2023-2024学年四川省成都市部分学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分，共32分.请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上）
1．（4分）的倒数是
A．2023 B． C． D．
2．（4分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用，而且有利于对生态垃圾和非生态垃圾的分离．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（4分）新一代人工智能是推动科技跨越发展、产业优化升级、生产力整体跃升的驱动力量．当前，我国人工智能领域呈现出技术创新和产业化应用双轮驱动、双向促进的发展特征．根据中国信通院发布的最新数据测算，2022年我国人工智能核心产业规模达到5080亿元，同比增长，5080亿元用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为
A．1 B． C． D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是
A． B． C． D．
6．（4分）已知直线，将含有的直角三角尺按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若．则的度数为
A． B． C． D．
7．（4分）下列说法中，正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（4分）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好，某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
9．（4分）若，则 ．
10．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．（4分）如图，已知每一个小正方形的边长为，则的面积为 ．
12．（4分）如图，在中，，点为边上一点，连接．现将沿翻折使得点落在边的中点处．若，则 ．
13．（4分）如图，矩形中，连接，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别交边，于点，；③以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，；④分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线交边于点，则 ．
三、解答题。
14．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）先化简，再求值：，且为满足的整数．
16．（10分）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图），若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值及一次函数解析式；
（2）点在轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标．
18．（12分）如图，在中，，点、分别是、边的中点．过点作交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
四、填空题（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
19．（4分）方程的解是 ．
20．（4分）若，则代数式 ．
21．（4分）若关于的一元二次方程的两根之和为8，则 ．
22．（4分）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ．
23．（4分）已知矩形中，，点、分别是边、的中点，点为边上动点，过点作与平行的直线交于点，连接，点是中点，连接，则的最小值 ．
五、解答题（共30分）
24．（10分）新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台．
（1）若每台彩电降价元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有的式子表示）
（2）商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．
ⅰ若的面积为8，求点的坐标；
ⅱ如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．
26．（10分）已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作菱形、、、按逆时针排列），使，连接．
（1）如图1，当点在边上时，求证：
①；
②；
（2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、、之间存在的数量关系．
2023-2024学年四川省成都市部分学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分.请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上）
1．【解答】解：，
的倒数是，
故选：．
2．【解答】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故选项符不合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意．
故选：．
3．【解答】解：5080亿．
故选：．
4．【解答】解：小梅随机去打新冠疫苗的时间是从下周一至周五的某一天，
她选择在周二去打疫苗的概率为．
故选：．
5．【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故选：．
6．【解答】解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
7．【解答】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项不合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不合题意；
、对角线互相平分的四边形是菱形，故选项符合题意；
、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
8．【解答】解：设平均每天票房的增长率为，则根据题意可列方程为，
故选：．
二、填空题（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
9．【解答】解：可设，，是非零整数，
则．
故答案为：．
10．【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
11．【解答】解：，
故答案为：5．
12．【解答】解：将沿翻折使得点落在边的中点处，
，，
，点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
13．【解答】解：由作法得平分，
，
由作法得垂直平分，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
即，
，
解得，
．
故答案为：．
三、解答题。
14．【解答】解：（1）原式
；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
15．【解答】解：原式
由于且且
所以
原式
16．【解答】解：设垂直于墙的一边长为米，
则平行于墙的一边长为米，
依题意，得：．
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，
答：生物园的长为6米，宽为5米．
17．【解答】解：（1）将点代入，
，
，
，
将，代入一次函数的解析式为，
则，解得，
；
（2）设，
，，
，，，
①当时，，
，解得，
点的坐标为；
②当时，，
，解得，
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或．
18．【解答】（1）证明：点、分别是、边的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
，
，
．
四、填空题（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
19．【解答】解：，
用十字相乘法分解得：，
或，
解得，；
方程的解是：，．
20．【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
故答案为：2
21．【解答】解：根据题意得，解得，
当时，方程为，
则△，方程没有实数解，
时，方程为，
则△，方程有两个不相等的实数解，
所以．
故答案为：．
22．【解答】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为1，得．
关于的分式方程的解为非负数，
且．
且．
故答案为：且．
23．【解答】解：方法一：如图，过点作于点，取的中点，连接，，
设，则，
四边形是矩形，且，
，，，，
，
，
，
点、分别是边、的中点，，
，
点是中点，点是的中点，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
当时，取得最小值，
，
的最小值为，
故答案为：．
方法二：如图，以点为原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，
四边形是矩形，且，
，，，，
点、分别是边、的中点，
，，
设，
点是中点，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
轴交于，
，
，
，
有最小值，
，
的最小值为，
故答案为：．
五、解答题（共30分）
24．【解答】解：（1）当每台彩电降价元时，每天彩电的销量为台；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：每台彩电应降价150元．
25．【解答】（1）解：分别与轴，轴交于点，，
，
解得：，
，
时，，
；
（2）Ⅰ解：在线段上，且，，
设点，
分两种情况：
①当在轴正半轴上时，如图：
，，，轴，
，
，
，
，
即：，
，
；
②当在轴负半轴上时，如图：
点，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述：或．
ⅱ过作垂直于轴，垂足为，过作的垂线交轴于点，
，，
，
在与中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
又，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
26．【解答】（1）证明：菱形，
，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中
，
，
，
，
即①，②．
（2）解：不成立，、、之间存在的数量关系是，
理由是：由（1）知：，，，
，
即，
在和中
，
，
，
，
即．
（3）．理由是：
，
，
在和中
，
，
，
，
即．
