遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷
数 学
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项：
1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.
2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（ ）（参考数据:）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
7. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；则（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与是终边相同的角
B. 若角的终边过点，则
C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D. 若，则角终边在第一象限或第三象限
10. 对于任意实数，函数满足：当时，.下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C
D. ，使得
11. 已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. .
C. 的最大值为 D.
12. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题,则命题的否定为__________.
14. 若函数，则不等式的解集为__________.
15. 已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为__________.
16. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
18. 已知数列的前项和为，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
19. 函数，其一条切线的方程为.
（1）求值；
（2）令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.
20. 某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图：
附：.
0.1 0.05 0.010 0.005 0001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；
（2）将一周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
21. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
（1）求椭圆方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
22. 已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若时，，求实数的取值范围.遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷
数 学
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项：
1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.
2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合交集的运算可得.
【详解】由，解得：或，故.
故选：A
2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.
【详解】，
故复数的虚部是.
故选：C
3. 已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】结合特殊值与不等式的性质可求.
【详解】A，当时，，A错误；
B，当时， 没意义，B错误；
C，由，知，所以，C正确；
D，当时，不成立，D错误.
故选：C
4. 若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
5. 若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，
所以上恒成立，即恒成立，
而在上递增，故.
所以A符合要求.
故选：A
6. 今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（ ）（参考数据:）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:,解得,
所以,
当时,得,即,
两边取对数得,
所以,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年.
故选:B.
7. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象的变换法则得出，再由和角公式求解.
【详解】由题意可知，，
.
故选：B
8. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构建函数，结合导数可得；构建，，结合导数可得，进而可得.
【详解】令，则当时恒成立，
则在内单调递增，可得，
即，可得，故；
令，则当时恒成立，
则在内单调递增，可得，所以，
令，则当时恒成立，
则在内单调递增，可得，所以，
可得，所以，故；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与是终边相同的角
B. 若角的终边过点，则
C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D. 若，则角的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【解析】
【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.
【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
10. 对于任意实数，函数满足：当时，.下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C.
D. ，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合题中定义和特殊值即可.
【详解】A，根据定义，，所以，A正确；
B，取，，，
取，，，不满足奇函数的定义，B错误；
C，，
则，C正确；
D，当时，，D正确.
故选：ACD
11. 已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. .
C. 的最大值为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.
【详解】由题意可得，
当且仅当时取得等号，即A正确；
，
当且仅当时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式，
设，
则，
所以，
由柯西不等式可知：
，
当且仅当，即时取得等号，即D正确；
若，则，此时，故C错误.
故选：ABD
12. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换即可判断A，据题意总结出时，，即可判断B，利用二倍角公式、三角恒等变换即可判断选项CD.
【详解】对于A，
.A正确；
对于B，归纳可得时，，
所以，B正确；
因为，
所以，
即，即，
解得，C错；
有上述知，
则，D正确.
故选：ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题,则命题的否定为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.
【详解】因为命题,
所以命题的否定为:.
故答案为:.
14. 若函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.
【详解】因，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
15. 已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.
【详解】如图，因为，所以，
所以，
则，
，
，
解得.
故答案为：
16. 已知函数，若关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由导数得出函数的图像，讨论与的关系，结合图像得出实数的取值范围.
【详解】当时，，
即函数在上单调递增
函数的图像如下图所示：
由得出，
当时，显然不成立.
但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时.
即时，唯一整数解是，
当时，，使得不等式只有唯一整数解，此时，
即时，唯一整数解是.
综上，.
故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合五点法作图，由周期得，结合最值点可得，代入点的坐标得A，即可得函数解析式；
（2）由题意知和的图象有两个不同交点，作出函数在上的图象，结合函数的对称性可得的值．
【小问1详解】
设的最小正周期为，则，可得,
且，解得，
由图象可知：当时，取到最大值，
且，则，
可得，解得，
又因为，可得，则，
且的图象过点，则，解得，
所以.
【小问2详解】
令，
由，可得，
可知的零点等价于与的图象交点横坐标，
且，
作出在内的图象，不妨设，如图所示：
由图象可知：，且关于直线对称，所以.
18. 已知数列的前项和为，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与之间的关系，分和两种情况运算求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
因为当时，，且，
若，则，解得，
若，则，
两式相减可得：，整理得，
即，可得；
可知不符合上式，符合上式，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：，
当时，则；
当时，则；
可知符合上式，所以.
19. 函数，其一条切线的方程为.
（1）求的值；
（2）令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）求导，设切点为，从而得到方程组，求出，；
（2）求导，得到为的两根，由得到，得到两根之和，两根之积，计算出，由计算出不等式解集，得到实数的取值范围.
【小问1详解】
，设函数在切点处的切线的方程为，
则，，
解得，；
【小问2详解】
由（1）可知，，
，即为的两根，
故，解得或（舍去），
且，
，
由可得，即，
因为，所以，
解得或（舍去），
综上：
20. 某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图：
附：.
0.1 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；
（2）将一周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
【答案】（1）小时
（2）列联表见解析，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关
【解析】
【分析】（1）利用平均数公式求解；
（2）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图得：
；
估计该校学生每周平均使用手机上网时间为小时；
【小问2详解】
根据题意填写列联表如下，
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
由表中数据，计算，
所以有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．
21. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；
（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的方程为，则
由椭圆的定义及的周长为6，知①，
由于为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，
因为的面积的最大值为，
所以②，
又③，
联立①②③，得，
所以椭圆的方程为.
小问2详解】
为定值，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示,
设，则，
因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，
联立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以为定值.
22. 已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若时，，求实数取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据正负即可确定的单调区间；
（2）构造函数，将问题转化为在上恒成立；通过反例可说明显然不合题意；当时，结合零点存在定理可说明存在的区间，不合题意；当时，采用放缩法，结合时，的结论可得，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，进而得到恒成立.
【小问1详解】
由题意知：，
恒成立，当时，；当时，；
当时，；当时，；
在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
令，则在上恒成立；
①当时，，则，不满足在上恒成立，不合题意；
②当时，，
，，
又在上连续，，使得当时，，
在上单调递增，此时，不合题意；
③当时，，则，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，
令，则，
令，则，
在上单调递减，，即，
在上单调递减，，即，
，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够对变量的取值范围进行合理的分类，分类时可依据，得到必然成立来确定的大致范围，进而再细化分类进行求解.
