重点03 一元二次方程的应用
第一种类型：增长(下降)率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
第二种类型：利润问题(销售问题)
在利润问题中，常有销售量随销售价格的变化而变化的问题，在这些问题中总存在着数量关系：“日利润=单件利润×日销售数量”，这类问题通常可以列一元二次方程求解.
要解决这类型的问题，我们必须熟记利润问题常用的公式，即：利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)；
第三种类型：几何面积问题
面积问题常与长方形有关，经典的是类似于“草坪中修建小路”的问题。
第四种类型：传播问题
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。需要注意的是疾病传播问题和某种植物分支的区别和联系，疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。
第五种类型：互送礼物和单循环比赛问题（循环问题）
n(n≥2) 个人之间互送礼物，礼物总数=n(n-1)；n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行场比赛。
第六种类型：几何动态问题
动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。
一、增长(下降)率问题
(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n=b (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n=b (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)
重点题型训练1
1．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设平均每次降价的百分率为，则第一降价售价为，根据关键语句“连续两次降价后为元”可得方程．
【详解】设平均每次降价的百分率为，根据题意得：
，
故选：．
【点睛】此题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题的关键是正确理解求平均变化率的方法：设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
2．某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为 ．
【答案】
【分析】根据第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆列方程即可．
【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
根据题意可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键．
4．某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到504吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为 ．
【答案】
【分析】根据平均增长率的意义列式计算即可．
【详解】根据题意，得，
解得（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键．
5．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】（1）设平均增长率为，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；
（2）设降价元，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：设平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
6．随着乡村振兴战略的不断推进，各种惠农、助农活动的持续开展，很多农产品的销路逐渐打开.某种农产品原价为100元/盒，店家为了扩大销量，经过两次降价后的价格为81元/盒，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种农产品每次降价的百分率；
(2)已知该种农产品的成本价为50元/盒，且每天需支付其他各种费用100 元．若以81元/盒售出，平均每天能售出20盒，若每盒降价1元，则每天可多售出5盒．某天店家在每盒降价不超过10元的情况下，盈利了770元，求当天每盒农产品降价多少元
【答案】(1)该种农产品每次降价的百分率为
(2)当天每盒农产品降价2元
【分析】（1）设该种农产品每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）设当天每盒农产品降价y元，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设该种农产品每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该种农产品每次降价的百分率为；
（2）解：设当天每盒农产品降价y元，
根据题意，得，
即，
解得，，
∵每盒降价不超过10元，
∴，
答：当天每盒农产品降价2元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键．
二、利润问题（销售问题）：
利润=数量×单件利润，也是：利润=（售价-进价）×销售数量
销售数量麻烦一点，题目会告诉一个原本的销售量,
如果题目后来说销售量会减少,就是用原本的销售量-现在的销售量；
题目说销售量会增加，就是原本的销售量+现在的销售量
如果告诉盈利a元，单件利润=a-每件降价的钱
重点题型训练2
1．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设每件衬衫售价降低x元，根据“每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设每件衬衫售价降低x元，根据题意得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 （ ）
A．10元 B．8元 C．3元 D．5元
【答案】D
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．某批发店将进价为 元的小商品按 元卖出时，可卖出 件，已知这种商品每件涨价 元，其销售量就减少 件．若要赚得 元利润，设每件涨价 元，则 满足方程 ．
【答案】
【分析】设每件涨价 元，小商品的利润为元，再根据每件涨价 元其销售量就减少 件得到该商品的销售量件，再根据根据总利润单件利润销售数量即可解答．
【详解】解：设每件涨价 元根据题意，
可得方程，
故答案为；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意明确题目中的数量关系与等量关系是解题的关键．
4．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价 元．
【答案】7
【分析】设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为9750元，列出一元二次方程，
【详解】解：设每千克这种水果应降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或，
要尽快减少库存，
，
∴每千克这种水果应降价7元．
故答案为：7
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．如今直播购物逐渐走进了人们的生活．十一期间某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，若要日销售量每增加10件，每件小商品售价就要降低5元，要求日利润保持不变，商家想尽量让利顾客，每天最少售出多少件？
【答案】每天最少售出件
【分析】设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
【详解】解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
则日销售量为件，
故每天最少售出件．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．某装专卖店在销售中发现，一款盘装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采以适当的降价措施，以扩大销售抵，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
(2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
(3)平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)20
(3)不可能
【分析】（1）若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元；
（2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；
（3）设每件童装降价元，则每件盈利(40 元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不可能每天盈利1300元；
