2022北京人朝分校初三（上）期中
数 学
（考试时间：120 分钟 满分：100 分）
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000 多年的历史．2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与人
工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中
心对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
3
A. x 3 = 0 B. x + = 0 C. x + y =1 D. 2x2 x 3 = 0
x
2
3. 抛物线 y = (x 2) +1的对称轴是（ ）
A. 直线 x = 2 B. 直线 x = 2 C. 直线 x = 0 D. 直线 x =1
4. 点 P ( 2,3)关于原点对称的点 P 的坐标是（ ）
A. ( 2,3) B. (2, 3) C. ( 3, 2) D. (3, 2)
5. 用配方法解方程 x2 2x 1= 0 ，配方结果正确的是（ ）
2 2 2 2
A. (x +1) = 1 B. (x 1) =1 C. (x +1) = 2 D. (x 1) = 2
6. 如图， AB 为 O 的直径，弦CD ⊥ AB 于点 E，已知CD =16，OE = 6 ，则 O 的半径为（ ）
A. 8 B. 10 C. 16 D. 20
7. 如图，点A ， B ，C 为 O 上三点，若 C = 54 ，则 AOB 的大小为（ ）
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A. 27 B. 36 C. 54 D. 108
8. 已知一个二次函数图象经过 P1 ( 3, y1 )， P2 ( 1, y2 )， P3 (1, y3 )， P4 (3, y4 )四点，若 y2 y3 y1 ，则
y1 ， y2 ， y3 ， y4 的最值情况是（ ）
A. y3 最小， y1 最大 B. y3 最小， y4 最大 C. y2 最小， y4 最大 D. 无法确定
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 写出一个图象开口向上，且经过点 (0，1)的二次函数的解析式：_______．
10. 关于 x 的一元二次方程 x2 + 3x m = 0有一个根是 x =1，则m = __________．
2
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y x 沿着 y轴向上平移 2个单位长度所得抛物线解析式为______．
12. 一元二次方程 2x2 6x 3 = 0的二次项系数是________，一次项系数是________．
13. 在如图所示的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1 ，则旋转中心可能是
A、B、C、D 中的点______．
2
14. 已知二次函数 y = ax + bx + c的部分图像如图所示，则使得函数值 y 大于 0 的自变量 x 的取值范围是
___________．
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15. 如图，点 A、B、C、D 都在 O 上，点 E 在CD 的延长线上，若 ABC =100 ，则 ADE 的度数是
_________ ．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每 20分
钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口 20 分钟一共通过的小
客车数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______．
三、解答题（本题共 60 分，第 17 题 10 分，第 18～24 题，每小题 5 分；第 25 题 6 分；第
26～27 小题，每小题 7 分）
17. 解方程：
（1） x2 4x + 3 = 0
（2）9x2 1= 0
18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1cm ， ABC 各顶点都在格点上，点 A，B，C 的
坐标分别为 ( 1,2) ,( 3,1) ,(0, 1)，将 ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90 ，画出旋转后的△A1B1C1 ，
此时点A ，点 B 的对应点 A1, B1 的坐标分别是________，________．
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19. 如图 1 是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之
轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完
整．
如图 2 所示，在车轮上取 A、B 两点，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 r cm．
作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，则 D 是 AB 的中点．其推理的依据是： ．
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则 AD＝ cm；
用含 r 的代数式表示 OD，OD＝ cm．
在 Rt△OAD 中，由勾股定理可列出关于 r 的方程：
r 2 = ，解得 r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
2
20. 已知抛物线 y = ax +bx + c (a 0)图像上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 …
（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；
（2）结合图像直接写出当 0≤x≤4 时，y 的范围．
21. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x +m = 0有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的范围；
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（2）当 m 取最大整数值时，求此时方程的根．
22. 如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于C, D 两点．求证： AC = BD．
23. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 为CD 上一点，把 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 至△ABF 的位置，
AB = 3 ，∠EAD = 30°，求线段 EF 的长度．
24. 如图，用一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃 ABCD，墙长 18m．当 AB 长为多少米时，
所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
2
25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 3ax +1与 y 轴交于点 A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，求点 B 的坐标；
（3）已知点 P(0，2)，Q (a +1,1)，若线段 PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值
范围．
26. 在等腰Rt△ABC 中， C = 90 ， AC = BC，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上，将线段 DE
绕点 D 顺时针旋转90 得到线段 DF ．
（1）依题意补全图 1；
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（2）求证： CED = FDB ；
（3）点 M 为 AB 中点，射线CM 交 EF 于点 N，探究 EN 与 FN 的数量关系，并说明理由．
27. 在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1．对于点 A 和线段 BC，给出如下定义，若将线段 BC 绕点 A
旋转可以得到 O 的弦 B C （ B ，C 分别是 B，C 的对应点），则称线段 BC 是 O 的以点 A 为中心的
“关联线段”．
（1）如图，点 A，C，B1,C1， B2 ,C2 的横、纵坐标都是整数．在线段 AC， B1C1, B2C2 ，中， O 的以
点 A 为中心的“关联线段”是_________；
（2） ABC 是等腰直角三角形， A = 90 ， AB =1，点 A(0, t )，其中 t 0 ．着 BC 是 O 的以点 A 为
中心的“关联线段”，求 t 的值；
（3）在 ABC 中， AB = 2 ， AC = 3．若 BC 是 O 的以点 A 为中心的“关联线段”，直接写 OA 的最
小值和最大值，以及相应的 BC 长．
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参考答案
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转
后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.是中心对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，故不符合题意；
C.不是中心对称图形，故不符合题意；
D.不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的整式方程是一元二次方程，
解答．
【详解】解：A． x 3 = 0是一元一次方程，不符合题意；
3
B． x + = 0是分式方程，不符合题意；
x
C． x + y =1是二元一次方程，不符合题意；
D． 2x2 x 3 = 0是一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3. 【答案】A
2
【分析】抛物线 y = a (x h) + k 的对称轴为 x = h ，最值为 y = k ．
2
【详解】解： 抛物线 y = (x 2) +1，
对称轴为 x = 2 ．
故选：A．
2
【点睛】本题考查了二次函数 y = a (x h) + k 的图象和性质，解决此题的关键是熟记基础知识．
4. 【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点 P ( 2,3)关于原点对称的点的坐标是 (2, 3)，
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故选：B．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反
数是解题的关键．
5. 【答案】D
【分析】先移项，再等号两边同时加上一次项系数的一半即可．
【详解】解： x2 2x 1= 0 ，
x2 2x =1，
x2 2x +1= 2，
2
(x 1) = 2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6. 【答案】B
【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点 E 为CD 的中点，且OE ⊥ CD ，在Rt△OEC 中，根据勾股定
理，即可得出OC ．
【详解】连接OC ，
∵ AB 为 O 的直径，弦CD ⊥ AB 于 E ，由垂径定理可知，点 E 为CD 的中点，
1
∴CE = CD = 8，
2
∴在Rt△OEC 中，OC = CE2 +OE2 =10 ，
∴ O 的半径10，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解答关键
7. 【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解： C 与 AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，
AOB = 2 C =108 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
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8. 【答案】C
【分析】根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线 x = 0 与直线 x= 1之间，然后根据点到对称轴的
距离的大小即可判断．
【详解】∵二次函数图象经过 P1 ( 3, y1 )， P2 ( 1, y2 )， P3 (1, y3 )， P4 (3, y4 )四点，且 y2 y3 y1 ，
∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线 x = 0 与直线 x= 1之间，
∴ P4 (3, y4 )离对称轴的距离最大， P2 ( 1, y2 )离对称轴的距离最小，
∴ y2 最小， y4 最大，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象开口方向
及对称轴的位置是解题的关键.
