第十四章 三角形【专项训练】-七年级数学下学期期末专项复习 （沪教版）
第十四章 三角形专项训练
知识点一、三角形的概念及表示
1．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
举一反三：
【变式】
2．根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( )
A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n；
知识点二、三角形的三边关系
3．在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
举一反三：
【变式】
4．三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形．当x为 时，所组成的三角形周长最大．
5．如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
（1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗
（2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗
举一反三：
【变式】
6．五条线段的长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线段为边长共可以组成 个三角形.
知识点三、三角形中的重要线段
7．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．
举一反三：
【变式】
8．如图，AD为的中线，BE为的中线．
（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
知识点四、三角形的稳定性
9．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
举一反三：
【变式】
10．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条 使七边形木架不变形，至少要钉几根木条 使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条
知识点五、三角形的内角和
11．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．
举一反三：
【变式1】
12．三角形中至少有一个角不小于 度．
【变式2】
13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？
14．在中，，BD是AC边上的高，，求的度数．
知识点六、三角形的外角
15．如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50 ，∠C=70 ，求∠DAE ．
举一反三：
【变式】
16．如图，在△ABC中，AB＞AC，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠C－∠B的数量关系 ．
17．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E．求证：∠BAC >∠B．
举一反三：
【变式】
18．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
知识点七、三角形的内角外角综合
19．已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；
（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．
举一反三：
【变式1】
20．如图，已知在五角形中，求证：．
【变式2】
21．一个三角形的外角中，最多有锐角（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定
知识点八、全等形和全等三角形的概念
22．请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ．
举一反三：
【变式1】
23．全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
A． B． C． D．
知识点九、全等三角形的对应边，对应角
24．如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
知识点十、全等三角形性质
25．如图，，，
（1）求的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
举一反三：
【变式】
26．下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
27．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是 ．
举一反三：
【变式】
28．如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶5∶10，又△MNC≌△ABC，且点N，C，A三点共线，则∠BCM∶∠BCN等于（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶4
知识点十一、全等三角形的判定1——“边角边”
29．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC＞2AD．
30．已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．
举一反三：
【变式】
31．已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°．
知识点十二、全等三角形的判定2——“角边角”
32．如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E．请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF．
举一反三：
【变式】
33．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM．
知识点十三、全等三角形的判定3——“角角边”
34．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE＝BF．
知识点十四、全等三角形的判定4——“边边边”
35．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．
知识点十五、等腰三角形中的分类讨论
36．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
举一反三：
【变式】
37．已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
知识点十六、等腰三角形的操作题
38．根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
举一反三：
【变式】
39．直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
知识点十七、等腰三角形性质判定综合应用
40．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
举一反三：
【变式】
41．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC.
知识点十八、等边三角形
42．已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN．求证：AE＝BD，MN∥BE．
举一反三：
【变式】
43．如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为 ，∠ABD= °．
本章综合：
知识点一、三角形的有关概念
44．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：
（1）∠A1= ；
（2）∠An= ．
知识点二、巧引辅助线构造全等三角形
45．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
举一反三：
【变式】
46．如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE．
47．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
举一反三：
【变式】
48．如图，是的角平分线，，求证：．
49．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD．求证；BD是∠ABC的角平分线．
知识点三、全等三角形动态型问题
50．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．
（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
知识点四、等腰三角形的综合应用
51．如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE＋PF＝CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB PE，＝AC PF，＝AB CH．
又∵，
∴AB PE＋AC PF＝AB CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH______．点P到AB边的距离PE＝________．
举一反三：
【变式】
52．如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．
（1）如图（1）所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？
（2）如图（2）所示，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图（2）证明；若不成立，请说明理由．
补充练习：
一、单选题（共5小题）
53．如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
54．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
55．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使，连接BC并延长到点E，使，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到，理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
56．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE
57．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°
二、填空题（共5小题）
58．等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝ ．
59．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
60．如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6这六个角的度数的和是 ．
61．如图，六边形的六个内角都等于，若，，则这个六边形的周长等于 .
