2023-2024学年人教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．已知关于x的方程（m+1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1
2．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣4）与点B关于原点对称，则点B的位置（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．在下列方程中，满足两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A．x2﹣2x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
5．一元二次方程x2+2020＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不等的实根
C．只有一个实根 D．无实数根
6．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（ ）
A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22
B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22
C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22
D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22
7．二次函数y＝x2+3x﹣2的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．a﹣b+c＜0 B．2a+b＝0
C．4a﹣2b+c＝0 D．am2+b（m+1）≥a
9．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
11．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（ ）
A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m
12．如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知方程（a﹣3）x|a|﹣1+3x+3a＝0是关于x的一元二次方程，则a＝ ．
14．设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝ ．
15．要将函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度得到的二次函数为y＝2x2﹣4x+3，那么a+b+c＝ ．
16．若函数y＝x2﹣4x+b的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是 ．
17．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为 ，其中自变量的取值范围是 ，水管AB的长为 m．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝63°，∠E＝71°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．解下列方程：
（1）（2x+1）2＝9；
（2）x2﹣2x﹣1＝0；
（3）（x﹣3）2＝4（3﹣x）．
20．已知关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0．
（1）当n＝m﹣2时，证明方程有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根．
21．二次函数f（x）＝ax2+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 …
y＝f（x） … ﹣5 0 3 … 3 0 ﹣5 …
（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y＝x上，并写出平移后二次函数的解析式．
22．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．
23．在乐善中学组织的体育测试中，小壮掷出的实心球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣（x﹣3）2+，求小壮此次实心球推出的水平距离．
24．如图，在一个边长为32cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是864cm2，求剪去小正方形的边长．
25．利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）
（1）先作该四边形关于直线l成轴对称图形．
（2）再作出你所作图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形．
（3）完成上述设计后，求整个图案的面积．
26．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
2．解：点A的坐标是（3，﹣4），若点A与点B关于原点对称，则点B的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．
故选：B．
3．解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n+m+1＝0，
即m+n＝﹣1．
故选：C．
4．解：A、Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，所以A选项不符合题意；
B、x1+x2＝﹣2，所以B选项不符合题意；
C、Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×4＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D、x1+x2＝2，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．解：∵a＝1，b＝0，c＝2020，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2020＝﹣8080＜0，
∴一元二次方程x2+2020＝0的根的情况是无实数根．
故选：D．
6．解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：
（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．
故选：B．
7．解：∵y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x＝﹣
故选：B．
8．解：由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b+c＜0，故结论A正确；
抛物线可得对称轴为x＝﹣＝﹣1，故2a﹣b＝0，故结论B错误．
由抛物线经过原点，对称轴为直线x＝﹣1可知，当x＝﹣2时，y＝0，故4a﹣2b+c＝0，故结论C正确；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值，则am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+b（m+1）≥a，故结论D正确；
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
10．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
11．解：将x＝40代入s＝0.01x+0.01x2得，
s＝0.01×40+0.01×402
＝16.4，
即刹车距离不能超过16.4m．
故选：B．
12．解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，
∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠CBD＝32°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，
∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+3x+3a＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a|﹣1＝2，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2＝m+2，
∴m2+n+mn＝m+2+n+mn＝m+n+mn+2，
∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2，
∴m2+n+mn＝1﹣2+2
＝1．
故答案为：1．
15．解：y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线的解析式为y＝2（x﹣1+3）2+1﹣2＝2x2+8x+7，
所以a＝2，b＝8，c＝7，
所以，a+b+c＝17，
故答案为17．
16．解：令y＝0，则x2﹣4x+b＝0，当函数y＝x2﹣4x+b的图象与坐标轴只有两个交点时有两种情况：
①Δ＝0，且函数图象不过原点
∴△＝（﹣4）2﹣4b＝0
解得：b＝4；
②Δ＞0，且函数y＝x2﹣4x+b的图象过原点，
∴b＝0
故答案为：0或4．
17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
抛物线的解析式为，
当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，
故平移后的抛物线表达式为：（﹣3≤x≤0）；
令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3，﹣3≤x≤0，2.25．
18．解：由旋转性质得：∠C＝∠E＝71°，∠BAD＝∠CAE＝63°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣71°＝19°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝63°+19°＝82°，
故答案为：82°．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．解：（1）（2x+1）2＝9，
开方得：2x+1＝±3，
解得：x1＝1，x2＝﹣2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）（x﹣3）2＝4（3﹣x），
（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4）＝0，
x﹣3＝0，x﹣3+4＝0
x1＝3，x2＝﹣1．
20．（1）证明：当n＝m﹣2时，Δ＝n2﹣4×m×（﹣2）
＝（m﹣2）2﹣4×m×（﹣2）
＝m2﹣4m+4+8m
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴当n＝m﹣2时，方程有两个实数根．
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝n2﹣4×m×（﹣2）＝n2+8m＞0，
∴符合题意．
当m＝n＝1时，原方程为x2+x﹣2＝0，
即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
21．解：（1）把（﹣1，0），（0，3），（3，0）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得．
解得．
则该二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点的坐标为（1，4）；
（2）∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，4）；
∴二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为（4，4）或向下平移3个单位后抛物线的顶点为（1，1）落在直线y＝x上，则此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4或y＝﹣（x﹣1）2+1．
22．解：（1）由抛物线的顶点A（﹣4，﹣1）
设二次函数为y＝a（x+4）2﹣1，
将B（﹣2，3）代入得，3＝a（﹣2+4）2﹣1，
解得a＝1，
∴二次函数为y＝（x+4）2﹣1（或y＝x2+8x+15），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+7；
（2）由直线y＝2x+7可知C（0，7），
设P（0，n），
∴PC＝|n﹣7|，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC＝（4﹣2） |n﹣7|＝9，
∴|n﹣7|＝9，
∴n＝﹣2或16，
∴P（0，﹣2）或P（0，16）．
23．解：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去），
故小壮此次实心球推出的水平距离为：8米．
24．解：设剪去小正方形的边长为xcm，则折成的长方体盒子的底面的长为（32﹣2x）cm，宽为＝（16﹣x）（cm），
由题意得：2x（16﹣x）+2（16﹣x）（32﹣2x）+2x（32﹣2x）＝864，
整理得：x2+16x﹣80＝0，
解得：x＝4或x＝﹣20（不符合题意，舍去），
答：剪去小正方形的边长为4cm．
25．解：（1）图形如图所示；
（2）图形如图所示；
（3）整个图案的面积＝4××2×5＝20．
26．解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a 8×2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则N（t， t），
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM
＝ 4 t﹣ t t
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣3）2+3，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）．