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
2
9. 【答案】 y = x +1等
【分析】设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取 a=1，将(0，1)代入得出
c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c (a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为： y = x2 +1(答案不唯一)．
故答案为： y = x2 +1(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出 a 的符号和 c=1 是解题关键．
10. 【答案】 4
【分析】把 x =1代入方程，得到关于 m 的方程，即可求解．
【详解】∵关于 x的一元二次方程 x2 + 3x m = 0有一个根是 x =1，
∴12 + 3 1 m = 0 ，解得：m = 4 ，
故答案是： 4 ．
【点睛】本题考查利用一元二次方程的根求参数的值，解题关键是掌握一元二次方程解的含义．
2
11. 【答案】 y = x + 2
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．
2 2
【详解】解：将抛物线 y x 沿着 y 轴向上平移 2 个单位长度所得抛物线解析式为： y = x + 2 ；
2
故答案为： y = x + 2 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．
12. 【答案】 ①. 2 ②. 6
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【分析】根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程 2x2 6x 3 = 0的二次项系数是 2 ，一次项系数是 6，
故答案为： 2 ， 6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式
y = ax2 +bx + c (a 0)，其中 a是二次项系数，b 是一次项系数， c是常数项．
13. 【答案】B
【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可．
【详解】解：∵△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接 PP1、NN1、MM1，
作 PP1的垂直平分线过 B、D、C，
作 NN1的垂直平分线过 B、A，
作 MM1的垂直平分线过 B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过 B，
即旋转中心是 B．
故答案为 B．
【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.
14. 【答案】 3 x 1##1 x 3
【分析】根据图像可得二次函数的开口方向和与 x轴的交点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由二次函数 y = ax2 + bx + c的部分图象可得：
函数图像开口方向向下，与 x轴的交点为 ( 3,0)和 (1,0)
所以当函数值 y 0 时，自变量 x 的取值范围为： 3 x 1．
故答案为： 3 x 1
【点睛】本题主要考查二次函数的图像，结合图像的开口方向和与 x轴的交点坐标来判断函数值 y 大于 0
时自变量 x的取值范围是解题的关键．
15. 【答案】100
【分析】根据圆的内接四边形对角互补的性质求出 ADE 的度数．
【详解】解：∵四边形 ABCD是 O 的内接四边形，
∴ ABC + ADC =180 ，
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∵ ADE + ADC =180 ，
∴ ADE = ABC =100 ．
故答案是：100．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
16. 【答案】B
【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．
【详解】解：∵330 260 = 70，330 300 = 30，360 300 = 60，360 240 =120,260 240 = 20 ，
∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；
E 收费出口通过的数量大于 C 收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于 A收费出口通过的数量；B
收费出口通过的数量大于 E 收费出口通过的数量；
∴ B E C A, B D A ，
∴每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 B．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本题共 60 分，第 17 题 10 分，第 18～24 题，每小题 5 分；第 25 题 6 分；第
26～27 小题，每小题 7 分）
17.【答案】（1） x1 = 3， x2 =1
1 1
（2） x1 = ， x2 =
3 3
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用直接开平方求解即可．
【小问 1 详解】
解：∵ x2 4x + 3 = 0 ，
∴ (x 3)(x 1) = 0 ，
∴ x 3 = 0或 x 1= 0，
∴ x1 = 3， x2 =1
【小问 2 详解】
解：∵9x2 1= 0 ，
2 1
∴ x = ，
9
1
∴ x = ，
3
1 1
∴ x1 = ， x2 =
3 3
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【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18. 【答案】作图见解析， ( 3,0)， (2, 2)