【详解】（1）若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：；；
（2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为 件，依题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；
（3）不可能，理由如下：
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，依题意得：，
整理得：；
∵，
∴方程无实数解，即不可能每天盈利1300元；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各量；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
三、几何面积问题
第一类常见的题目是用一定长度的物体围成三面的矩形，那么周长就是三边长的和，而不是四边长的和；
第二类常见的题目是用已知的周长围成一个固定面积的矩形；
第二类常见的题目是草坪中修建小路。
重点题型训练3
1．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由小路宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设小路宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，
依题意得：．
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、图形的平移解决实际问题，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键．
2．空地上有一段长为20米的旧墙，一边利用旧墙，其他三边利用木栏围成一个矩形菜园如图所示，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为198．设垂直于旧墙的一边长为米，下列正确的是（ ）
A．由题意，得 B．的取值范围为
C．只有一种围法 D．只有两种围法
【答案】C
【分析】由题意可得平行于旧墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解．
【详解】解：∵垂直于旧墙的一边长为米，
∴平行于旧墙的一边长为米，
则：，化简得：
故A错误；
∵
解得：
故B错误；
解方程得：
∵
∴
故只有一种围法
故C正确、D错误；
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意实际问题对方程的解的限制．
3．如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出平行于墙的一边的长度，即可建立一元二次方程．
【详解】解：∵鸡场垂直于墙的一边为 xm ，
∴平行于墙的一边的长度为：m
∴
故选：A
【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键．
4．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．若养鸡场面积为，设，则列方程得 ．
【答案】
【分析】设，，则这个鸡场平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式结合鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设，，则这个鸡场平行于墙的一边长为米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为x米，则可列方程 ．
【答案】
【分析】把道路进行平移，可得长为，宽为的矩形，再利用矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：把道路进行平移，则草坪的面积为一个矩形的面积，长为，宽为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意可得草坪的面积为一个矩形的面积是解题的关键．
6．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
【答案】道路的宽为1米．
【分析】把修筑的三条道路分别平移到矩形的最左边和最上边，则剩余的耕地也是一个矩形，设道路的宽为x米，根据矩形面积公式列方程，然后求出解．
【详解】解：设道路的宽为x米，
依题意得，
解得，（不符合题意舍去）．
答：道路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的性质，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
7．如图，要建一个面积为的菜园，菜园一边靠长为20m的墙，，现有能围成36m的篱笆，求围成符合要求的菜园的长和宽．
【答案】养鸡场的长为m，宽为12m．
【分析】设与墙垂直的边为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，根据养鸡场的一边靠着一面长为20m的墙，取舍方程的解，即可求解．
【详解】解：设与墙垂直的边为．
根据题意得．
整理得：，
解这个方程得．
当时，，
所以不合题意，舍去．
当时，．符合题意，
答：养鸡场的长为m，宽为12m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．在足够大的空地上有一段长为32米的旧墙，王爷爷要利用旧墙和60米的木栏围成中间有一道木栏的矩形菜园，其中，如图所示，设米．
(1)的长为__________米（用含的式子表示）；
(2)若所围成的矩形菜园的面积为300平方米，求的值；
(3)嘉嘉说：“当矩形菜园的面积为297平方米时，有两种围法．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）设米，根据60米的木栏表示出的长即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（3）首先根据题意得到，求得，根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
∵
∴
∴；
（2）根据题意可得，
解得；
（3）不正确，理由如下：
∵
，解得，
根据题意可得，
解得（应舍去），
∴．
∴嘉嘉的说法不正确，只有一种围法．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
四、传播问题
一元二次方程传染病公式可以表示为:Ax2+ Bx + C = 0,其中A、B、C为常数,x为传染病的传播时间。 各参数解释
A：传染率,表示传染病的传播速度,也就是每个患者在单位时间内能传染给多少人。
B：恢复率,表示患病者的康复速度,也就是每个患者在单位时间内能康复的比例。
C：易感人群数量,表示人群中尚未患病的人数,也就是患病的起始人数。
重点题型训练4
1．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给 个同学发了短信．
【答案】
【分析】设小童给x个同学发了短信，根据收到这条短信的同学共有人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：小童给x个同学发了短信，
依题意，得：，
解得：（舍去），．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？
【答案】1000台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑，等量关系：经过两轮感染后就会有100台电脑被感染；用前两轮感染的电脑的台数乘以每轮传染的台数即可得到总数．
【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
根据题意，得，
解，得或（不合题意，应舍去）．
所以经过三轮后共有，
答：经过三轮后共有1000台感染的电脑．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．
5．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】(1)平均一个人传染人
(2)经过三轮后共有人患流感
【分析】（1）设平均一个人传染x人，根据“有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+平均每人传染人数），即可求出结论．
【详解】（1）解：设平均一个人传染x人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故平均一个人传染人．
（2）解：（人）．
故经过三轮后共有人患流感．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、单、双循环问题
双循环：总数=n(n-1)；
单循环：总数=场比赛。
重点题型训练5
1．要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据单循环赛制中每两个队伍进行一场比赛列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题．
2．一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用发信息的总数=群里好友的人数×（群里好友的人数），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为 个.
