参考答案：
1．C
【分析】根据复数除法运算求 z，然后由共轭复数的定义和减法运算可得.
【详解】因为 3 4i z 1 2i，
1 2i 3 4i
所以 z
1 2i 5 10i 1 2
i
3 4i 3 4i 3 4i 25 5 5 ，
z 1 2可得 i，
5 5
则 z z
1 2
i
1 2 4
i i .
5 5 5 5 5
故选：C
2．A
【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解.
【详解】因为 a c，所以 a c 0 6 3z 0，解得 z 2，所以a 0,1,2 ,
2 y 2
又因为b //c ，所以 ，解得 y 4，所以b 2, 4, 2 ，
3 6 3
所以 a b 2,5,0 ，则 a b 4 25 0 29 ，
故选：A.
3．A
【分析】根据随机数表法的知识求得正确答案.
【详解】选取的前5个个体的编号为：08,02,14,07,01 .
所以第5个个体的编号为01 .
故选：A
4．B
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
3
【详解】抽取的一年级学生的人数为 120 30，
3 4 5
故选：B
5．B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；
【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”、 “去甲、乙草
原”共四个，
答案第 1页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
事件 F “至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三个基本事件；
事件G “至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”三个基本事件；
事件H “不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一个草原也不去”两个基本事件；
对于 A，事件 E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故 A错误；
对于 B，事件 F 与 I 不可能同时发生，且发生的概率之和为 1，是互斥事件，且为对立事件，
故 B正确；
对于 C，事件F 与G有可能同时发生，不是互斥事件，故 C错误；
对于 D，事件G与 I 有可能同时发生，不是互斥事件，故 D错误.
故选：B
6．D
【分析】用1减去没有白球的概率，求得所求概率.
C2 1 5
【详解】依题意，摸出的 2只球中至少有 1只是白球的概率是1 2 1 .
C24 6 6
故选：D
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
7．A
【详解】记甲为马龙，乙为樊振东
在比分为10 :10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：
2 1 2 1 1
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为： P1 .3 2 3 2 9
1 1 2 1 1
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为， P2 ，3 2 3 2 18
乙以13:11赢下此局分两种情况：
1 1 1 1 1
③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为： P3 3 2 3 2 36
P 2 1 1 1 1④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为， 4 3 2 3 2 18
1 1 1 1 1
所以，所求事件概率为 P1 P2+P3 P4 .9 18 36 18 4
故选：A
8．C
【分析】根据极差求得 m的值，计算81% 11 8.91，根据百分位数的含义即可确定答案.
【详解】由题意得，数据的极差为 40，因为数据中最小值为 41，
答案第 2页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
故 m应为最大值，为 81，
则81% 11 8.91 ，
将数据 53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，
从小大大排列为：41，45， 53，56，65，69，70，72，79， 80， 81，
故这组数据的第 m百分位数为 79，
故选：C
9．ACD
【分析】根据已知数据，由众数、百分数的定义判断 A、B；应用均值、方差公式判断 C、
D.
【详解】这 10天 PM2.5日均值从小到大为 30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，
所以众数为 32，故 A正确；
38 42
由10 0.8 8，则第 80百分位数为 40，所以 B错误；
2
30 32 32 32 34 36 36 38 42 88
因为平均数为 40，所以 C正确；
10
36 32 38 34
因为前 4天的均值为 35
1 9 9 1
，所以前 4天的方差为 5，
4 4
42 36 30 32 49 1 25 9
因为后 4天的均值为 35，所以后 4天的方差为 21，故 D
4 4
正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】直接利用平均数，中位数，方差，极差的定义求解判断即可.
【详解】对于 A，新数据的平均数为
1 y y 11 2 y10 3x 2 3x 2 3x 2 10 10 1 2 10
3 1 x1 x2 x10 2 3a 2，故 A错误；10
对于 B，因为原数据的中位数为b，所以新数据的中位数是3b 2，故 B错误；
1 2 2
对于 C，因为原数据的方差为 c x1 a x2 a x10 a
2
10
，
所以新数据的方差是
1
y1 3a 2
2
y2 3a 2
2
y 2
10 10
3a 2
答案第 3页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
9 x a 2 2 2 1 x2 a x10 a 9c，故 C正确；10
对于 D，设数据 x1, x2 , , x10 中 xn最大， xm最小，其中1 n 10,1 m 10 ,n N*,m N* , 则
xn xm d，
所以新数据的极差是 yn ym 3xn 2 3xm 2 3d，故 D正确.