62．如图,在△ABE和△ACF中,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中,正确的是 ．(填序号)
三、解答题（共5小题）
63．如图，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC ，CD⊥BD ，AB=DC，AC与BD交于点O．求证：AC=BD．
64．如图，已知在ABC中，BD是∠ABC的角平分线，，，求∠DBC的度数．
65．已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断的形状．
66．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件利用网格点和三角板（或直尺）画图：
（1）补全；
（2）画出中AB边上的中线CD；
（3）画出中BC边上的高线AE；
67．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）试说明：DE＝EF；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；
（3）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由．
参考答案：
1．B
【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
故选：B．
2．C
【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数．
【详解】图（1）中，三角形的个数是 ,
图（2）中，三角形的个数是 ,
图（3）中，三角形的个数是 ,
第n个图形中三角形的个数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
3．19或21
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．
【详解】根据三角形的三边关系得：
9﹣2＜BC＜9+2，
即7＜BC＜11，
∵BC为偶数，
∴AC=8或10，
∴△ABC的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21．
【点睛】考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．
4． 3 8
【分析】根据三角形三边的关系，求得x的取值范围即可；根据其范围找到最大值再求周长即可．
【详解】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
有4-2
当x=8时，组成的三角形周长最大为11．
故答案为3，8．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解不等式，理解三角形三边关系是解题的关键．
5．（1）见解析；（2）
【分析】（1）添加辅助线，得到三角形，根据三角形三边之间的关系，进行等量代换即可；
（2）根据三角形三边之间的关系，借助（1）中的结论即可求解．
【详解】解：(1)如图，延长交于点，根据三角形的三边关系可以得到，
在中，；
在中，，
两不等式相加，得．
由图可知，．
，
即．
(2)，
．
又，AB＝5，AC＝6，
，
．
【点睛】本题考查了三角形三边关系的性质，解题的关键是：充分利用三角形三边之间的关系进行解题．
6．3
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断三条线段能否构成三角形．
【详解】根据三角形的三边关系可知,以其中三条线段为边长，可以组成三角形的是：
2cm、3cm、4cm；3cm、4cm、5cm；2cm、4cm、5cm.
共3个三角形．
故答案为3
【点睛】本题考查三角形的三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三条线段能否构成三角形，熟记三角形的三边关系是解题关键.
7．AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
【详解】解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得 ,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得 ，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点睛】本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键 ．
8．（1）相等，理由见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）根据三角形中线的性质和三角形面积的求法即可判断；
（2）过点作上的垂线；
（3）利用三角形中位线的性质和已知三角形的面积，求出的面积，已知，由三角形的面积公式即可求出高．
【详解】解：（1）与的面积相等，理由如下：
作，如图1：
，
与的面积相等；
（2）作图过点作上的垂线，如图2：
（3）因为的面积为，，
所以的面积为20，
因为为的中线，
所以的面积为10，
所以中边上的高为4．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，解题的关键是：需要掌握三角形中文位线的性质．
9．见解析
【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可．
【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了．
【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键．
10．要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
【分析】三角形具有稳定性，要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线 使七边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把n边形分成n-2个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
要使五边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
使七边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉4根木条；
使n边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把n边形分成n-2个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉(n-3)根木条．
【点睛】本题考查将多边形分成三角形进行固定，掌握多边形从一顶点出发的对角线的性质是解题关键．
11．直角三角形
【分析】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A＋∠B＋∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．
【详解】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
由于∠A＋∠B＋∠C＝180°，即有x＋2x＋3x＝180°．
解得x＝30°．
故∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
【点睛】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．
12．60
【分析】反证法证明即可．
【详解】假设中没有一个角不小于，
即
则
这与三角形内角和定理矛盾
所以，假设不成立，则一个三角形中，至少有一个角不小于60度．
故答案为60．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，反证法的证明，理解三角形内角和定理和反证法的证明是解题的关键．
13． 4 2
【分析】根据两个角的和为90°，可得这两个角互为余角．再根据余角的性质即可得到答案．
【详解】解：在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，得
∴△ABC，△ACD，△BCD是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°．
∴图中有4对互余的角；
由等角的余角相等，则有
∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∴有2对相等的锐角；
故答案为：4；2．
【点睛】本题考查了余角的性质，利用了余角的定义，掌握余角的性质：等角的余角相等是解题的关键．
14．60°或30°
【分析】分两种情况，首先画出图形，根据三角形高线的定义可得∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理或三角形外角的性质求出∠C的度数即可．
【详解】分两种情况：
（1）当为锐角三角形时，如图1所示，
在中，∵BD是AC边上的高，
∴，
∴，
又∵，
∴.
