2023-2024学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果关于的方程中，那么方程必有一个根是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.定义运算：，例如：则方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
6.把抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
7.若，是方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于当时，点恰好落在上，此时等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动设运动时间为单位：，四边形的面积为单位：，则与之间的函数图象大致是下列图中的( )
A. B.
C. D.
11.已知二次函数其中是自变量的图象上有两点，，满足，当时，的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
若点均在该二次函数图象上，则．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.点与点关于原点对称，则的值为______ ．
14.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为______ ．
15.在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______．
16.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽为，由于持续降雨，水位上升，若水面宽为，则此时水面距桥面距离的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出把向下平移个单位后的图形；
画出将绕原点按顺时针方向旋转后的图形；
若在该坐标系中，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______ ．
19.本小题分
小卜家庵子村养鸡专业户李明年的纯收入是万元，预计年的纯收入是万元．
求李明这两年纯收入的年平均增长率；
随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形养鸡场，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料．
当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的养鸡场？
养鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
20.本小题分
年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量个与销售单价元满足如图所示的一次函数关系．
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为元？
当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
21.本小题分
阅读下面材料，并解决问题：
如图等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______；
基本运用
请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题：
如图，中，，，、为上的点且，求证：；
能力提升
如图，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
22.本小题分
如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上点在点的左侧，点，在抛物线上设，当时，．
求抛物线的函数表达式；
当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】解：，且当时，，
是原方程的一个根．
故选：．
根据题意知，当时，，由此可以判定是原方程的一个根．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由直线可知，由抛物线开口向上，，不符合题意．
B.由抛物线开口向上，抛物线与轴交点在轴下方，在，不符合题意．
C.由直线可知，由抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴下方，，符合题意．
D.由直线可知，抛物线开口向下，不符合题意．
故选：．
根据各选项图象判断的取值范围求解．
本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
6.【答案】
【解析】解：把抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为，
即，
故选：．
根据二次函数图象平移变换规律即左加右减，上加下减求解即可．
本题考查了二次函数图象平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
由，是方程的两个实数根，得，，将所求式子变形后整体代入即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的概念和程根与系数的关系．
8.【答案】
【解析】解：将逆时针旋转，得到，
，，，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过作轴于，连接，
将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形，，菱形的边长为，
，，，
，
，
，，
，
的坐标是，
故选：．
如图，过作轴于，连接，根据旋转的性质得到，，，根据平行线的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形变化旋转，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：时，
正方形的边长为，
，
，
，
时，
，
，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有选项图象符合．
故选：．
根据题意结合图形，分情况讨论：时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴是直线，
由，，满足知，
当时，的最小值为，
二次函数图象过，
，
，
故选：．
二次函数的对称轴是直线，根据题意可得二次函数图象过，即可得到答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象过．
12.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确，
，
，故错误，
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，故正确，
方程的解可看做与的交点，
，
当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故错误，
点关于直线对称，
，故正确．
故选：．
根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，将方程的解看做与的交点可判断，由点关于直线对称可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意，得，，
解得，，，
．
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14.【答案】
【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由根与系数的关系可得：，，对所给的等式进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系：，．
15.【答案】
【解析】解：作轴于点，轴于点，
、，
则，
，
将点顺时针旋转得到点后，如图所示，
，，
、，即，
故答案为：．
作轴于点，由、可得，从而知将点顺时针旋转得到点后如图所示，，，继而可得答案．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，根据点的坐标求出，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点在上是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为．
则，
，
解得，
，
故答案为：．
根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为，设、的坐标求解析式，便可求得．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
17.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，．
【解析】根据配方法解方程即可求解；
先移项，再因式分解法解方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】或或
【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，点的坐标为：或或，
故答案为：或或．
根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
根据平行四边形的性质结合网格即可求解．
本题考查了作图旋转变换、平移变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为，
根据题意可得：，
解得，，不合题意，舍去，
答：李明这两年纯收入的年平均增长率为；
设养鸡场与墙平行的一边的长度为米，
根据题意可得：，
解得，，，
当时，；
当时，，
答：当养鸡场的长米，宽米或长米，宽米时，能围成一个面积为的养鸡场；
，
，
此方程无实数解，
养鸡场的面积不能达到．
【解析】设李明这两年纯收入的年平均增长率为，根据题意列出方程，即可求解；
设养鸡场与墙平行的一边的长度为米，根据长方形的面积公式列出方程即可求解；列方程，判断此方程无解可得结论．
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
20.【答案】解：设一次函数关系式为，
由图象可得，当时，；时，，
，
解得：，
销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍，
与之间的关系式为：；
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
，
，
答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为元时，该商家每天的销售利润为元；
设该商家每天获得的利润为元，
则，
，，
当时，最大，最大值为，
答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】设一次函数关系式为，把时，；时，，代入解析式可得、的值解方程组即可得到结论；
根据每个毛绒玩具“拉伊卜”利润销售利润列出方程，解方程取在的值即可；
设该公司日获利为元，根据每天的总利润每个毛绒玩具“拉伊卜”利润销售利润列出函数解析式，根据二次函数的性质和自变量的取值范围求函数最值．
本题考查了二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
21.【答案】解：≌，
，，，
由题意知旋转角 ，
为等边三角形，
，，
易证为直角三角形，且，
；
故答案为：；
如图，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即．
如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
在中，，，，
，
，
绕点顺时针方向旋转，
如图所示；
，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．
将绕点顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
22.【答案】解：设抛物线解析式为，
当时，，
点的坐标为，
将点坐标代入解析式得，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
由抛物线的对称性得，
，
当时，，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
如图，连接，相交于点，连接，取的中点，连接，
直线平分矩形的面积，
直线过点，
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
，
抛物线平移的距离是个单位长度．
所以抛物线向右平移的距离是个单位．
【解析】由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得；
由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
连接，相交于点，连接，取的中点，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到点是的中点，求得，于是得到结论．
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
第1页，共1页
