山西省大同市平城区三校联考2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷
一、单选题
1．（2019九上·台州月考）一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、一次函数a>0， 二次函数a<0， a的正负不一致，不符合题意；
B、一次函数>0， 二次函数a>0， 一次函数图象b>0， 二次函数图象对称轴x=>0， ∴b<0， b的正负不一致不符合题意；
C、一次函数a<0， 二次函数a<0， 一次函数b<0， 二次函数对称轴x=<0， ∴b<0， 符合题意；
D、一次函数a<0， 二次函数a<0， 一次函数b>0， 二次函数图象对称轴x=<0， ∴b<0， b的正负不一致。不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别判断各选项中一次函数和二次函数a、b的正负，看是否一致，一次函数的a值根据图象的增减趋势判断，二次函数图象a的正负根据开口方向判断；一次函数的b的正负根据图象与y轴的交点来判断，二次函数图象b的正负根据对称轴再结合a值正负判断.
二、填空题
2．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
∴，
即配方后的方程可以是，
故答案为：.
【分析】利用配方法求出即可作答。
3．（2018九上·阿荣旗月考）一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共 人.
【答案】9
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故答案为：9．
【分析】设这小组有x人，贺卡总数=个人贺卡数×人数，列出数量关系式，解方程即可。
4．（2018九上·渭滨期末）关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a＜1且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∵方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜1且a≠0．
故答案为：a＜1且a≠0．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，继而可求得a的范围．
5．（2017九上·东台月考）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3或x2=4，
①当AB=3时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=3+3=6，
∴不能构成三角形，AB=3（舍）
②当AB=4时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=4+4=8，
∴C菱形ABCD=4×4=16.
故答案为：16.
【分析】根据边AB的长是方程x2-7x+12=0 的一个根，解方程求出菱形AB的长；再根据菱形ABCD的一条对角线长为6，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边得出菱形的边长，从而求出菱形的周长.
6．方程是关于x的二次函数，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的二次函数，
∴m-2≠0且|m|=2，
∴m≠2且m=±2，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据二次函数的定义求出m-2≠0且|m|=2，再计算求解即可。
7．某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列函数为 ，化为一般形式为 ．
【答案】；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，
∴ 可列函数为：，
∴化为一般形式为：，
故答案为：；.
【分析】根据矩形的面积公式求出函数解析式为，再计算求解即可。
8．抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 ．当x 时，y随x的增大而增大．
【答案】上；；；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：上；（1，-2）；x=1；＞1.
【分析】根据所给的二次函数的图象与性质计算求解即可。
9．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，a=-1＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，
∵，
∴ ，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，再求出当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，最后比较大小求解即可。
10．如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论：
①abc<0；
②b -4ac>0；
③4b+c<0；
④若B(，y1)，C(，y2)，y1，y2为函数图象上的两点， 则y1>y2；
⑤当-3≤x≤1时，y≥0；
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)
【答案】②③⑤
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵二次函数的对称轴为直线x=-1，
∴，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，
∴结论①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac>0，
∴结论②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，二次函数的图象过点A(－3，0)，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点是（1，0），
∴a+b+c=0，
∵b=2a，
∴a+2a+c=0，
∴c=-3a，
∴4b+c=8a-3a=5a＜0，
∴结论③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，
∴关于对称轴对称的点的坐标是，当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∴结论④错误；
由函数图象可得： 当-3≤x≤1时，y≥0，
∴结论⑤正确；
综上所述：正确的结论是②③⑤，
故答案为：②③⑤ .
【分析】根据二次函数的图象与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
三、解答题
11．用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
，
或，
，；
（2）解：
或，
，；
（3）解：
或
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可；
（3）利用提公因式法解方程求解即可。
12．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少
【答案】解：设宽为x，则花台的长为(12-2x)m，宽为(8-2x)m，根据矩形面积公式可得：
(12-2x)(8-2x)=8.