∵，
∴.
（2）当为钝角三角形时，如图2所示，
在中，∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
综上，∠C的度数为60°或30°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，分情况讨论并作出图形是解题关键，注意不要漏解.
15．10°
【分析】先根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，再然后根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BA，再求解即可．
【详解】解：∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°
又AD为∠BAC的平分线
所以∠BAD＝＝30°
∠ADE＝∠B＋∠BAD＝50 ＋30°＝80°
又 AE⊥BC于E
所以∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－80°＝10°
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16．
【分析】根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=．
∵AE⊥BC于E，
∴，
∴∠CAE=，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．见解析
【分析】利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】证明：在△ACE中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）．
同理在△BCE中，∠2 >∠B，
因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，利用三角形的一个外角大于任意和它不相邻的外角是解本题的关键．
18．不合格，理由见解析
【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：延长CD与AB相交于点F．
∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，
又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，
∵实际量得的∠BDC=148°，
143°≠148°，
∴这个零件不合格．
【点睛】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
19．（1）证明见解析（2）∠MBC=∠F+∠FEC，证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案；
（2）由BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，结合（1）的结论证得答案即可．
【详解】（1）证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
（2）∠MBC=∠F+∠FEC．
证明：∵BM∥AC，
∴∠MBA=∠A，、
∵∠A=∠ABC，
∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，
又∵∠F+∠FEC=2∠A，
∴∠MBC=∠F+∠FEC．
20．详见解析．
【详解】试题分析：如图，根据三角形外角的性质可得∠B+∠D=∠1，∠A+∠C=∠2，在由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即可得∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．
试题解析：解：如图∵∠1是△BDF的外角，
∴∠B+∠D=∠1，
同理∠A+∠C=∠2，
由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，
即，∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．
考点：三角形外角的性质；三角形内角和定理．
21．A
【分析】因为三角形的内角中钝角最多有1个，所以根据平角的定义可以得知三角形的外角中最多有1个锐角．
【详解】解：∵三角形的内角最多有1个钝角，
∴三角形的三个外角中，锐角最多有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
22．（4）（5）（6）．
【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等．
故答案是：（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．
23．B
【分析】抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180．
【详解】B选项中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，符合题意；
其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了图形平移，旋转的性质，轴对称的性质，分析题意是解题的关键．
24．C
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应边为CD．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，
∴BC和DA为对应边，
∴AB的对应边为CD．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质．
25．（1）DE=3 （2）垂直
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
．
（2）垂直．
∵，且A、B、C在一条直线上，
∴，
故．
26．C
【详解】试题分析：根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；
（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．
综上可得只有（3）正确．
故选C．
考点：全等图形．
27．80°
【分析】由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；运用外角求∠α的度数．
【详解】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴
∴
∴
故答案为
【点睛】本题考查了三角形内角和，外角和定理，运用全等三角形对应角相等的性质是解题的关键．见“比例”设未知数是比较常用的解题思路．
28．D
【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果.
【详解】在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10
设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°
3x+5x+10x=180
解得x=10
则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°
∴∠BCN=180°-100°=80°
又△MNC≌△ABC
∴∠ACB=∠MCN=100°
∴∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°
∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4
故选D
【点睛】本题考查了全等三角形的性质,解题的关键是利用三角形的三角的比，求得三个角的度数．
29．证明见解析.
【分析】作出辅助线,证明四边形 ABMC 是平行四边形，将AC转换成BM,再利用三角形三边关系即可解题.
【详解】如下图,延长 AD 到 M，使 AD=DM，连接 BM，CM，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=DC，
∵AD=DM，
∴四边形 ABMC 是平行四边形，
∴BM=AC，
在△ABM 中，AB+BM＞AM， 即 AB+AC＞2AD．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，平行四边形的判定,作出辅助线是解题关键.