【答案】7
【分析】设参赛队数为x个，根据计划安排21场比赛列方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：设参赛队数为x个，
则，
解得（不合题意，舍去），
∴参赛队数为7个
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键.
4．某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有 人．
【答案】
【分析】设该小组有个人，根据互送照片的方法，每个人要送出张，由此列式解一元二次方程即可求解．
【详解】解：设该小组有个人，
∴，整理得，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），，
∴该组有人，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的解决实际问题的方法是解题的关键．
5．首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？
【答案】参加第一轮比赛的共有15名选手
【分析】设参加第一轮比赛的共有名选手，根据“每位棋手与棋手比赛一盘制，第一轮比赛共下了105场”，列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设参加第一轮比赛的共有名选手，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
参加第一轮比赛的共有15名选手．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？
【答案】全班有名同学
【分析】设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案．
【详解】解：设此班有x名同学，
则，
解得:， (舍去)，
答：此班有名同学．
【点睛】本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
六、几何动态问题
几何动点问题中利用勾股定理，列出相关的一元二次方程进行求解。
重点题型训练6
1．如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，( )秒后四边形是面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】由于四边形是一个不规则的图形，不容易直接表示它的面积，观察图形，可知，因此当四边形是面积的时，是面积的，即有，从而列出关于t的方程求解即可．
【详解】解：∵中，，，
∴由勾股定理，得：．
设t秒后四边形是面积的，则，．
根据题意，知，
∴，即，
解得：，(舍去)．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．
2．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ．
【答案】
【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解．
【详解】解：，，，设，则，
在中，，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，
∴，则，
∴，解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键．
3．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
(1)两动点经过几秒时，使得；
(2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的；
(3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形．
【答案】(1)两动点经过秒时，使得；
(2)两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的；
(3)当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形．
【分析】（1）等量关系为：，即；
（2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间；
（3）需要分类讨论：和三种情况．
【详解】（1）解：设两动点经过t秒时，使得．
则，
解得．
答：两动点经过秒时，使得；
（2）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的．
则，即，
解得．
答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的；
（3）解：两动点经过秒，使得是等腰三角形
①当时，过点Q作于点H．
则，
所以，
整理得，
解得，；
②当时，．
则，
整理得．
解得，；
③当时，，
即，
整理得，，
解得，（与点B重合，舍去）．
综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
一、选择题
1．某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．2022年4月，张文宏在“科学为盾，战胜疫情”分论坛上发言表示，只有做到更高的疫苗接种率和医疗资源供应保障，才能最终安心走出这一波的疫情．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了（ ）
A．11人 B．12人 C．13人 D．14人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，
依题意得：，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均每个人传染了12人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据题意，设参加会议有x人，则每人会与人握手，列出方程求解即可．
【详解】解：设参加会议有x人，则每人会与人握手，
，
解得：，（舍），
∴参加会议的人数为12人，
故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．
4．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设道路宽为，则中间正方形的边长为，根据道路占地总面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路宽为，则中间正方形的边长为，
依题意，得：，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使面积为的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【分析】设出动点，运动秒，能使的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点，运动秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，（当时，，不合题意，舍去）．
动点，运动3秒时，能使的面积为．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，图形中的动点问题，根据题意，列出方程是关键．
6．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．
【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题
7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则由题意列出方程 ．
【答案】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后有100人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）=100．即(1+x)2=100，
故答案为：(1+x)2=100．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，到2022年农户甲的纯收入增长到39200元，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为 ．
【答案】
【分析】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，根据“2022年农户甲的纯收入增长到39200元”列方程求解即可．
【详解】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，
由题意得，
解得或（舍去），
即农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．
【答案】1或11/11或1
【分析】设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，根据每天的利润达到750元，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设应将每盒的售价下调元，则每盒的利润为元，每天销售量为盒，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调1或11元，
故答案为：1或11．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是 ．
【答案】
【分析】设的长为 ，则的长为 ，由题意得， ，整理得 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设的长为 ，则的长为 ，
由题意得， ，整理得 ，
解得，或，
当时，的长为 ，不满足题意，舍去，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
11．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【答案】2或．
【分析】作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示各个线段，再用勾股定理列方程求解即可.
