九年级上学期期中试卷
范围：人教版九年级上册第21~24章 一元二次方程、二次函数、旋转、圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（ ）
A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0
C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0
3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．±2
4．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
5．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
6．下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，弓形ADB中，AB＝24，弓形所在圆的半径是13，则弓高CD的长是（ ）
A．5 B．14 C．11 D．18
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADB B．∠ACD＝∠EAD
C．∠EAC＝α D．∠EDC＝180°﹣α
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
A．①③④ B．②③ C．② D．②③④
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）与点 关于原点O对称．
12．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
13．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为 .
14．扇形的圆心角为，半径为，它的弧长为 ．
15．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是 ．
16．已知x2﹣5x﹣5+y＝0，则y﹣x的最大值为 ．
17．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
18．如图，将等腰绕点逆时针旋转后得到．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．用适当方法解下列方程：
（1）4x2﹣1＝0；
（2）4y2﹣4y+1＝0；
（3）x2﹣6x﹣3＝0；
（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD∥FG，FG⊥AB，CD，FG分别与AB相交于点E，H，连接AC，AD．求证：AC＝AD．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
23．近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元时，日销售量为 （20+2x） 件；
（2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
（3）丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
25．如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx+48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）点A的坐标是 （4，0） ，点B的坐标是 （12，0） ；
（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．
①求点D的坐标（用含t的式子表示）；
②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；
（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．
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九年级上学期期中试卷
范围：人教版九年级上册第21~24章 一元二次方程、二次函数、旋转、圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选此选项不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选此选项不符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选此选项符合题意．
故选D．
2．下列关于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（ ）
A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0
C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0
【答案】C
【解析】A．mx2+2x+1＝0，若m＝0，方程是一元一次方程，故选本选项不符合题意；
B．（m+1）x2+2x+1＝0，若m＝﹣1，方程是一元一次方程，故选本选项不符合题意；
C．因为m2+1＞0，所以（m2+1）x2+2x+1＝0肯定是一元二次方程，故选本选项符合题意；
D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0，若m＝±1，方程是一元一次方程，故选本选项不符合题意．
故选C．
3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．±2
【答案】A
【解析】由题意得：
把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，
（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，
解得：m＝±2，
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
故选A．
4．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴；
故选A.
5．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
【答案】C
【解析】方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4＝11；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4＝10．
故选C．
6．下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【答案】D
【解析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，如下图：
则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选B.
8．如图，弓形ADB中，AB＝24，弓形所在圆的半径是13，则弓高CD的长是（ ）
A．5 B．14 C．11 D．18
【答案】D
【解析】设弓形ADB所在的圆的圆心为O，连接OA，
如图，∵AB＝24，CD⊥AB，
∴AC＝12，
Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝＝5，
∴CD＝13+5＝18，
∴则弓高CD的长是18；
故选D．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADB B．∠ACD＝∠EAD
C．∠EAC＝α D．∠EDC＝180°﹣α
【答案】B
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAC＝α，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABC＝∠ADB＝＝∠ADE，
∴∠EDC＝180°﹣α，
故选B．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的有（ ）
①2a+b＜0；
②﹣1≤a≤﹣；
③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．
A．①③④ B．②③ C．② D．②③④
【答案】B
【解析】如图：
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵当x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，
∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．
故选B．
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）与点 关于原点O对称．
【答案】（﹣2，1）
【解析】点P（2，﹣1）关于原点O的对称点是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
12．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
【答案】m＜0
【解析】如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，
故答案为：m＜0．
13．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为 .