30．见解析
【分析】在上取一点，使，则，所以 ，只要再证出即可．
【详解】证明：在上取一点，使，
∵ ，
∴
在和中，
∴．
∴，．
又∵．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
31．见解析
【分析】可在AB上截取AF＝AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC＝∠D，再由线段之间的关系AE＝（AB＋AD）得出BC＝CF，进而通过角之间的转化即可得出结论．
【详解】证明：在AB上截取AF＝AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
又AC＝AC，
∴△ACF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠AFC＝∠D，
∵AE＝（AB＋AD），
∴EF＝BE，
又∵CE⊥AB，
∴BC＝FC，
∴∠CFB＝∠B，
∴∠B＋D＝∠CFB＋∠AFC＝180°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题．
32．图见解析，证明见解析
【分析】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF，故可得到DE＝BF．
【详解】如图，BF为所求；
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE与△BCF中
∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF．
【点睛】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
33．见解析
【分析】先证出，再由证明，得出对应边相等即可．
【详解】证明：∵和是的高，
∴，
又∵，，
∴
在和中，
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、互余两角的关系；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
34．见解析
【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B＝90°，可得∠ACF＝∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．
【详解】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AEC＝∠BFC＝90°
∴∠BCF+∠B＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°
∴∠ACF＝∠B
在△BCF和△CAE中
∴△BCF≌△CAE（AAS）
∴CE＝BF．
【点睛】本题考查了同角的余角相等,全等三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键.
35．见解析
【分析】利用SSS证明，然后根据全等三角形对应角相等可以得到．
【详解】证明：在和中，
∴
∴（全等三角形对应角相等）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，利用SSS证明是解题关键．
36．D
【分析】分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得．
【详解】依题意，分以下两种情况：
（1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为，
（2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为，
综上，顶角的度数为或
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
37．5，5．
【分析】分情况讨论，边长为3的边是底和腰两种情况，再用周长公式求解即可．
【详解】①3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
②3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则其中一腰长．
这样得两组：3，3，7 和5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，构成三角形的条件，分类讨论和根据构成三角形的条件判断结果是解题的关键．
38．（1）图见解析，猜想∠A＋∠B＝90°；（2）图见解析，猜想∠B＝3∠A
【分析】（1）作AC的垂直平分线，得到分割后的三角形各内角度数即可求解；
（2）作AB的垂直平分线，得到分割后的三角形各内角度数即可求解．
【详解】（1）如图，
由图可知2∠A+180°-2∠B=180°
∴∠A＋∠B＝90°，
∴猜想：∠A＋∠B＝90°，
（2）如图：
由图可知∠B-∠A=2∠A
∴∠B＝3∠A，
∴猜想：∠B＝3∠A．
【点睛】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一．
39．∠B＝30°或45°，图见解析
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x＝2x+2x，
解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；
②当BD＝BE时，则∠B＝（180 4x）°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B得：45°＋22.5°＋x＝2x＋180° 4x，
解得x＝37.5°，此时∠B＝（180 4x）°＝30°．
③DE＝BE时，则∠B＝（）°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x＝2x＋，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述∠B＝45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
40．见解析
【分析】根据于，得到是等腰直角三角形，然后求出，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后求出，从而得到是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵EH⊥AB于H，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，，
∵平分∠BAD，AD⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴=45°，
∴=45°+45°=90°，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．
41．证明见解析
【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.
【详解】方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC
方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，
则.
，，
，
.
，，
，，
又，
，
.
【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.
42．见解析
【分析】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明；为证明，可先证明为等边三角形，再利用角去转化证明．
【详解】证明：都是等边三角形
∴
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∴∠2＝60°∴
在和中
（已证）
∴（SAS）
∴（全等三角形对应边相等）
（全等三角形对应角相等）
在和中
（已证）
∴（ASA）
∴（全等三角形对应边相等）
∵∠2＝60°
∴是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉以上性质和判定是解题的关键．
43． 2 75°
【分析】由SSS得出△ABD≌△ACD，从而可得AE为中垂线，进而可得BE的长；由等腰△ABD的两个底角相等、三角形内角和定理求得∠ABD=75°．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC为60度，
∴△ABC为等边三角形．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AE是BC边的中垂线，
∴BE=BC=2cm；
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°，
∵AE⊥BC
∴∠BAD=30°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．