【分析】根据旋转的性质，结合题意，分别作出 A，B 的对应点 A1, B1 ，根据坐标系写出点 A1, B1 的坐标即
可求解．
【详解】△A1B1C 作图如下： A1 ( 3,0)， B1 (2, 2)
故答案为： ( 3,0)， (2, 2)．
【点睛】本题考查了画旋转图形，写出点的坐标，掌握旋转的性质是解题的关键．
【答案】垂直于弦的直径平分弦； ； (r 15)； 452
2
19. 45 + (r 15)
【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图 2 所示，在车轮上取 A、B 两点，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 r cm．
作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，则 D 是 AB 的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则 AD=45cm；
用含 r 的代数式表示 OD，OD=（r-15）cm．
在 Rt△OAD 中，由勾股定理可列出关于 r 的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得 r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45,（r-15），452+（r-15）2．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考
常考题型．
2
20. 已知抛物线 y = ax +bx + c (a 0)图像上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
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x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 …
（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；
（2）结合图像直接写出当 0≤x≤4 时，y 的范围．
【答案】（ 21） y=x 2x 3，图见解析
（2） 4 y 5
【分析】（1）根据表格得出抛物线过点 (1， 4)、 ( 1，0)、 (3,0)，将点坐标代入抛物线解析式求出 a、
b、c 即可，再利用描点法画函数图像；
（2）利用图像可直接得到答案．
【小问 1 详解】
2
解：∵设二次函数的解析式为 y = ax + bx + c(a 0)，
由题意得：当 x = 0 时， y= 3，
∴ c = 3,
∵ x =1时， y = 4，当 x= 1时， y = 0 ，
a b 3 = 0
∴ ，
a +b 3 = 4
a =1
解得 ，
b = 2
2
∴ y=x 2x 3；
∵当 x = 4 时， y = 5，
∴根据表格描点 ( 2,5) ,( 1,0) ,(0, 3) , (1, 4) , (2, 3), (3,0), (4,5)，用平滑曲线连结，抛物线图像如
图：
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【小问 2 详解】
解：由图可得，抛物线的顶点为 (1, 4)，
∴当 0≤x≤4 时， 4 y 5．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握
待定系数法和描点法画函数图像是解题关键．
21. 【答案】（1）m 1
（2） x1 = 0 ， x2 = 2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得到 4 4m 0，计算即可；
（2）由（1）可知 m 取最大整数值是 0 ，代入方程利用因式分解法解方程即可．
【小问 1 详解】
∵关于 x 的一元二次方程 x2 2x +m = 0有两个不相等的实数根，
∴ 0，即 4 4m 0，
∴m 1
【小问 2 详解】
由（1）知：m 1，且 m 取最大整数值，
∴m = 0，
将m = 0代入 x2 2x +m = 0可得：
x2 2x = 0 ，
∴ x (x 2) = 0，
∴ x1 = 0 ， x2 = 2，
故 m 取最大整数值 0 时，方程的根为： x1 = 0 ， x2 = 2
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确理解并掌握一元二次方程的
根的三种情况是解题的关键．
22. 【答案】见解析
【分析】过点 O 作 OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知 AP=BP，再由垂径定理可知 CP=DP，故可得出结
论．
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【详解】证明：如图所示，过点 O 作 OP⊥AB，垂足为点 P，
由垂径定理可得 PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
23. 【答案】2 2
【 分 析 】 根 据 旋 转 的 性 质 可 得 ADE≌ ABF ， EAF = 90 ， 从 而 得 到
AE = AF , BAF = DAE = 30 ，进而得到 AF = 2BF ，再由勾股定理可得 BF =1 ，从而得到
AF = AE = 2BF = 2，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵把 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 至△ABF 的位置，
∴ ADE≌ ABF ， EAF = 90 ，
∴ AE = AF , BAF = DAE = 30 ，
∴ AF = 2BF ，
2
∴ AB = AF 2 BF 2 = (2BF ) BF 2 = 3BF ，
∵ AB = 3 ，
