2023-2024学年八年级上学期期中数学必刷卷01
（测试范围：苏科版 第1章---第3章）
（考试时间:120分钟 满分:120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（2022春 铜川期末）下列快递图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春 新泰市期末）如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠ACD的度数是（ ）
A．48° B．62° C．76° D．88°
3．（2023春 双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．BE为AC边上的高，BD为AC边上的中线．若△ABC的面积为20，BD＝5，则BE的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋 新罗区校级月考）给出四组条件①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D．其中，能确定△ABC和△DEF全等的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．（2022秋 新华区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝9，DE＝20，则FG＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2022春 大东区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE＝AC，连接AD，若BC＝8，则BD+DE等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2023 龙华区校级模拟）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
9．（2022春 周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
10．（2023春 思明区校级期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2022春 拱墅区期中）若实数a、b满足等式，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 ．
12．（2022秋 袁州区月考）如图，△ABC≌△DBE，点A和点D是对应顶点，且点C在边BD上．若AB＝9，BE＝3，则CD的长为 ．
13．（2023春 东源县期末）如图，点O是△ABC内的一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，则∠BOC＝ ．
14．（2022秋 海阳市期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
16．（2023春 开江县校级期末）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 ．
17．（2022秋 巴南区校级期中）如图，AB＝5cm，BC＝8cm，CD＝9cm，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动；同时点Q在线段CD上由C点向D点运动，则当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPA与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
18．（2022秋 大英县期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是 （填序号）
解答题（本大题共8小题，满分共66分）
19．（6分）（2023春 肇源县期末）已知：如图，AB∥CD，AE＝DF，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE＝CF．
20．（7分）（2023春 碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数．
21．（8分）（2022秋 宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AD⊥BE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠EAD＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
22．（8分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13．
（1）根据条件，求AC的长；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
（1）求证：AG＝CF；
（2）若BG＝5，AC＝6，求△ABC的周长．
24．（8分）（2022春 金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．
（1）求证：∠ABE＝∠ACG；
（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．
24．（9分）（2023春 六盘水期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求BC；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
25．（12分）（2022秋 德州期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为 ；
②线段AE、BD之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请求出∠EAB+∠ECB的度数．
()
2023-2024学年八年级上学期期中数学必刷卷01
（测试范围：苏科版 第1章---第3章）
（考试时间:120分钟 满分:120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（2022春 铜川期末）下列快递图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022春 新泰市期末）如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠ACD的度数是（ ）
A．48° B．62° C．76° D．88°
【分析】根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，利用三角形的内角和求得答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，
∴∠ACD＝∠AEC（180°﹣28°）＝76°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
3．（2023春 双流区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．BE为AC边上的高，BD为AC边上的中线．若△ABC的面积为20，BD＝5，则BE的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【分析】由直角三角形斜边中线的性质，求出AC＝10，由三角形面积公式即可求出BE的长．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，
∴BDAC，
∵BD＝5，
∴AC＝10，
∵△ABC的面积为20，
∴AC BE＝20，
∴BE＝4．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出AC的长，由三角形面积公式即可求出BE的长．
4．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，
解得：∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．（2022秋 新罗区校级月考）给出四组条件①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D．其中，能确定△ABC和△DEF全等的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL结合选项进行判定．
【解答】解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定△ABC≌△DEF；
②AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF；
③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△DEF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（2022秋 新华区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝9，DE＝20，则FG＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝5，DC＝9，DE＝20，
∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣DC＝20﹣5﹣9＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
7．（2022春 大东区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE＝AC，连接AD，若BC＝8，则BD+DE等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】证明Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的性质得出CD＝DE，则可得出答案．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC，
∵BC＝8，
∴BD+DE＝BC＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键．
8．（2023 龙华区校级模拟）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，易得CF＝DE＝3米，再利用勾股定理求出AF的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
则∠AFC＝90°，四边形CFDE为矩形，
∴CF＝DE＝3米．
∵AB＝AC＝5米，
∴AF4（米），
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1（米），
即此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022春 周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，GA＝GC，再利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAB，∠C＝∠GAC，接着利用三角形内角和定理得到∠B+∠C＝100°，然后利用∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝∠B+∠C可计算出∠GAE的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠B＝∠EAB，
∵GF垂直平分AC，
∴GA＝GC，
∴∠C＝∠GAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝∠B+∠C，
∴80°+∠GAE＝100°，
∴∠GAE＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（2023春 思明区校级期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD﹣CG＝6﹣x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF+FG＝3+x，
在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2，
即32+（6﹣x）2＝（3+x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2022春 拱墅区期中）若实数a、b满足等式，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 ．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，a﹣4＝0，8﹣b＝0，
解得a＝4，b＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
12．（2022秋 袁州区月考）如图，△ABC≌△DBE，点A和点D是对应顶点，且点C在边BD上．若AB＝9，BE＝3，则CD的长为 ．
【分析】先根据全等三角形的性质得到BA＝BD＝9，BC＝BE＝3，然后计算BD﹣BC即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴BA＝BD＝9，BC＝BE＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
13．（2023春 东源县期末）如图，点O是△ABC内的一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，则∠BOC＝ ．
【分析】根据等腰三角形的判定与性质可知∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，再根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB、△BOC、△AOC是等腰三角形，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，
