辽宁省沈阳市法库县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
4．以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
6．下列语句正确的有（ ）句
正方形都相似；有一个角对应相等的菱形相似；
有一个角相等的两个等腰三角形相似；如果一个三角形有两个角分别为和，另一个三角形有两个角分别为和，那么这两个三角形可能不相似．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
8．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮忙检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量的窗框两组对边分别相等 B．丙量的窗框的一组邻边相等
C．乙量的窗框的对角线相等 D．丁量的窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
9．如图，是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点.若，则（ ）
A． B． C．6cm D．10cm
10．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接．若，，则菱形的周长为（ ）
A．4 B． C． D．28
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．已知，那么 ．
12．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204
发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
13．小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为 ．
14．如图，在菱形中，，则 ．
15．如图，在中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则EF的最小值为 ．
16．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．本小题分解方程：
18．本小题分关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
19．本小题分不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球．
(1)第二次摸出白球的概率是多少？（直接写出结论）
(2)请用表格或树状图求出两次都摸出白球的概率．
20．本小题分小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）
21．本小题分如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
22．本小题分如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)连接OE，若，，求的长．
23．本小题分由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元，
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
24．本小题分在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是．
(1)如图1，当点恰好在上时，求的度数；
(2)如图2，点是边中点．
①若时，求证：四边形是平行四边形；
②若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
25．本小题分如图1所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴正半轴上，直线交轴于点M，连接，边交轴于点．
(1)求的长；
(2)如图2所示，动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出的值；如不存在，说明理由．
参考答案：
1．C
【详解】试题分析：从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形，故选C．
考点：简单组合体的三视图．
2．B
【分析】方程变形后，利用完全平方公式化简即可得到答案．
【详解】解：，
,
,
,
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．B
【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.
【详解】白色球的个数是15个，
故选：B.
【点睛】此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键.
4．D
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选D．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
5．C
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
6．B
【分析】根据相似三角形的判定定理，即可判定各结论的正确与否，注意举反例的解题方法．
【详解】（1）根据所有正方形形状都相同，则正方形都相似，此选项正确；
（2）有一个角对应相等的菱形相似，则所有角都相等，则菱形形状相同，此选项正确；
（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似，若果是顶角与底角对应相等，则两三角形不相似，故此选项错误；
（4）如果一个三角形有两个角分别为60°和72°，另一个三角形有两个角分别为60°和48°，那么这两个三角形一定相似，故此选项错误．
故选B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似的判定定理的应用是解此题的关键．
7．B
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设这个多边形的最短边是x，
∵两个多边形相似，
∴，
解得：x=8．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
8．D
【分析】根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】A．两组对边相等得出窗框为平行四边形，不能得出矩形，所以甲错误；
B．邻边相等的四边形不一定是矩形，所以丙错误；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，所以乙错误；
D．根据两组对边分别相等得到窗框为平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形，得到窗框为矩形，故丁最有说服力．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及矩形的判定．掌握平行四边形的判定以及矩形的判定的判定定理是解答本题的关键．
9．A
【详解】由折叠的性质知，则四边形为正方形，
∴.
10．C
【分析】根据中位线的性质得出，根据菱形的性质对角线互相平分且垂直，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】，分别是，边上的中点，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长为．
故选：C．
【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
11．/0.25
【分析】将原式 化简，再代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式，
∵，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查代数式的化简，掌握代数式的化简，整式的加减法法则是解题的关键．
12．0.8
【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率．
【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，
，
则这种玉米种子发芽的概率是0.8，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率．
13．
【分析】设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据“共送礼物20件”，列出方程即可．
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，是解题的关键．
14．
【分析】根据菱形的性质得到，，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可求出的长．
【详解】解：设相交于O点．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用菱形的性质求出是解题的关键．
15．4.8
【分析】连接，根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，；根据，，判定四边形是矩形，得；当时，有最小值，故最小；根据三角形的面积公式，求出，即的值．
【详解】解：连接
∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵当时，有最小值
∴最小
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，垂直线距离最短，矩形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握垂直线距离最短，矩形的判定，三角形的面积公式．
16．4或6
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故，
则，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴，
即，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
17．，
【分析】可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解．
【详解】解：原方程可化为，
，
，
．
∴x-3=0或x-9=0，
∴ ，．
【点睛】本题主要考查了求解一元二次方程，熟练运用因式分解法是解题的关键．
18．（1）且；（2），
【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，最大整数为.
此时，方程化为.
解得，.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）先列出表格得出所有等可能的结果数，找出两次都摸出白球的结果数，再根据概率公式求解．
【详解】（1）因为从中摸出一个球，放回搅匀，再从1个红球和2个白球中摸出一个球，
所以第二次摸出白球的概率是；
（2）用列表法表示所有可能出现的情况如下：
第1球 第2球 红 白 白
红 （红，红） （白，红） （白，红）
白 （红，白） （白，白） （白，白）
白 （红，白） （白，白） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中两次都是白球的有4种，
两次都摸出白球的概率．
【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意列出表格、弄清是放回实验还是不放回实验是解题的关键．
20．12.8米
【分析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
【详解】∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴；
∴AB=12.8
∴大楼AB的高为12.8米．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】根据矩形的性质可得AB∥CD，AC=BD，可证得四边形ABEC是平行四边形，即可求证；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，可得到DF=CF=2，再由勾股定理可得，从而得到，进而得到OF=3，再由四边形ABEC是平行四边形，可得CE=AB=4，从而得到EF=6，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AC=BD，
∴AB∥CE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，
在矩形ABCD中，OC=OD，AC=2OC，∠ABC=90°，AB=CD=4，
∴DF=CF=2，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=4，
∴EF=CF+CE=6，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
23．(1)这两次价格上调的平均增长率为20％．
(2)应该降价3元．
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设降价y元，然后根据题意可列出方程进行求解．
【详解】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：这两次价格上调的平均增长率为20％．
（2）解：设降价y元，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵让顾客获得更大的优惠，
∴；
答：应该降价3元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
24．(1)
(2)①证明见解析；②或
【分析】（1）由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求的度数；
（2）①由旋转及点 斜边中点得，延长交于点，证明，从而得到四边形是平行四边形；②分两种情况：当在的延长线上时；当在的延长线上时，由直角三角形的性质及勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）解：，，
，
绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，
，，
，
，
；
（2）①证明：，点是边中点，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
延长交于点，
，
则，
，
，
四边形是平行四边形；
②当在的延长线上时，如图，过点作于，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在的延长线上时，过点作，交的延长线于，
，
同理可得，
，
，
综上所述，的面积为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，角所对直角边长度为斜边长度的一半．
25．(1)
(2)与之间的函数关系式为：
(3)存在，1或
【分析】（1）由点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点的坐标，由的坐标可得直线的解析式，令，求得，得的长，可求出；
（2）设点M到的距离为，由，可得，再分类讨论：在直线上运动时，当运动到直线上时，利用三角形面积公式求出与之间的函数关系式；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：点的坐标为，
由勾股定理得，
四边形是菱形，
，
即点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为：，
令得：，即，
；
（2）解：设点M到的距离为，
由，
即，
，
①当在直线上运动时的面积与的运动时间为秒关系为：
，
即；
②当运动到直线上时的面积为与的运动时间为秒关系为：
，
即，
综上所述：与之间的函数关系式为：；
（3）解：存在，
理由如下：
①当时，
点的坐标为，，
，
即，
，
②当时，
即，
，
综上所述，当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质、动点问题、等腰三角形的性质、三角形的面积公式、待定系数法求解析式，正确利用分类讨论的思想，是解题的关键．