∴ 3BF = 3 ，即 BF =1，
∴ AF = AE = 2BF = 2，
∴ EF = AF 2 + AE2 = 2 2 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的旋转，直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定
理，图形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
15 225
24. 【答案】当 AB 长为 米时，所围成的花圃面积最大，最大面积是 平方米
2 2
【分析】设 AB 长为 x米，则 BC 长为 (30 2x)米，所围成的花圃面积为 y 平方米，依题意可得
y = x (30 2x) = 2x2 + 30x ，再根据题意得 0 30 2x 18，利用二次函数的性质即可求出花圃面积最
大时 AB 长和最大面积．
【详解】解：设 AB 长为 x米，则 BC 长为 (30 2x)米，所围成的花圃面积为 y 平方米，依题意得：
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y = x (30 2x) = 2x2 + 30x ，
0 30 2x 18 ，
6 x 15，
b 15
a = 2 0，且对称轴为直线 x = = ，
2a 2
15 225
当 x = 时， y 最大，最大为 ，
2 2
15 225
答：当 AB 长为 米时，所围成的花圃面积最大，最大面积是 平方米．
2 2
【点睛】本题考查了二次函数的应用，会根据题意列出 x、 y 的关系式、求出 x的取值范围是解题的关
键．
3
25. 【答案】（1） x = ；（2）点 B 的坐标为 (3,1)；（3） 1 a 0或 a 2
2
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）先求出点 A 的坐标，再求出其对称性即可求解；
（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解．
3a 3
【详解】解：（1）由抛物线 y = ax2 3ax +1，可知 x = = ．
2a 2
3
∴抛物线的对称轴为直线 x = ．
2
（2）∵抛物线 y = ax2 3ax +1与 y 轴交于点 A，
令 x=0，y=1
∴点 A 的坐标为 (0,1)．
3
∵点 B 是点 A 关于直线 x = 的对称点，
2
∴点 B 的坐标为 (3,1)．
（3）∵点 A (0,1)，点 B (3,1)，点 P (0,2)，点 Q (a +1,1)，
∴点 P 在点 A 的上方，点 Q 在直线 y =1上．
①当 a＞0 时， a +1＞1，点 Q 在点 A 的右侧．
（i）如图 1，当 a +1＜3，即 a＜2时，点 Q 在点 B 的左侧，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线没有公共点；
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（ii）如图 2，当 a +1≥3，即 a 2 时，点 Q 在点 B 的右侧，或与点 B 重合，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线恰有一个公共点
②当 a＜0时， a +1＜1，点 Q 在点 B 的左侧．
（i）如图 3，当0≤a +1＜1，即 1 a＜0时，点 Q 在点 A 的右侧，或与点 A 重合，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线恰有一个公共点；
（ii）如图 4，当 a +1＜0 ，即 a＜-1时，点 Q 在点 A 的左侧，
结合函数图象，可知线段 PQ 与抛物线没有公共点．
综上所述，a 的取值范围是 1 a＜0或 a 2 ．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求
解．
26. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）EN = FN ，理由见解析
【分析】（1）根据题意，过点 D 作 DF ⊥ DE ，并且是沿线段 DE 绕点 D 顺时针旋转90 所作，使得
DF = DE 即可
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（2）在Rt△CDE 中， CED = 90 CDE ，而 FDB =180 90 CDE = 90 CDE ，即可
得 CED = FDB
（3）过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H， FH 的延长线交射线CM 于点 G，可得
Rt△CDE≌Rt△HFD，且△CHG 是等腰直角三角形，即可得CE = FG ，所以△CNE≌GNF ，即可
得到 EN = FN
【小问 1 详解】
过点 D 作 DF ⊥ DE ，并且是沿线段 DE 绕点 D 顺时针旋转90 所作，使得 DF = DE ，
如下图所示：
【小问 2 详解】
∵ ABC 是等腰Rt△ABC ，
∴ C = 90 ，
∴ CED = 90 CDE ，
∵ FDB =180 90 CDE = 90 CDE ，
∴ CED = FDB
【小问 3 详解】
EN = FN ，理由如下：
过点 F 作 FH ⊥ BC ，交 BC 的延长线于点 H， FH 的延长线交射线CM 于点 G，
由（2）知 CED = FDB ，即 CED = FDH ，且 DF = DE ， ECD = H = 90 ，
∴Rt△CDE≌Rt△HFD，
∴CE = DH ，CD = HF
∵点 M 为 AB 中点，
1
∴ HCG = 90 = 45 ，且 FH ⊥ BC ，
2
∴ G = 45 ，即△CHG 是等腰直角三角形，
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∴ HC = HG ，且CD = HF ，
∴ DH = FG ，且CE = DH ，
1
∴CE = FG ，且 ECN = 90 = 45 = G ， CNE = GNF ，
