【能力提升】专题 三角形中的导角模型
高分线模型、双（三）垂直模型
几何导角模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．
(1)若时，如图所示，求证：；(2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于的面积； ②；
③； ④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．
(1)求的度数；(2)求的度数．
解：（1）（已知），______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2）（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，(1)求证：平分；(2)若，求证：．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．
(1)若，则_______；
(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．
14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果）
17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分．
(1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．
18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
【能力提升】专题 三角形中的导角模型
高分线模型、双（三）垂直模型
几何导角模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据,平分,即可得到的度数,再根据进行计算即可．
【详解】解：,,
又,平分,，
,故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．
【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB AC＝BC AD，
∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果；（3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵是高，∴，∵，∴，∴；
（2），
证明如下：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
（3）不变，理由是：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，，，
，．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．
【详解】∵，∴，∴．故选B．
【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出是解题关键．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．
(1)求的度数．(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，，∴．
【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据可得，再根据，即可求证．
【详解】证：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】根据AD是△ABC的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD，观察∠BED与∠AEF的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此结合已知不难得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解题．
【详解】证明：由题意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC，
∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定义是关键．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理，
∵，∴S△ABC=，即，解得：．故选择D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．
(1)若时，如图所示，求证：；(2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立；当时，；当时，；理由见解析．
【分析】（1）证明，由，证明，由三角形的外角的性质可得，，从而可得结论．
（2）证明，结合三角形的内角和定理可得，再分两种情况可得结论．
【详解】（1）证明：∵是角平分线，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∵，，∴．
（2）不成立． 理由如下：
∵，，，∴，
∵，∴
当时，，∴；
当时，，∴．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．
【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴，
∴，∴，
∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30 角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，那么，然后利用分别表示，，，最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵中，，
∴设，那么，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴．故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意证明，得出，三角形内角和定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据角平分线的定义可得，根据即可求解．
【详解】解：，平分，，，
，，，，
，，
平分，，，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于的面积； ②；
③； ④．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积；
②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证；
③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出；④无法证得AH=BH．
【详解】解：∵是的中线，∴，∴的面积等于的面积，故①正确；
∵是的角平分线，∴，
∵是的高线，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵是的一个外角，∴，
∵是的一个外角，∴，∴，故②正确；
∵CF是的高线，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵是的角平分线，∴，∴，故③正确；
无法证得AH=BH，故④错误；故正确的有①②③ 故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积 故正确；
，是的高 ，
是的角平分线
又 故正确；
故正确；
故错误；故选：C
【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】过点G作交于点M，过点M作，根据等腰三角形各角之间的关系得出，再由垂直及等量代换得出，利用等角对等边确定，，再由全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：过点G作交于点M，过点M作，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，，
∴，∴，，
在与中，，∴
∴，∴，故答案为：6．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，∴
∵平分∴
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，∵，∴；
②当时，如图2，∴，
∵，∴，
综上，的度数为或．故答案为：50或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．
8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得，由和，得出，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键．
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．
(1)如果，求的度数；(2)试说明：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
平分交于，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
平分交于，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．
(1)求的度数；(2)求的度数．
解：（1）（已知），
______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2）（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
【答案】(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；
（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．
【详解】（1）解：已知，，
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
等量代换．
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
等式的性质．
已知，等量代换．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，
(1)求证：平分；(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，，再证明，从而可得结论；
（2）先证明，可得，，，从而可得结论．
【详解】（1）证：在中，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴CE平分；
（2）∵，
∴
∵在中，，而
∴
∴
∵在中，
∴
∵在中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并求解是解本题的关键．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E，
(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析(2)AB＝4
【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，进而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30°角所对的直角边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180°，三角形外角等于不相邻两个内角的和．
13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．
(1)若，则_______；
(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．
【答案】(1)(2)小明的说法正确，理由见解析
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用角的和差即可求出；
（2）根据（1）的思路求出，即可作出判断．
【详解】（1）∵，，，
∴,
∵是的平分线，
∴，
∵是高线，
，
，
∴；
（2）∵是的平分线，
．
是高线，
，
，
．
由可知：的度数与的具体数值无关，只和与的差值有关，
故小明的说法正确．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．
(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据，得出，求出，最后根据得出结果；
（2）根据角平分线的定义得出，根据高线的定义得出，求出，根据，得出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
【答案】(1)与；与；与（任意写出两对“等角三角形”即可）
(2)见解析 (3)的度数为或或或
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，，，再根据“等角三角形”的定义即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得与是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；
（3）分①当是等腰三角形，时；②当是等腰三角形，时；③当是等腰三角形，时；④当是等腰三角形，时四种情况，利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质求解即可得．
【详解】（1）解：，，
，
，
，，
与；与；与是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可）
（2）证明：在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴与是“等角三角形”，
∴为的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，，
由三角形的外角性质得：，即，解得，
∴；
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），正确分四种情况讨论是解题关键．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立.
（2）由平行线的性质和角平分线的性质，得到，，然后即可得结论成立；
（3）过点O作OG⊥AC，连接OC，由点O为内心，可知OD=OG，由，即可得到答案.
【详解】证明：（1），平分和
，
；
（2），
，，
又，，
，，
，，
；
（3）如图，过点O作OG⊥AC，连接OC，
∵点O为△ABC的内心，则OC是∠ACB的角平分线，
∴，
∵
=
=
=
=；
故答案为：.
【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确得到角之间的关系，从而进行解题.
17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分．
(1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）现根据三角形的内角和得到，然后利用角平分线得到，在用直角三角形的两锐角互余得到，计算解题即可；（2）过点作于点D，可以得到，即，再根据（1）的计算结果得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵平分，∴，
又∵，∴，∴，
∴；
（2）解：过点作于点D，由（1）可得：，
∵，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】平分可得，再结合可得，进而得到，再结合可得，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵。
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以、三角形外角的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解；
（3）根据，，三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
【答案】
【分析】根据为的高，得出，得出，根据，得出，，根据，得出，根据为的角平分线，得出，最后根据直角三角形两锐角互余得出答案即可．
【详解】解：∵为的高，
∴，
，
∵比大，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的角平分线，直角三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意求出．
