专题6.15 实数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
专题6.15 实数（挑战综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【类型一】实数 平方根 立方根
【类型①】实数 平方根 立方根 解方程（两个题）
1．求下列的值
(1)
(2)
2．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【类型②】实数 平方根 立方根 运算求值（两个题）
3．计算：
(1)；
(2)．
4．计算
(1)
(2)
【类型③】实数 平方根 立方根 综合化简与运算（四个题）
5．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是_________；
(2)求的值．
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
6．已知：的平方根是与，且．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的立方根．
7．已知．
(1)若求的值；
(2)若，求的值．
8．计算：
(1)；
(2)已知的整数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【类型二】实数 平方根 立方根
【类型①】实数 混合运算（四个题）
9．计算
(1)；
(2)．
10．计算：
(1)；
(2)．
11．（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：
， ；
（2）由以上可知：
①|1﹣|＝ ，
②||＝ ．
（3）计算：．（结果保留根号）
12．知识链接：
①对于任意两个实数，，如果，那么；如果，那么；如果，那么；
②任意实数的平方都是非负数，即．
知识运用：
(1)比较大小： ______；
(2)已知为实数，，，请你比较、的大小；
(3)已知、均为正数，比较与的大小．
【类型②】实数 大小比较 估算 整数部分与小数部分（两个题）
13．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，求的值．
14．阅读材料，解答下面的问题：
∵，即，
∴的整数部分为，小数部分为．
(1)求的整数部分．
(2)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
【类型③】实数 运算 化简 规律（三个题）
15．观察下列等式，并回答问题：
①；
②；
③；
④；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较与1的大小．
16．观察下列各等式及验证过程：
，验证；
，验证；
，验证．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
17．观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【类型四】实数 平方根（算术平方根） 立方根 拓展与应用
【类型①】实数 应用 化简 求值（四个题）
18．如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
19．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．
20．综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
21．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【类型②】实数 综合 拓展 提升（三个题）
22．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
23．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
24．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
（3）拓展：已知，若，则b＝ ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）首先移项，然后利用直接开平方，即可求出答案；
（2）先直接开立方，即可求出答案．
【详解】（1），
，
，
，．
（2），
，
．
【点睛】本题主要考查了解方程，熟练掌握求平方根和求立方根的方法是解本题的关键．
2．(1)x＝
(2)x＝
(3)
【分析】（1）移项，系数化为1后求平方根即可；
（2）移项，系数化为1后求立方根即可解题；
（3）先求平方根，然后解一元一次方程解题．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3），
，
，，
∴．
【点睛】本题考查平方根，立方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
3．(1)
(2)
【分析】（1）先计算立方值、绝对值、立方根，再把有理数和无理数分别计算即可；
（2）先计算立方根、平方值、平方根、绝对值，再把有理数和无理数分别计算即可．
【详解】（1）解：原式==；
（2）解：原式==．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握立方根、立方值、平方值、平方根、绝对值的计算方法是解题关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义及性质分别计算后再根据有理数加减运算法则求解即可；
（2）根据相反数的定义及性质直接运算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到算术平方根、立方根的定义及性质和相反数的定义及性质，熟练掌握相关运算法则及性质是解决问题的关键．
5．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c,d的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1），
故答案为：；
（2）解：
=
=
=，
故答案为：．
（3）解：∵与互为相反数，，
∴＋=0，
∵ ≥0，
∴，=0，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是两点间的距离公式、非负数的性质，关键是要会理解两点间的距离，最后求的平方根有两个．
6．(1)，
(2)
(3)2
【分析】（1）根据一个数的两个平方根互为相反数可得答案；
（2）求出或者的平方即可得出答案；
（3）将的值代入中，求其立方根即可．
【详解】（1）解：的平方根是与，
，
解得，
，
；
（2）的平方根是与，
；
（3）．
【点睛】本题考查了平方根以及立方根，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解本题的关键．
7．(1)或
(2)15 或
【分析】（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a＋b的值；
（2）根据小于0，得到异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵，
∴，
∴或，
即的值为或；
（2）∵，
∴，
∴或 ，
∴当时，
当时，
∴或．
【点睛】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键．
8．(1)0
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义计算即可；
（2）先确定和介于那两个连续整数之间，从而确定它们的整数部分和的小数部分，继而求出的值.