故答案是：2cm，75°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
44．（1）；（2）．
【详解】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD．
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1．
∴∠A1=∠A．
∵∠A=，
∴∠A1=．
（2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，
∴∠An=．
45．，理由见解析．
【分析】因为是的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段，使，证明， ，这样就把、与线段转化到了中，利用两边之和大于第三边可证．
【详解】答：；
证明：延长到，使，连结、
∵是的中点，
∴
又∵
在和中
∴
∴
在与中
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握相关知识点是解题的关键．
46．见解析
【分析】如图，考虑到CE是△ABC的中线，我们延长CE到F，使EF=CE，这样CF=2CE，结合已知条件可证△AEC≌△BEF，并可进一步证得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，从而可得结论CD=2CE．
【详解】解：如图，延长CE到点F，使EF=CE，则CF=2CE，
、
∵CE是△ABC的中线，
∴ AE=BE，
在△ACE和△BFE中，
∴ △ ACE≌ △ BFE（AAS），
∴ AC=BF，∠A=∠ABF，
又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，
∴ AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC，
在△DBC和△FBC中， ，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴DC=CF=2CE．
【点睛】在这类有关三角形中线的问题中，延长中线一倍，构造全等三角形是我们在解题中常用的一种辅助线作法，需认真去体会．
47．见解析
【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,
∵AD是∠BAC的平分线，
∴,
在△AMC和△AME中，
∵
∴△AMC≌△AME（SAS），
∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝AB－AE，
∴BE＝AB－AC，
∴MB－MC＜AB－AC．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，
同理可证得△ABM≌△AGM（SAS），
∴BM=GM，
∵在△MCG中MG-MC＜CG
∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC
即MB－MC＜AB－AC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．
48．见解析
【分析】在 AB 上取 AE = AC ，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
【详解】证明：如解图，在上截取，连接，
∵ 是的角平分线，
∴ ．
在和中，
∴ ≌．
∴ ．
∵在中，，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
49．证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点F，利用ASA即可证出△DBC≌△FAC，从而得出BD=AF，结合题意可得BE垂直平分AF，根据垂直平分线的性质可得BA=BF，利用三线合一即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC＋∠F=90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中
∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE＝BD
∴AE＝AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和三线合一是解题关键．
50．（1）见解析；（2）①EF＝AE-BF；②EF＝AE-BF；③EF＝BF-AE；证明见解析．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠1＋∠2＝90°，根据平角的定义可得∠2＋∠3＝90°，∠1＝∠3，利用AAS可证明△ACE≌△CBF，根据全等三角形的性质可得AE＝CF，CE＝BF，根据线段的和差关系即可得结论；
（2）①同（1）可得△ACE≌△CBF，可得AE＝CF，CE＝BF，根据线段的和差关系可得EF＝AE-BF，②根据等腰直角三角形的性质可得AE＝CF，CE＝BF，根据线段的和差关系可得EF＝AE-BF；③同①可得EF＝BF-AE．
【详解】（1）∵AE⊥，BF⊥，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵EF＝CE＋CF，
∴EF＝AE＋BF．
（2）①EF＝AE-BF，理由如下：
∵AE⊥，BF⊥，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3．
在△ACE和△CBF中
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵EF＝CF-CE，
∴EF＝AE-BF．
②∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥，BF⊥，
∴点D、E、F重合，
∴AE=BF，
∴EF＝AE-BF．
③同①可得AE＝CF，CE＝BF，
∴EF＝BF-AE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
51．（1）PE＝PF＋CH，证明见解析；（2）7；4或10；
【分析】（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出，，，再由＝＋即可得出PE＝PF＋PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC＝2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH＝7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE＋PF＝CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE＝PF＋CH．
【详解】解：（1）如图②，PE＝PF＋CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB PE，＝AC PF，＝AB CH，
∵＝＋，
∴AB PE＝AC PF＋AB CH，
又∵AB＝AC，
∴PE＝PF＋CH；
（2）∵在△ACH中，∠A＝30°，
∴AC＝2CH．
∵＝AB CH，AB＝AC，
∴×2CH CH＝49，
∴CH＝7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE＋PF＝CH，
∴PE＝CH－PF＝7－3＝4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE＝PF＋CH，
∴PE＝3＋7＝10．
故答案为7；4或10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
52．（1）EN＝MF，点F在直线NE上，理由见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）连接、，根据和为等边三角形，得到，，且点、、、分别为边，，的中点，可得是等边三角形，，可证得，则有，，根据，可得，则，可得、、在同一直线上,点在直线上；
（2）与（1）的方法相同，证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】解：（1）判断：，点在直线上，
证明：连接、，
和为等边三角形，
，，
点、、、分别为边，，的中点，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
∵由八字形可得：
∴
∴，
又∵，
∴、、在同一直线上,
即点在直线上．
（2）成立，
证明：连接，，．
是等边三角形，
．
，，是三边的中点，
，，为三角形的中位线．
，．
又，，
．
在和中，
，
，
；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识点，根据等边三角形的性质以及三角形中位线定理得出全等三角形的条件是解题的关键．
53．A
【分析】根据全等三角形的性质证得EF=BC=7，从而求得答案.