∴2∠OAB+2∠OAC+2∠OBC＝180°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠OAB+∠OAC＝45°，
∴2∠OAB+2∠OAC＝90°，
∴2∠OBC＝180°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣2∠OBC＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（2022秋 海阳市期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝ ．
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CDAC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CEAC＝3，
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CDAC是正确解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于E．若AB＝5，BC＝6，则DE的长为 ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BD，AD⊥BC，再由勾股定理求出AD的长，最后根据等面积法求解即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，且AD是BC边上的中线，
∴BD，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD4，
∵DE⊥AC，
∴，
∴DE，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2023春 开江县校级期末）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 ．
【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝4，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FGAE＝2．
【解答】解：延长BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FGAE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．（2022秋 巴南区校级期中）如图，AB＝5cm，BC＝8cm，CD＝9cm，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动；同时点Q在线段CD上由C点向D点运动，则当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPA与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm，根据全等三角形的性质得出当AB＝CP，BP＝CQ或AB＝CQ，BP＝CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm，
∵AB＝5cm，∠B＝∠C，
∴要使△ABP与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须AB＝CP，BP＝CQ或AB＝CQ，BP＝CP，
当AB＝CP，BP＝CQ时，5＝8﹣3t，3t＝vt，
解得：t＝1，v＝3，
即点Q的运动速度是3cm/s，
当AB＝CQ，BP＝CP时，5＝vt，3t＝8﹣3t，
解得：t，v，
即点Q的运动速度是cm/s，
综合上述，当点Q的运动速度为3cm/s或cm/s时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，
故答案为：3或．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键．
18．（2022秋 大英县期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是 （填序号）
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即AD＝AE＝EC，可得③错误、④正确．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案是：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
解答题（本大题共8小题，满分共66分）
19．（6分）（2023春 肇源县期末）已知：如图，AB∥CD，AE＝DF，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE＝CF．
【分析】欲证明BE＝CF，只要证明△ABE≌△DCF即可；
【解答】证明：∵AB∥CD，BE∥CF，
∴∠ABO＝∠DCO，∠EBO＝∠FCO，∠A＝∠D，
∴∠ABE＝∠FCD，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20．（7分）（2023春 碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）先证得AE＝CF，再根据SAS即可证得△AEB≌△CFD；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠DCF，由三角形内角和定理求出∠ADC．
【解答】（1）证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）；
（2）解：∵△AEB≌△CFD，∠ABE＝20°，
∴∠CDF＝∠ABE＝20°，
∵DF＝CF，
∴∠DCF＝∠CDF＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAF﹣∠DCF＝180°﹣30°﹣20°＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（8分）（2022秋 宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AD⊥BE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠EAD＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
【分析】（1）D为线段BE的中点得ED＝BD，由AD⊥BE得∠ADE＝∠ADB＝90°，即可证明△AED≌△ABD，得∠EAD＝∠BAD；
（2）由△AED≌△ABD得AB＝EA，∠B＝∠AEB，由AF∥BC得∠EAF＝∠AEB，所以∠B＝∠EAF，由EF⊥AE得∠BAC＝∠AEF＝90°，即可证明△ABC≌△EAF，得AC＝EF．
【解答】证明：（1）∵D为线段BE的中点，
∴ED＝BD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（SAS），
∴∠EAD＝∠BAD．
（2）由（1）得AB＝EA，∠B＝∠AEB，
∵EF⊥AE，
∴∠BAC＝∠AEF＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（ASA），
∴AC＝EF．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定、平行线的性质等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△AED≌△ABD及△ABC≌△EAF是解题的关键．
22．（8分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13．
（1）根据条件，求AC的长；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；
（3）由S阴影＝S△ABC﹣S△ACD，结合三角形面积公式解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴；
（2）△ACD是直角三角形，
理由：∵CD＝3，AD＝4，AC＝5，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（3）S阴影＝S△ABC﹣S△ACD
AC BCAD CD
＝30﹣6
＝24．
所以图中阴影部分土地的面积为24．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
（1）求证：AG＝CF；
（2）若BG＝5，AC＝6，求△ABC的周长．
【分析】（1）连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出结论；
（2）证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．得出BG＝BF．则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA＝DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG＝DF，DA＝DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG＝CF．
（2）解：由（1）知DG＝DF，
又∵BD＝BD，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG＝BF．
又∵AG＝CF，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16．
答：△ABC的周长为16．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）（2022春 金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．
（1）求证：∠ABE＝∠ACG；
（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．
【分析】（1）易证∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先证△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，则∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE，
∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABE＝∠ACG；
（2）解：AG与AD的关系为：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
由（1）得：∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（9分）（2023春 六盘水期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求BC；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）依据三角形中三边的关系确定∠ACB的度数；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝500km，AC＝300km，
∴BC400（km）；
（2）海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷35＝4（小时），
答：海港C受台风影响的时间会持续4小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
25．（12分）（2022秋 德州期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为 ；
②线段AE、BD之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请求出∠EAB+∠ECB的度数．
【分析】（1）①由“SAS”可证△ECA≌△DCB，根据全等三角形的性质求出∠AEC的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据△ECA≌△DCB得到∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，根据直角三角形的性质得到CM＝EM＝MD，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；
（3）根据△ECA≌△DCB解答即可．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC＝120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE＝BD，
故答案为：AE＝BD；
（2）CM+AE＝BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE＝45°，
∴∠CDB＝135°，
由（1）得△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，
∵∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM＝EM＝MD，
∴CM+AE＝BM；
（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，
∴∠CDE＝72°，
∴∠CDB＝108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝108°，
∴∠EAC+∠ECA＝72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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