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（舍去），x2=5-
答：这个宽度为5-.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形的面积公式得出 (12-2x)(8-2x)=8，再解方程计算求解即可。
13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
（1）若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围．
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
【答案】（1）解：根据题意有：
，
又∵
解得，
即：；
（2）解：开口向下，y有最大值，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，y随x增大而增大，
∴时，
，
答：降价12元时盈利最多．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用利润公式求出，再求出， 最后作答即可；
（2）根据题意先求出 时，y随x增大而增大， 再将x=12代入计算求解即可。
14．（2018·宁波）已知抛物线 经过点（1，0），（0， ）。
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【答案】（1）解：把（1，0）和（0， ）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： .
（2）∵ = ，
∴顶点坐标为（-1，2），
∴抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.
平移后的函数表达式为： .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将（1，0）和（0， ）代入抛物线解析式得到一个关于b和c的二元一次方程组，解之即可得抛物线解析式.
（2）将（1）中求得的解析式配方得其顶点坐标为（-1，2），故使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；从而可得平移后的函数表达式.
15．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线的图象经过A，B两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形的面积；
（3）作直线平行于x轴，分别交线段于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
，，
把，代入得
，解得，
；
（2）解：，
顶点为，
设直线交轴于点，
由，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴可得直线的解析式为，
∴令，即，解得，
∴，
令抛物线，即
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设、的纵坐标为，
由和点的坐标可知所在直线的解析式为：，
则，，
①当，，，
因为是等腰直角三角形，则，则，则的横坐标为，
即点坐标为；
②当，，
同上，，则的横坐标为，
即点坐标为；
③当，作的中点，连接，则，
又，
，则，即：，
解得：，
点的横坐标为：，
即点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出顶点为， 再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出，， 再分类讨论，根据等腰直角三角形的性质，列方程计算求解即可。
山西省大同市平城区三校联考2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷
一、单选题
1．（2019九上·台州月考）一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是 .
3．（2018九上·阿荣旗月考）一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共 人.
4．（2018九上·渭滨期末）关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
5．（2017九上·东台月考）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 ．
6．方程是关于x的二次函数，则 ．
7．某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列函数为 ，化为一般形式为 ．
8．抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 ．当x 时，y随x的增大而增大．
9．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是 ．
10．如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论：
①abc<0；
②b -4ac>0；
③4b+c<0；
④若B(，y1)，C(，y2)，y1，y2为函数图象上的两点， 则y1>y2；
⑤当-3≤x≤1时，y≥0；
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)
三、解答题
11．用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
12．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少
13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
（1）若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围．
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
14．（2018·宁波）已知抛物线 经过点（1，0），（0， ）。
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
15．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线的图象经过A，B两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形的面积；
（3）作直线平行于x轴，分别交线段于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A、一次函数a>0， 二次函数a<0， a的正负不一致，不符合题意；
B、一次函数>0， 二次函数a>0， 一次函数图象b>0， 二次函数图象对称轴x=>0， ∴b<0， b的正负不一致不符合题意；
C、一次函数a<0， 二次函数a<0， 一次函数b<0， 二次函数对称轴x=<0， ∴b<0， 符合题意；
D、一次函数a<0， 二次函数a<0， 一次函数b>0， 二次函数图象对称轴x=<0， ∴b<0， b的正负不一致。不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别判断各选项中一次函数和二次函数a、b的正负，看是否一致，一次函数的a值根据图象的增减趋势判断，二次函数图象a的正负根据开口方向判断；一次函数的b的正负根据图象与y轴的交点来判断，二次函数图象b的正负根据对称轴再结合a值正负判断.
2．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴，
∴，
即配方后的方程可以是，
故答案为：.