故选：CD.
11．BC
【分析】根据面面平行的判定以及性质可知 A错误；由线面平行的判定定理可得 B正确；
利用面面垂直的性质可得 C正确；由面面垂直性质可得 D错误.
【详解】对于 A，若 a ，b ，a∥ ，b∥ ，此时 , 可能相交，
如下图所示：
当 l， a,b都与 l平行时， , 相交，故 A错误；
对于 B，由 a P ，利用线面平行的性质可知存在直线 c满足 a P c，且 c ，
又a∥b，所以b P c，又b ，所以可得b P ，即 B正确；
对于 C，若 ， ， a，不妨设 m, n，
如下图所示：
假设 a 不成立，
过直线 a上一点A作 AB n于点 B，作 AC m于点C；
由 ， ， m, n可知， AB ， AC ，
这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，
所以 AB, AC应重合为交线 a，所以 a ，可得 C正确；
答案第 4页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
对于 D，如图所示：
r r
若 a， a b，b ，此时 , 可能斜交，不一定垂直，所以 D错误；
故选：BC
12．BD
【分析】利用 CE⊥EF得到正三棱锥 P ABC的三条侧棱 PA，PB，PC互相垂直，
PA PB PC 2，根据棱锥的表面积公式计算判断 A；正三棱锥 P ABC的外接球O1的
就是棱长为 2的正方体的外接球，求出其半径 R，根据球的表面积及体积公式可判断 BC；
利用体积法求出球O2的半径可判断 D.
【详解】取 AC的中点 M，连接 PM，BM，
∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，
又 BM∩PM＝M，BM，PM 面 PBM，∴AC⊥面 PBM，
∵PB 面 PBM，∴AC⊥PB，
∵E，F分别是 PA，AB的中点，∴EF∥PB，
∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，
∵AC∩CE＝C，AC，CE 面 PAC，∴PB⊥面 PAC，
∵PA，PC 面 PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，
从而得到正三棱锥 P ABC的三条侧棱 PA，PB，PC互相垂直，
答案第 5页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
则正三棱锥P ABC中， AB BC AC 2, PA PB PC 2，
3 1
三棱锥P ABC的表面积为 S 22 3 2 2 3 3，故 A错误；
4 2
正三棱锥 P ABC的外接球O1的就是棱长为 2的正方体的外接球，其半径
R 3 2 6 ,
2 2
球O1的表面积为 4πR2 6π，故 B正确；
4 3
球O1的体积V πR 6π，故 C错误；3
O 1 1设球 2的半径为 r，则 (S3 △ABC
3S△PAB ) r S3 △PBC
PA，
2 3 2 6
即 (3 3)r 2 ，则 r ，故 D正确．
3 3 6
故选：BD．
【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求
法有：
（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则 4R2 a2 b2 c2（ a,b,c为三条棱的长）；
（2）若 PA 面 ABC， PA a，则 4R2 4r 2 a2（ r为 ABC外接圆半径）；
（3）可以转化为长方体的外接球；
（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．
13． 2
【分析】设 z a bi，a,b R，根据复数代数形式的加法运算法则及复数相等的充要条件
得到方程，求出 a、b的值，从而求出其模.
【详解】设 z a bi，a,b R，则 z a bi，
所以 2z z 2 a bi a bi 3a bi，又 2z z 3 i，
3a 3 a 1
所以 b 1 ，解得 ，所以b 1 z 1 i，则 z 1
2 12 2 .
故答案为： 2
14． 2
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求 A，根据正弦定理即可求b的值．
【详解】在 ABC中，因为 a 3，B 45 ，C 75°，则 A 180 45 75 60 ，
答案第 6页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
3 2a b asinB
由正弦定理 ，可得：b 2 2．
sinA sinB sinA 3
2
故答案为： 2．
15． 10
【分析】在△ABD和 ACD中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得 AB2 AD2 DB2 2AD DB cos ADB，
AC 2 AD2 DC 2 2AD DC cos ADC，又 cos ADB cos ADC，
两式相加得 AB2 AC2 2AD2 DB2 DC2，即 42 62 2AD2 42 42，化简得 2AD2 20，
所以 AD 10 .
故答案为： 10
16．58
【分析】运用样本方差公式进行求解即可.