【答案】y＝（x+2）2﹣5
【解析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
14．扇形的圆心角为，半径为，它的弧长为 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
15．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是 ．
【答案】﹣2
【解析】由题意得：k2﹣2＝2；k﹣2≠0；
解得k＝±2；k≠2；
∴k＝﹣2．
16．已知x2﹣5x﹣5+y＝0，则y﹣x的最大值为 ．
【答案】9
【解析】原方程化为：y＝﹣x2+5x+5，
把y＝﹣x2+5x+5代入y﹣x，
得y﹣x＝﹣x2+4x+5，
＝﹣（x﹣2）2+9≤9，
∴y﹣x的最大值为9；
故答案为：9．
17．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
【答案】6或
【解析】，
，
解得：，
①当直角边分别为2，6时，
斜边为：，
∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长，
∴此时直角三角形外接圆的直径为，
②当斜边为6时，
此时直角三角形外接圆直径为6．
故答案为：6或．
18．如图，将等腰绕点逆时针旋转后得到．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设与交于D，
由题意得，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．用适当方法解下列方程：
（1）4x2﹣1＝0；
（2）4y2﹣4y+1＝0；
（3）x2﹣6x﹣3＝0；
（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
【解析】（1）4x2﹣1＝0，
4x2＝1，
x2＝，
；
（2）4y2﹣4y+1＝0，
（2y﹣1）2＝0，
2y＝1，
y1＝y2＝；
（3）x2﹣6x﹣3＝0，
x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，
（x﹣3）2＝12，
x﹣3＝，
x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
；
（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，
[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0，
（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，
（2﹣x）（3x﹣8）＝0，
2﹣x＝0或3x﹣8＝0，
．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD∥FG，FG⊥AB，CD，FG分别与AB相交于点E，H，连接AC，AD．求证：AC＝AD．
【解析】证明：∵FG⊥AB，
∴∠FHB＝90°，
∵CD∥FG，
∴∠CEB＝∠FHB＝90°，
∴AB⊥CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴AC＝AD．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
【解析】如图所示：
（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，
或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
【解析】（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
23．近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
（1）每件商品降价x元时，日销售量为 （20+2x） 件；
（2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
（3）丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解析】（1）已知每件商品降价x元，则日销售量为20+×10＝（20+2x）件，
故选答案为：（20+2x）；
（2）根据题意可知，（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x＝10或x＝20，
此时，销售的商品为40件或60件，
∵为尽快销售完该商品，
∴取x＝20，
∴当x＝20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
（3）该商品需要打a折销售，
由题意，得，100×≤100﹣20，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
24．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【解析】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
25．如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx+48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）点A的坐标是 （4，0） ，点B的坐标是 （12，0） ；
（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．
①求点D的坐标（用含t的式子表示）；
②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；
（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．
【解析】（1）令y＝0，则tx2﹣16tx+48t＝0，
解得：x1＝4，x2＝12，
∵点A在点B左侧，
∴A（4，0），B（12，0），
故选答案为：（4，0），（12，0）；
（2）①如图2，∵∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∵OB＝OB，∠BOC＝∠BOE＝90°，
∴Rt△BOC≌Rt△BOE（HL），
∴OE＝OC，
在y＝tx2﹣16tx+48t中，令x＝0，得y＝48t，
∴C（0，48t），
∴E（0，﹣48t），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BE的解析式为y＝4tx﹣48t，
联立方程组，得，
解得：，（舍去），
∴D（8，﹣16t）；
②⊙D与y轴相切，理由如下：
∵D（8，﹣16t），
∴点D到y轴的距离为8，
∵⊙D的半径为8，
∴⊙D与y轴相切．
（3）∵对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，且抛物线经过点（h，），
∴该抛物线顶点为（h，），
∵y＝tx2﹣16tx+48t＝t（x﹣8）2﹣16t，
∴抛物线顶点为（8，﹣16t），
∴﹣16t＝，
解得：t＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣16，
∴B（12，0），C（0，﹣16），
∴OB＝12，OC＝16，
∴BC＝＝＝20，
过△BCO的内心I作IM⊥OB于点M，IN⊥OC于点N，IG⊥BC于点G，
则IM＝IN＝IG＝r，
∵S△BOC＝S△BIO+S△CIO+S△BIC，
∴×12×16＝×12r+×16r+×20r，
解得：r＝4，
∴I（4，﹣4），
∵F是Rt△BCO的外心，
∴F是BC的中点，
∴F（6，﹣8），
∴IF＝＝2．
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