【分析】利用配方法求出即可作答。
3．【答案】9
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故答案为：9．
【分析】设这小组有x人，贺卡总数=个人贺卡数×人数，列出数量关系式，解方程即可。
4．【答案】a＜1且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∵方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜1且a≠0．
故答案为：a＜1且a≠0．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，继而可求得a的范围．
5．【答案】16
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3或x2=4，
①当AB=3时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=3+3=6，
∴不能构成三角形，AB=3（舍）
②当AB=4时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=4+4=8，
∴C菱形ABCD=4×4=16.
故答案为：16.
【分析】根据边AB的长是方程x2-7x+12=0 的一个根，解方程求出菱形AB的长；再根据菱形ABCD的一条对角线长为6，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边得出菱形的边长，从而求出菱形的周长.
6．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的二次函数，
∴m-2≠0且|m|=2，
∴m≠2且m=±2，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据二次函数的定义求出m-2≠0且|m|=2，再计算求解即可。
7．【答案】；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，
∴ 可列函数为：，
∴化为一般形式为：，
故答案为：；.
【分析】根据矩形的面积公式求出函数解析式为，再计算求解即可。
8．【答案】上；；；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：上；（1，-2）；x=1；＞1.
【分析】根据所给的二次函数的图象与性质计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，a=-1＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，
∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，
∵，
∴ ，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出二次函数图象开口向下，对称轴是直线x=-2，再求出当x＞-2时，y随x的增大而减小，且点与对称，最后比较大小求解即可。
10．【答案】②③⑤
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵二次函数的对称轴为直线x=-1，
∴，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，
∴结论①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac>0，
∴结论②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，二次函数的图象过点A(－3，0)，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点是（1，0），
∴a+b+c=0，
∵b=2a，
∴a+2a+c=0，
∴c=-3a，
∴4b+c=8a-3a=5a＜0，
∴结论③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，
∴关于对称轴对称的点的坐标是，当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∴结论④错误；
由函数图象可得： 当-3≤x≤1时，y≥0，
∴结论⑤正确；
综上所述：正确的结论是②③⑤，
故答案为：②③⑤ .
【分析】根据二次函数的图象与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
11．【答案】（1）解：
，
或，
，；
（2）解：
或，
，；
（3）解：
或
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可；
（3）利用提公因式法解方程求解即可。
12．【答案】解：设宽为x，则花台的长为(12-2x)m，宽为(8-2x)m，根据矩形面积公式可得：
(12-2x)(8-2x)=8.
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（舍去），x2=5-
答：这个宽度为5-.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形的面积公式得出 (12-2x)(8-2x)=8，再解方程计算求解即可。
13．【答案】（1）解：根据题意有：
，
又∵
解得，
即：；
（2）解：开口向下，y有最大值，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，y随x增大而增大，
∴时，
，
答：降价12元时盈利最多．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用利润公式求出，再求出， 最后作答即可；
（2）根据题意先求出 时，y随x增大而增大， 再将x=12代入计算求解即可。
14．【答案】（1）解：把（1，0）和（0， ）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： .
（2）∵ = ，
∴顶点坐标为（-1，2），
∴抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.
平移后的函数表达式为： .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将（1，0）和（0， ）代入抛物线解析式得到一个关于b和c的二元一次方程组，解之即可得抛物线解析式.
（2）将（1）中求得的解析式配方得其顶点坐标为（-1，2），故使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；从而可得平移后的函数表达式.
15．【答案】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
，，
把，代入得
，解得，
；
（2）解：，
顶点为，
设直线交轴于点，
由，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴可得直线的解析式为，
∴令，即，解得，
∴，
令抛物线，即
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设、的纵坐标为，
由和点的坐标可知所在直线的解析式为：，
则，，
①当，，，
因为是等腰直角三角形，则，则，则的横坐标为，
即点坐标为；
②当，，
同上，，则的横坐标为，
即点坐标为；
③当，作的中点，连接，则，
又，
，则，即：，
解得：，
点的横坐标为：，
即点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出顶点为， 再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出，， 再分类讨论，根据等腰直角三角形的性质，列方程计算求解即可。