【详解】设所有学生身高的平均数为 x，方差为 s2，
因为高中高一（6）班有男生 36人，女生 18人，男生的平均身高为171cm；女生的平均身
高为162cm，
x 36 18所以 171 162 168，
36 18 36 18
s2 1因此 36 41 171 168 2 18 38 162 168 2 58，36 18
故答案为：58
π
17．(1) ;
3
(2)5 7
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得 cosC以及C的值；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 ABC的周长；
答案第 7页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
【详解】（1） ABC中， 2cosC(acosB bcosA) c ，
由正弦定理可得： 2cosC sinAcosB sinBcosA sinC，
即2cosCsinC sinC，
又0 C π， sinC 0，
1 π
∴ cosC ，求得C .
2 3
（2）由 ABC 3 3的面积为 ，
2
即 1 absinC 3 3 ，
2 2
∵C
π
，∴ ab=6，
3
由 c= 7 ，利用余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC，可得 a2 b2 ab=7，
即 a b 2 =7 3ab 25，∴ a b=5，
即 ABC的周长为 a b c 5+ 7 .
18．(1)证明见解析
(2) 15 ．
15
【分析】（1）根据正方体的几何性质以及平行四边形的几何性质，可得线线平行，结合线面
平行的判定定理，可得答案；
（2）根据异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.
【详解】（1）证明：取CC1的中点为 G，连接 BG，FG，
∵F为DD1的中点，∴ FG∥CD且 FG CD，而CD∥AB且CD AB，
∴ FG∥AB且 FG AB，∴四边形 ABGF为平行四边形，∴BG∥AF，
又∵ BE∥C1G且 BE C1G，∴四边形 BGC1E为平行四边形，∴ BG EC1，∴ AF∥EC1，
答案第 8页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
∵ AF 面 A1C1E，C1E 面 A1C1E，∴ AF / /平面 A1C1E；
（2）取 A1C1中点为 O，连接OG，OB，
∵O，G分别为 A1C1，CC1的中点，∴OG A1C，
由（1）知 BG∥AF， BGO为异面直线 AF与 A1C所成的角或其补角，
1
设正方体的边长为 2a，则OG AC 3a， ，OB 6a，
2 1 BG 5a
2 2 2
cos BGO OG
2 BG2 OB2 3a 5a 6a 15
，
2 OG BG 2 3a 5a 15
15
∴异面直线 AF与 A1C所成角的余弦值为 ．
15
19．(1)证明见解析
(2) 2 3
3
【分析】（1）推导出 AB⊥PA，AB⊥AC，从而 AB⊥平面 PAC，由此能证明 AB⊥PC.
（2）推导出 PA⊥面 ABCD，由VP﹣AEC VD﹣AEC VE﹣ADC ，能求出三棱锥 P﹣AEC的体积.
【详解】（1）由题意，
∵PA⊥面 ABCD，AB 平面 ABCD，
∴AB⊥PA，
1 1
∵∠ABC=∠ADC=60°， AB AD BC，
2 2
在△ABC中，由余弦定理有：
AC2 AB2 BC2﹣2AB BC cos60 BC2﹣AB2
∴AB2+AC2=BC2，
即：AB⊥AC，
答案第 9页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
∵PA∩AC=A，又 PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，
∴AB⊥平面 PAC，
∵PC 平面 PAC，
∴AB⊥PC.
1
（2）由题意及（1）得，PA AB AD 2，
2
所以 PA=AB=2，AD=4，因为 PA⊥面 ABCD
1
且 E为 PD的中点，所以 E点到平面 ADC的距离为 PA 1，
2
所以三棱锥 P﹣AEC的体积：
V 1 1 1 1P AEC VD AEC VE ADC S ADC PA 2 4 sin 60
1 2 3
3 2 3 2 3
1
20．(1)
4
7
(2)
36
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）分“加工两个都是精品”和“加工零件只有一个精品”两种情况，结合独立事件概率方法
公式运算求解.
【详解】（1）设徒弟加工一个零件是精品的事件为 A，师傅加工一个零件是精品的事件为 B，
则P B 2 ，
3
P A P A P B P B 4 2由题知 P A
1
，9 9
2 1 1
可得 P A ，且 P A 0,1 ，所以 P A ，4 2
2 1
所以徒弟加工 2个零件都是精品的概率为 P A .4
（2）由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于 2时，概率
P 1 1 2 2 2 2 5为 1
1 2 1 1 ；2 2 3 3 3 3 36
答案第 10页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为
P 1 1 2 2 12 2 1 2 2
1 3
1 ；
3 18
由①②得所求概率为 P P P
5 1 7
1 2 .36 18 36
21．(1)m 0.1，n 0.3；频率分布直方图见解析
(2)75%分位数为9个，中位数为7.3个
(3)平均数为 7个，方差为6.4．
【分析】（1）根据频数与频率关系可构造方程求得m,n，由此可补全频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；
（3）由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可.