2
∴ NEC = NFG ，
∴ CNE≌ GNF ，
∴ EN = FN
【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的性质和直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质，能够
按照题意作出辅助线是解决问题的关键
27. 【答案】（1） AC
（2） 2
10 15
（3）当OAmin = 2 时，此时 BC = ；当OAmax = 3时，此时 BC =
2 3
【分析】（1）以点 A 为圆心，分别以 AB1、 AC 、 AB2 、 AC1 2 、 AC 为半径画圆，进而观察是否与 O
有交点即可；
（2）当点 A 在 y 轴的正半轴上时，由旋转的性质可得△AB C 是等腰直角三角形，且 B C 是 O 的弦，
根据 AB =1=OC =OB = AC = AB 可得四边形 AC OB 是正方形，即对角线 AO = 2AC = 2 ，问
题随之得解；当点 A 在 y 轴的负半轴上时，同理可求；
（3）由 BC 是 O 的以点 A 为中心的“关联线段”，则可知 B ，C ，都在 O 上，且 AB = AB = 2，
AC = AC = 3，任取一点 B ，当以 B 为圆心，2 为半径作圆，然后以点 A 为圆心，3 为半径作圆，即可
得到点A的运动轨迹；由运动轨迹可得当点A ，O ，C ，三点共线时，OA的值为最小，根据勾股定理以
及等腰三角形的性质即可求解；当点A ， B ，O ，三点共线时，OA的值为最大，同理根据勾股定理以及
等腰三角形的性质即可求解．
【小问 1 详解】
由题意得：
通过观察图形可得：线段 AC 能绕点 A 旋转 90°得到 O 的“关联线段”， B1C1 、 B2C2 都不是 O 的
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弦；
故答案为： AC ；
【小问 2 详解】
由题意可得：当 BC 是 O 的以点 A 为中心的“关联线段”时，则有△AB C 是等腰直角三角形，且边长
也为 1，当点 A 在 y 轴的正半轴上时，如图所示：
∵ ABC 是等腰直角三角形， BAC = 90 ， AB =1，
∴ AB = AC =1，
∴根据旋转的性质有： AB = AC =1， B AC = 90 ，
∵当 BC 是 O 的以点A 为中心的“关联线段”时，
∴ B C 在 O 上，即OB =OC =1，
∵ AB = AC =OB =OC =1， B AC = 90 ，
∴四边形 AC OB 是正方形，
∴ AO = 2AC = 2 ，
∴ t = 2 ；
当点 A 在 y 轴的负半轴上时，如图所示：
同理可得此时的OA = 2 ，
∴ t = 2 ；
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即 t 的值为： 2 ；
【小问 3 详解】
由 BC 是 O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知 B ，C ，都在 O 上，且 AB = AB = 2，
AC = AC = 3，
任取一点 B ，当以 B 为圆心，2 为半径作圆，然后以点 A 为圆心，3 为半径作圆，即可得到点 A 的运动轨
迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A ，O ，C ，三点共线时，OA的值为最小，
若此时点A 再接近点O ，则根据 AC = 3，可知点C 不在 O 上，
此时 AC 过 O 的圆心，
根据作图，可知： AB = 2， AC = 3，OB =OC =1，
∴ AO = AC OC = 3 1= 2，即此时OA最小值为 2，
如图：过 A 点作 AE ⊥ B O 于 E 点，过 B 点作 B F ⊥ AO 于 F 点，
∵ AB = AO = 2 ， AE ⊥ B O ，OB =OC =1，
1
∴ B E = EO = ，
2
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∴ AE = B A2 2
15
B E = ，
2
1 1
∵ S = B O AE = B F AO，
2 2
15
1 ∴ B O AE 2 15 ， B F = = =
AO 2 4
2
1 5
∴ FO = B O2 B F 2 = 12
15 1
= ，即 FC =OC + FO =1+ = ，
4 4 4 4
2 2
2 2 5 15 10∴ B C = C F + B F = + = ，
4 4 2
10
∴ BC = B C = ，
2
当点A ， B ，O ，三点共线时，OA的值为最大，如图所示：
根据作图，可知： AB = 2， AC = 3，OB =OC =1，
∴ AO = AB +OB = 2+1= 3，即此时OA最大值为 3，
如图：过 A 点作 AM ⊥ C O 于 M 点，过C 点作C N ⊥ AO 于 N 点，
∵ AC = AO = 2 ， AM ⊥ C O ，OB =OC =1，
1
∴C M = MO = ，
2
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35
∴ AM = C A2 C M 2 = ，
2
1 1
∵ S AC O = C O AM = C N AO，
2 2
35
1
∴ C O AM 35 ，
C N = = 2 =
AO 3 6
2
35 1 1 5
∴ NO = C O2 C N 2 = 12 = ，即 B N = B O NO =1 = ， 6 6 6 6
2 2
35 5 15
∴ B C = C N 2 + B N 2 = +
= ，
6 6 3
15
∴ BC = ；
3
10 15
综上所述：当OAmin = 2 时，此时 BC = ；当OAmax = 3时，此时 BC = ．
2 3
【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转
的性质、圆的基本性质，并根据题意准确作出图形是解题的关键．
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