【详解】∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF= 7
∴ CF=EF-EC=7-5=2
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质．题目简单，熟记全等三角形的性质是解题的关键.
54．B
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴ED=CD，
∴BC=BD+CD=DE+BD=5，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6 4)+5=7，
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解．
55．D
【分析】根据对顶角相等，结合已知条件即可证明
【详解】在与中，
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
56．D
【分析】根据AAS证明△POD≌△POC（AAS），即可依次判断．
【详解】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POC，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴∠PCO＝∠PDO，
在△POD和△POC中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，故A，B，C正确；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
57．C
【分析】作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正确，
若C成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
58．3．
【分析】根据等腰三角形的三线合一解答即可．
【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
59．13
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质．
60．360°．
【分析】利用三角形的外角的性质把这六个角转化到一个四边形中，即可求得结果．
【详解】解：不妨设AD和CF交于点M，BE和CF交于点N，
则∠AMC＝∠2+∠3，∠ENF＝∠1+∠6，
而∠AMC+∠ENF+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360°．
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是把六个角转化到一个四边形中．
61．17
【分析】分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P，根据题意推出三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形，接着求出大等边三角形的边长，从而求出AF,EF的长，即可求得周长.
【详解】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.
因为六边形ABCDEF的六个角都是，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是.
所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.
所以GC=BC=3cm，DH=DE=2cm.
所以GH=3+3+2=8cm，FA=PA=PG AB BG=8 3 3=2cm，EF=PH PF EH=8 2 2=4cm.
所以六边形的周长为3+3+3+2+4+2=17cm.
【点睛】本题考查了三角形内角和外角的综合，等边三角形的判定及性质，作辅助线构造等边三角形是解题的关键.
62．①②③
【分析】∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE=CF；∠BAE=∠CAF可得①∠1=∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM．④CD=DN不成立．
【详解】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF
∠BAE=∠CAF
∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF
∴∠B=∠C，AB=AC
又∠BAC=∠CAB
△ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对．
故答案是：①②③
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质.
63．见详解
【分析】根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即可得到△ABC≌△DCB，则问题可得证．
【详解】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AC=BD．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
64．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠ABD=，再根据角平分线求出答案．
【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，，，
∴∠ABD=，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABD=．
【点睛】此题考查三角形的外角的性质定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及三角形角平分线的性质，熟记外角性质是解题的关键．
65．（1）4或6；（2）等腰三角形
【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可；
（2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果；
【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，．
又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数，
∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6．
∵当时，，不能构成三角形，故舍去，
∴c的值为4或6．
（2）由（1）得当时，有；当时，有，
为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键．
66．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【分析】（1）先根据平移的特点找出，再顺次连接点即可得；
（2）先找出AB边的中点，再连接CD即可得；
（3）过点A作BC所在直线的垂线即可得．
【详解】（1）先根据平移的特点找出，再顺次连接点即可得，如图所示：
（2）先找出AB边的中点，再连接CD即可得，如图所示：
（3）过点A作BC所在直线的垂线即为BC边上的高线AE，如图所示：
【点睛】本题考查了平移作图、三角形中线和高线的画法，熟练掌握图形的平移、三角形中线和高线的作法是解题关键．
67．（1）证明见解析；（2）70°；（3）∠A=60°，理由见解析．
【分析】（1）根据线段的和差关系可得BD=CE，利用可SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”即可得结论；
（2）由等腰的性质求得∠B＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°；根据全等三角形的性质可得∠BDE＝∠FEC，根据平角的定义即可得答案；
（3）由（2）知，∠DEF＝∠B，根据三角形内角和可得∠DEF=60°，可得∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．
【详解】（1）∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，
∴BD＝EC，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE＝EF．
（2）∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BDE+∠DEB＝180°-40°=110°．
∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB＝110°，
∴∠DEF＝180°-110°=70°．
（3）当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°，理由如下：
∵∠EDF+∠EFD＝120°，
∴∠DEF＝180°-120°=60°，
由（2）知，∠DEF＝∠B，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