14000
【详解】（1）由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人得：n 0.3 0.1 0.7 ，
20000
解得：n 0.3，
m 20000 14000 0.2 0.1，
20000
则频率分布直方图如下：
（2） 0.2 0.1 0.3 0.6 0.75，0.6 0.3 0.9 0.75，
75%分位数位于 8,10 ，设其为 x，
则0.6 x 8 0.15 0.75，解得： x 9，即估计75%分位数为9个；
0.2 0.1 0.3 0.5 ，0.2 0.1 0.3 0.6 0.5，
中位数位于 6,8 ，设其为 y，
则0.3 y 6 0.15 0.5，解得： y 7.3，即估计中位数为7.3个.
（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：
答案第 11页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}
3 0.2 5 0.1 7 0.3 9 0.3 11 0.1 7（个），
2 2 2 2
方差为 s2 0.2 3 7 0.1 5 7 0.3 7 7 0.3 9 7 0.1 11 7 2 6.4，
则所求平均数估计为 7个，方差估计为6.4．
22．(1)0.075，6.8
3
(2)30人，20人；
5
【分析】（1）根据频率分布直方图性质即利用各组频率之和为 1即可求得 a的值；根据平均
数的计算方法即可求得平均时长；
（2）根据分层抽样即按比例抽样即可求得两组各抽取多少人，继而求得从参加座谈会的 5
人中随机抽取 2人各组抽取的人数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得
(0.025 0.050 0.125 0.150 a 0.050 0.025) 2 1，
解得 a 0.075；
根据频率分布直方图可得所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为：
0.05 1 0.1 3 0.25 5 0.3 7 0.15 9 0.1 11 0.05 13 6.8 .
（2）由题意得 8,10 组的人数为 4000 0.15 600， 10,12 组的人数为 4000 0.1 400，
这两组的人数之比为600 : 400 3 : 2，
故 8,10 3 2组抽取的人数为 50 30； 10,12 组抽取的人数为 50 20；
5 5
利用分层抽样从抽取的 50人中选 5人参加一个座谈会，
则 8,10 3 2组抽取的人数为 5 3； 10,12 组抽取的人数为 5 2，
5 5
2
从参加座谈会的 5人中随机抽取 2人发言，共有C5 10种抽取方法，
10,12 组中恰好有 1 1 1人发言的抽取方法有C2C3 6 ,
故 10,12 P 6 3组中恰好有 1人发言的概率为 .
10 5
答案第 12页，共 12页
{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}大庆名校 2023-2024 学年度上学期月考 5．（本题 5分）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两
草原供游客休闲旅游，记事件 E “只去甲草原”，事件 F “至少去一个草原”，事件G “至多去一个
高二年级数学试题
草原”，事件H “不去甲草原”，事件 I “一个草原也不去”.下列命题正确的是（ ）
考试时间：120 分钟，满分：150 分
注意事项： A．E与 G是互斥事件； B．F与 I是互斥事件，且是对立事件；
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 C．F与 G是互斥事件； D．G与 I是互斥事件.