【详解】
设当P、Q两点从出发开始到t秒时，点P和点Q的距离是10cm，
如图，作PE⊥CD于E，
则PE=AD=8cm，
∵DE=AP=3t，CQ=2t，
∴EQ=CD－DE－CQ=，
由勾股定理得：(16－5t)2+62=102，
解得t1=2，t2=.
故答案为2或.
三、解答题
12．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）
（1）应该邀请多少支球队参加比赛？
（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？
【答案】（1）6；（2）13
【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；
（2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可．
【详解】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，
依题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）．
答：应邀请6支球队参加比赛；
（2）由题可得：（场）．
答：实际共比赛13场．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．
13．等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
【答案】
【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可．
【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，
依题意可得，
解得：，即长为．
故长为时，平行四边形的面积等于．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键．
14．“燕赵味河北农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求每次降价的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率为
(2)每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元
【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意，得，
解方程，得，（不符合题意舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设每件应降价元，
依题意，得，
整理，得，
解方程，得，，
要尽快减少库存，所以取，
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
15．小卜家庵子村养鸡专业户李明年的纯收入是6万元，预计年的纯收入是万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的养鸡场？
②养鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)这两年纯收入的年平均增长率为
(2)①当养鸡场的长和宽分别为米、米时，或当养鸡场的长和宽分别为米、米时，能围成一个面积为的养鸡场；②不能，理由见详解
【分析】（1）设这两年纯收入的年平均增长率为，依题意列式得，即可作答；
（2）①设养鸡场的长为米，依题意得，养鸡场的宽为米，即可列式作答；
②先表达养鸡场的面积，令养鸡场的面积为，构建一元二次方程，运用一元二次方程的判别式情况，即可作答．
【详解】（1）解：设这两年纯收入的年平均增长率为，
依题意列式得，
整理得，
解得，（舍去）
所以这两年纯收入的年平均增长率为；
（2）解：①设养鸡场的长为米，依题意得，
养鸡场的宽：（米），
那么养鸡场的面积，
整理得，
，
则
解得，，
当时，养鸡场的宽：（米），
当时，养鸡场的宽：（米）
所以当养鸡场的长和宽分别为米、米时，或当养鸡场的长和宽分别为米、米时，能围成一个面积为的养鸡场；
②不能，理由如下：
设养鸡场的长为米，依题意得，
养鸡场的宽：（米），
那么养鸡场的面积，
整理得，
，
此一元二次方程无实数根，即养鸡场的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，涉及增长率问题、判别式以及求根公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
重点03 一元二次方程的应用
第一种类型：增长(下降)率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
第二种类型：利润问题(销售问题)
在利润问题中，常有销售量随销售价格的变化而变化的问题，在这些问题中总存在着数量关系：“日利润=单件利润×日销售数量”，这类问题通常可以列一元二次方程求解.