【详解】（1）解：原式
（2）∵
∴
∴，
∴的整数部分,的整数部分为1，
∴的小数部分，
∴
【点睛】本题考查算术平方根与立方根，算术平方根有关的整数部分和小数部分问题，掌握算术平方根和立方根的定义，会估算无理数的范围是解题的关键。
9．(1)
(2)
【分析】（1）负数的偶数次方为正数，负数的绝对值是它的相反数；
（2）先求算术平方根及立方根，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根、绝对值及乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根定义及性质、算术平方根定义及性质化简后计算即可；
（2）根据平方运算、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质化简后计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到平方运算、绝对值、立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关定义及运算法则是解决问题的关键．
11．（1），；（2）①；②；（3）
【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得；
（2）①根据（1）的结论可得，再利用实数的性质化简绝对值即可得；
②根据（1）的结论可得，再利用实数的性质化简绝对值即可得；
（3）先归纳类推出一般规律，从而可得，再利用实数的性质化简绝对值，计算实数的加减法即可得．
【详解】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）①由（1）可知，，
则，
故答案为：；
②由（1）可知，，
则，
故答案为：；
（3），
，
结合（1）的结论，归纳类推得：，其中为正整数，
，
，
则
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较、实数的性质以及运算，熟练掌握实数的性质是解题关键．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先作差，再比较大小；
（2）先作差，再变形判断差的正负，再比较大小；
（3）先作差，判断分子，分母的正负，再判断大小．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：．
（2）解：
，
，
，
，
．
（3）解：，
，都是正数，
，
，
，
．
【点睛】本题考查比较代数式的大小，作差后判断差的正负是求解本题的关键．
13．(1)a的值为5，b的值为，c的值为3
(2)9
【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可得，，从而可得a，b的值，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，即可解答；
（2）利用（1）的结论求出x的值，然后把x的值代入式子中进行计算即可解答．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是3，
，
的值为5，b的值为，c的值为3；
（2）解：的整数部分是3，
的小数部分是，
，
，
的值为9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根的意义，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
14．(1)的整数部分为
(2)
【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分；
（2）首先确定出的小数部分，进而得出的值，再确定出的小数部分，进而得出的值，然后把和的值代入，计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为．
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为，的小数部分为，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，的小数部分为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根的整数部分和小数部分、代数式求值，解本题的关键是能够正确得到无理数的整数部分和小数部分．
15．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，
，
故答案为：；．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
16．
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．
【详解】解：观察下列各等式及验证过程：
，验证；
，验证；
，验证．
..．
用n（n为正整数）表示的等式为：，
验证等式左边＝，
右边＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
17．(1)0.1；10；
(2)①31.6；②；
(3)，或0，．
【分析】（1）由表格得出规律，求出与的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论的范围，比较大小即可．
【详解】（1）解：，．
故答案为：0.1；10；
（2）解：①根据题意得：．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
．
故答案为：31.6；；
（3）解：当或1时，；
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：，或0，．
【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．(1) ；
(2)剪拼图见解析；
【分析】（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
19．（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4
【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；
（2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解；
（3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可．
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
（3）∵小正方形的边长为，
∴x＝2，y＝，
∴原式＝，
＝4.
【点睛】本题主要考查二次根式运算的实际应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的运算法则.
20．(1)
(2)图见解析；
【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
【详解】（1）解：正方形纸片的边长为：，
故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
21．(1)，，，；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
22．7或-1.
【分析】根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
23．（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
24．（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012
【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
（3）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】解：（1）x＝0.1，y＝10，
故答案为0.1，10；
（2）①∵≈3.16，
∴＝31.6，
②＝1.8，
∴a＝32400，
故答案为：31.6，32400；
（4）∵，
∴b＝0.012，
故答案为：0.012
【点睛】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