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题） 6．（本题 5分）已知一只口袋内装有大小相同的 4只球，其中 2只白球，2只黑球，从中一次摸出 2
一、单选题（共 40 分） 只球，则摸出的 2只球中至少有 1只是白球的概率是（ ）
1．（本题 5分）已知 3 4i z 1 2i，则 z z （ ） 1 1 2 5A． B． C． D．
6 3 3 6
4 4 2 4
A．0 B． C． i D． i
5 5 5 5 7．（本题 5分）在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒
2
．（本题 5分）设 x, y R，向量 a 0,1, z ,b 2, y, 2 ,c 3,6, 3 ，且 a c,b //c，则 a b （ ） 乓球决赛采用 7局 4胜制.在决胜局的比赛中，先得 11分的运动员为胜方，但打到 10平以后，先多得
2分者为胜方.在10 :10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发 1个球.若在决胜局比赛中，马龙发
A． 29 B．2 6 C．3 D． 2 2
2 1
球时马龙得分的概率为 3 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 2 ，各球的结果相互独立，在双方
10 :10平
3．（本题 5分）总体由编号为01，02，……，19，20的 20个个体组成 .利用下面的随机数表选取5个
后，马龙先发球，则双方战至13:11的概率为（ ）
个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来
1 1 1 3
的第5个个体的编号为（ ） A． B． C． D．4 6 12 4
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9708 0198 8．（本题 5分）某地区为了解最近 11天该地区的空气质量，调查了该地区过去 11天PM2.5的浓度（单
3204 6234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 位：μg/m3），数据依次为 53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，m m 50 ．已知这组数据的
A．01 B．02 C．07 D．08
极差为 40，则这组数据的第 m百分位数为（ ）
4．（本题 5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有 1200人，其中一、二、三年
A．71 B．75.5 C．79 D．72
级的人数比为3: 4 : 5，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 120的样本，则应抽取的一年级 二、多选题（共 20 分）
学生的人数为（ ） 9．（本题 5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地 8月
A．20 B．30 C．40 D．50 1日到 10日的 PM2.5日均值（单位：μg/m3）分别为 36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，
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则关于这 10天中 PM2.5日均值的说法正确的是（ ）. 14．（本题 5分）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若 a 3，B 45 ，C 75°，
A．众数为 32
则b ．
B．第 80百分位数是 38
15．（本题 5分）已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若a 8，b 6， c 4，则中
C．平均数是 40
线 AD的长为 .
D．前 4天的方差比后 4天的方差小
16．（本题 5分）我市某高中高一（6）班有男生 36人，女生 18人，男生的平均身高为171cm，方差
10．（本题 5分）已知数据 x1,x2 , ,x10 的平均数是 a，中位数为b，方差为 c，极差为d .由这组数据得
为 41；女生的平均身高为162cm，方差为 38．则该班所有学生身高的方差为 ．
到新数据 y1, y2 , , y10，其中 yi 3xi 2 i 1,2, ,10 ，则（ ） 四、解答题（共 70 分）
A．新数据的平均数是3a B．新数据的中位数是3b 17．（本题 10分）已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2cosC acosB bcosA c .
C．新数据的方差是 9c D．新数据的极差是3d (1)求C；
11．（本题 5分）已知不同直线 a，b，不同平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ） (2)若 c 7， ABC 3 3的面积为 ，求 ABC的周长.
2
A．若 a ，b ， a∥ ，b∥ ，则 ∥
18．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BB1，DD1的中点．
B．若 a∥b， a∥ ，b ，则b∥
C．若 ， ， a，则 a
r r
D．若 a， a b，b ，则
12．（本题 5分）已知正三棱锥 P ABC的四个顶点在球O1的球面上，E，F分别是 PA，AB的中点，
AB 2且CE EF，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球O2，则（ ）
A．三棱锥 P ABC的表面积为 4 3 B．球O1的表面积为6π (1)求证： AF / /平面 A1C1E；
C．球O 6π 3 2 61的体积为 D．球O2的半径为
4 6 (2)求异面直线 A1C与 AF所成角的余弦值．
第 II 卷（非选择题）
1
三、填空题（共 20 分） 19．（本题 12分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，AB AD，
2
13．（本题 5分）设复数 z满足 2z z 3 i，则 z ． PA⊥面 ABCD，E为 PD的中点.
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图；（只画图，不要过程）
(2)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；（四舍五入，精确
到0.1）
(3)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点
(1)求证：AB⊥PC；
1 值代替）
(2)若 PA AB AD 2，求三棱锥 P﹣AEC的体积.
2 22．（本题 12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会
20．（本题 12分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件 2个，且是否加工出精品均互不影响．已知
主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧
2 1
师傅加工一个零件是精品的概率为 3 ，师徒二人各加工 2个零件都是精品的概率为 .9 跟时代脉搏的热门 APP.某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取
(1)求徒弟加工 2个零件都是精品的概率； 4000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，绘制如图所示的频率分布直方图（每周
(2)求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率． 利用“学习强国”的时长均分布在 0,14 ）.
21．（本题 12分） 2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规
定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区 20000个居民一周的口罩使用个数统计如下
表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人．
口罩使用数量 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12
频率 0.2 m 0.3 n 0.1
(1)求实数 a的值，并求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长（同一组数据用该区间的中点值作
代表）；
(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从 8,10 和 10,12 组中
(1)求m,n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方
抽取 50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的 50人中选 5人参加一个座谈会，
现从参加座谈会的 5人中随机抽取 2人发言，求 10,12 组中恰好有 1人发言的概率.
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