要解决这类型的问题，我们必须熟记利润问题常用的公式，即：利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)；
第三种类型：几何面积问题
面积问题常与长方形有关，经典的是类似于“草坪中修建小路”的问题。
第四种类型：传播问题
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。需要注意的是疾病传播问题和某种植物分支的区别和联系，疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。
第五种类型：互送礼物和单循环比赛问题（循环问题）
n(n≥2) 个人之间互送礼物，礼物总数=n(n-1)；n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行场比赛。
第六种类型：几何动态问题
动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。
一、增长(下降)率问题
(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n=b (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n=b (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)
重点题型训练1
1．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为 ．
4．某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到504吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为 ．
5．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
6．随着乡村振兴战略的不断推进，各种惠农、助农活动的持续开展，很多农产品的销路逐渐打开.某种农产品原价为100元/盒，店家为了扩大销量，经过两次降价后的价格为81元/盒，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种农产品每次降价的百分率；
(2)已知该种农产品的成本价为50元/盒，且每天需支付其他各种费用100 元．若以81元/盒售出，平均每天能售出20盒，若每盒降价1元，则每天可多售出5盒．某天店家在每盒降价不超过10元的情况下，盈利了770元，求当天每盒农产品降价多少元
二、利润问题（销售问题）：
利润=数量×单件利润，也是：利润=（售价-进价）×销售数量
销售数量麻烦一点，题目会告诉一个原本的销售量,
如果题目后来说销售量会减少,就是用原本的销售量-现在的销售量；
题目说销售量会增加，就是原本的销售量+现在的销售量
如果告诉盈利a元，单件利润=a-每件降价的钱
重点题型训练2
1．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 （ ）
A．10元 B．8元 C．3元 D．5元
3．某批发店将进价为 元的小商品按 元卖出时，可卖出 件，已知这种商品每件涨价 元，其销售量就减少 件．若要赚得 元利润，设每件涨价 元，则 满足方程 ．
4．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价 元．
5．如今直播购物逐渐走进了人们的生活．十一期间某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，若要日销售量每增加10件，每件小商品售价就要降低5元，要求日利润保持不变，商家想尽量让利顾客，每天最少售出多少件？
6．某装专卖店在销售中发现，一款盘装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采以适当的降价措施，以扩大销售抵，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
(2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
(3)平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由．
三、几何面积问题
第一类常见的题目是用一定长度的物体围成三面的矩形，那么周长就是三边长的和，而不是四边长的和；
第二类常见的题目是用已知的周长围成一个固定面积的矩形；
第二类常见的题目是草坪中修建小路。
重点题型训练3
1．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．空地上有一段长为20米的旧墙，一边利用旧墙，其他三边利用木栏围成一个矩形菜园如图所示，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为198．设垂直于旧墙的一边长为米，下列正确的是（ ）
A．由题意，得 B．的取值范围为
C．只有一种围法 D．只有两种围法
3．如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．若养鸡场面积为，设，则列方程得 ．
5．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为x米，则可列方程 ．
6．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
7．如图，要建一个面积为的菜园，菜园一边靠长为20m的墙，，现有能围成36m的篱笆，求围成符合要求的菜园的长和宽．
8．在足够大的空地上有一段长为32米的旧墙，王爷爷要利用旧墙和60米的木栏围成中间有一道木栏的矩形菜园，其中，如图所示，设米．
(1)的长为__________米（用含的式子表示）；
(2)若所围成的矩形菜园的面积为300平方米，求的值；
(3)嘉嘉说：“当矩形菜园的面积为297平方米时，有两种围法．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并通过计算说明．
四、传播问题
一元二次方程传染病公式可以表示为:Ax2+ Bx + C = 0,其中A、B、C为常数,x为传染病的传播时间。 各参数解释
A：传染率,表示传染病的传播速度,也就是每个患者在单位时间内能传染给多少人。
B：恢复率,表示患病者的康复速度,也就是每个患者在单位时间内能康复的比例。
C：易感人群数量,表示人群中尚未患病的人数,也就是患病的起始人数。
重点题型训练4
1．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给 个同学发了短信．
4．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？
5．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
五、单、双循环问题
双循环：总数=n(n-1)；
单循环：总数=场比赛。
重点题型训练5
1．要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
2．一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
3．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为 个.
4．某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有 人．
5．首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？
6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？
六、几何动态问题
几何动点问题中利用勾股定理，列出相关的一元二次方程进行求解。
重点题型训练6
1．如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，( )秒后四边形是面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
2．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ．
3．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
(1)两动点经过几秒时，使得；
(2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的；
(3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形．
一、选择题
1．某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．2022年4月，张文宏在“科学为盾，战胜疫情”分论坛上发言表示，只有做到更高的疫苗接种率和医疗资源供应保障，才能最终安心走出这一波的疫情．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了（ ）
A．11人 B．12人 C．13人 D．14人
3．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使面积为的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
6．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则由题意列出方程 ．
8．近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，到2022年农户甲的纯收入增长到39200元，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为 ．
9．原价为20元/盒的商品，若售价为36元/盒，则每天可卖出40盒，经市场调查发现，若每盒下调1元，平均每天就可以多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调__________元．
10．如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是 ．
11．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
三、解答题
12．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）
（1）应该邀请多少支球队参加比赛？
（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？
13．等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
14．“燕赵味河北农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求每次降价的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
15．小卜家庵子村养鸡专业户李明年的纯收入是6万元，预计年的纯收入是万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的养鸡场？
②养鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
