＝180°
C．AC＝AD D．对角线互相垂直
2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为( )
A. B. C．2 D．3
INCLUDEPICTURE"dJ-30.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\dJ-30.tif" \* MERGEFORMATINET (第2题)INCLUDEPICTURE"24春J+21.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+21.tif" \* MERGEFORMATINET (第3题)INCLUDEPICTURE"二改+1.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\二改+1.tif" \* MERGEFORMATINET (第4题)
3．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，P、Q分别是边BC、AD上的点，且四边形APCQ是菱形，则该菱形的面积为( )
A．128 B．48 C．60 D．80
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B. C．5 D.
5．如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜(等腰梯形)，右半斜和左半斜(直角梯形)，小三斜，大三斜和闺(均为等腰直角三角形)．现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张拼成图②，若图①中大正方形的边长为4，则图②中阴影部分的周长是( )
INCLUDEPICTURE"二+2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\二+2.tif" \* MERGEFORMATINET
(第5题)
A．4 B．4 －1 C．4 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )
A．28° B．52° C．62° D．72°
INCLUDEPICTURE"二改+2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\二改+2.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)INCLUDEPICTURE"24春J+22.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+22.tif" \* MERGEFORMATINET (第7题)INCLUDEPICTURE"24春J+23.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+23.tif" \* MERGEFORMATINET (第8题)
7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四种结论：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共24分)
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是________．
INCLUDEPICTURE"24春J+24.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+24.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)INCLUDEPICTURE"CJ-15.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-15.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)INCLUDEPICTURE"CJ-16.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-16.tif" \* MERGEFORMATINET (第11题)
10．如图， ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，请添加一个条件：________，使四边形AECF为菱形．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝________．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，)，则点B的坐标为____________．
INCLUDEPICTURE"CJ-17.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-17.tif" \* MERGEFORMATINET (第12题)INCLUDEPICTURE"JSH19-155.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\JSH19-155.tif" \* MERGEFORMATINET (第13题)INCLUDEPICTURE"22一改+2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\22一改+2.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE、BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的面积为________．
14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，P为边BC上一点，且P不与点B，C重合，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值等于________．
三、解答题(15～18题每题8分，19～20题每题10分，共52分)
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，若BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.求证：四边形ABCD是正方形．
INCLUDEPICTURE"CJ-19.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-19.tif" \* MERGEFORMATINET
(第15题)
16．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE.
(1)求证：△DCE≌△BCE；
(2)求证：∠AFD＝∠EBC.
INCLUDEPICTURE"24春J+25.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+25.tif" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝BC，点F在边BC的延长线上，点P是线段BC上一点(与点B，C不重合)，连结AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E.
(1)若CG为∠DCF的平分线，请判断BP与CP的数量关系，并说明理由；
(2)若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
INCLUDEPICTURE"24春J+26.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\24春J+26.tif" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE.
INCLUDEPICTURE"CJ-21.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-21.tif" \* MERGEFORMATINET
(第18题)
(1)求证：四边形ABFC是矩形；
(2)求DE的长．
19．(1)在正方形ABCD中，E是边CD上一点．将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，如图①所示，观察可知，与DE相等的线段是________，与∠AFB相等的角是____________．
(2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ，BP，PQ的数量关系，并证明；
(3)在图②中，连结BD分别交AP，AQ于点M，N，直接写出BM，DN，MN的数量关系．
INCLUDEPICTURE"CJ-22.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\CJ-22.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
20．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G.
(1)如图①，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
(2)如图②，若DE＝CF，试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系，并证明你的结论；
(3)如图③，在(1)的条件下，平移线段DE到MN，过CF的中点G，连结BD交MN于点H，连结FH，求∠HFC的大小．
INCLUDEPICTURE"新画+15.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\新画+15.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
答案
一、1.B
2．C 点拨：由题易得OC＝OD＝AC＝2.
∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝2.
3．D 4.C 5.C 6.C 7.C 8.A
二、9.90° 10.AE＝EC(答案不唯一) 11.22°
12．(1－，1＋) 13.3
14．4.8 点拨：连结OP.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝＝10.
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP.
易知当OP⊥BC时，OP最小，
此时S△OBC＝OB·OC＝BC·OP，
∴OP＝4.8，∴EF的最小值为4.8.
三、15.证明：过点E作EM⊥BC于点M.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM.
∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°.
∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠CEM＝45°，
∴∠BAC＝45°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．
16．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE.
又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AF，∴∠CDF＝∠AFD.
∵△DCE≌△BCE，∴∠CDF＝∠EBC，∴∠AFD＝∠EBC.
17．解：(1)BP＝CP，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠DCF＝180°－∠BCD＝90°.
∵CG为∠DCF的平分线，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，
∴∠PCE＝45°.
∵CG⊥AP，∴∠E＝90°，∴∠CPE＝45°，
∴∠APB＝45°，∴∠BAP＝45°＝∠APB，∴AB＝BP.
∵AB＝BC，∴BC＝2AB＝2BP，∴BP＝CP.
(2)∵△ABP≌△CEP，∴AP＝CP.
∵AP2＝AB2＋BP2，∴PC2＝AB2＋BP2.
∵AB＝3，∴BC＝2AB＝6，
∴(6－BP)2＝9＋BP2，∴BP＝.
18．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEC＝90°.
在△DEC与△FEC中，
∴△DEC≌△FEC，∴CD＝CF，∠DCE＝∠FCE.
∵AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，
∴CF＝AB，∠ABC＝∠FCE.∴AB∥CF.
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，∴四边形ABFC是矩形．
(2)解：过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB＝∠DEC＝90°.
在△ABH与△DCE中，
∴△ABH≌△DCE，∴AH＝DE.
∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，
∴AH＝＝＝4.8.∴DE＝AH＝4.8.
19．解：(1)BF；∠AED和∠BAE
(2)DQ＋BP＝PQ.
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ABG，如图，则AD与AB重合，
INCLUDEPICTURE"D-42.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\86180\\Desktop\\八数HS全国 10.18\\D-42.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\D-42.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
∠D＝∠ABG＝90°，
在正方形ABCD中，∠ABP＝90°，
∴∠ABG＋∠ABP＝180°.
∴点G，B，P共线．
由旋转知，∠GAB＝∠QAD，AG＝AQ，BG＝DQ.
∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP＋∠DAQ＝90°－∠PAQ＝45°，
∴∠PAG＝∠GAB＋∠BAP＝45°，∴∠PAQ＝∠PAG.
在△APG和△APQ中，
∴△APG≌△APQ，∴PG＝PQ.
∵PG＝PB＋BG＝PB＋DQ，∴DQ＋BP＝PQ.
(3)BM2＋DN2＝MN2.
20．(1)证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°.
∵DE⊥CF，∴∠CGD＝90°，∴∠DCF＋∠CDE＝90°.
∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF，∴DE＝CF.
(2)解：∠A＋∠EGF＝180°.证明如下：
过点D作DR⊥AB交BA的延长线于点R，过点C作CS⊥AD于点S，如图①.
∵S菱形ABCD＝AB×DR＝AD×CS，AB＝AD，∴DR＝CS.
∵DE＝CF，∴Rt△DRE≌Rt△CSF，∴∠CFS＝∠RED.
∵∠CFS＋∠AFG＝180°，∴∠RED＋∠AFG＝180°，
∴∠EAF＋∠EGF＝180°.
INCLUDEPICTURE"D二改+6.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\86180\\Desktop\\八数HS全国 10.18\\D二改+6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\D二改+6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"D二改+7.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\86180\\Desktop\\八数HS全国 10.18\\D二改+7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\八数HS全国 10.18 测试卷未做\\D二改+7.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(3)解：过点H作TK∥AB交AD于点T，交BC于点K，连结CH，如图②.
由(1)知MN⊥CF，又∵G为CF的中点，
∴MN是CF的垂直平分线，∴CH＝FH.
易知∠TKC＝∠KTD＝∠BCD＝90°，
∴四边形KTDC是矩形，∴TD＝KC.
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠TDH＝45°，∴∠THD＝45°，∴∠THD＝∠TDH，
∴TD＝TH＝CK.
在Rt△TFH和Rt△KHC中，
∴Rt△TFH≌Rt△KHC，∴∠THF＝∠HCK.
∵∠HKC＝90°，∴∠HCK＋∠KHC＝90°，
∴∠THF＋∠KHC＝90°.
∴∠FHC＝180°－(∠THF＋∠KHC)＝90°.
∵HF＝CH，∴∠HFC＝∠FCH＝×(180°－90°)＝45°.
