专题5.6 垂线（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
专题5.6 垂线（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（ ）．
A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
2．平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是( )
A． B． C．D．
4．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线l2的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于4
C．点C到AB的距离等于4
D．点B到AC的距离等于3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
6．如图，已知直线，，则直线与重合，理由是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条
7．如图，，则的长度可能是( )
A．3 B．5 C．3或5 D．4.5
8．如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段( )的长度．
A．AC B．AF C．BD D．CE
9．直线，相交于点．分别平分．下列说法正确的是( )
A．在同一直线上 B．在同一直线上
C． D．
10．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，下列结论不正确的是（ ）
A．∠EOB=90° B．∠DOB是∠AOE 的补角
C．∠AOC=52° D．∠AOC与∠EOD 互为余角
二、填空题
11．如果∠，∠两边分别垂直，其中∠比∠的2倍少30°，那么∠＝ ．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝2：3，则∠AOD＝ ．
13．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则等于 ．
14．点O为线段AB上一点，不与点A、B重合，OC⊥OD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数为 ．
15．如图，点C，O，D在一条直线上，，OE平分比大，的度数为 ．
16．已知点O是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号
①②③④
17．如图，直线，相交于点，，垂足为点．当直线绕着点在内部转动，是的角平分线，若，则，则关于的函数关系式为 ．
18．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角） 对，邻补角 对.
三、解答题
19．如图，A、B、C是平面内三点．
(1)按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；
(2)在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________
20．如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数.
21．如图，已知是内三条射线，平分平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
(3)若，求的度数．
22．如图，O为直线AB上一点，F为射线OC上一点，OE⊥AB．
（1）用量角器和直角三角尺画∠AOC的平分线OD，画FG⊥OC，FG交AB于点G；
（2）在（1）的条件下，比较OF与OG的大小，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若∠BOC＝40°，求∠AOD与∠DOE的度数．
23．如图，用三张卡片拼成如下图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为、．
(1)请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“”的理由是_________．（填写正确选项的字母）
A．两点之间线段最短；B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C．垂线段最短；D．两点确定一条直线．
(2)分别计算、（用含m、n的代数式表示）；
(3)比较与的大小，并说明理由．
24．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，，作的平分线．
(1)求与的度数；
(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；
(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线，当时，求旋转的时间．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可．
【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；
B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；
C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；
D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．A
【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．
【详解】经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，
故选A．
【点睛】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3．A
【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.
【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选A．
【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．A
【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．
【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；
点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；
点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；
同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，
故选：A
【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．
5．D
【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
【详解】解：A、∵∠CDA＝60，
∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意；
B、∵∠ACD＝90，
∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意；
C、∵∠ACD＝90，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
6．B
【分析】直接利用垂线的性质进而分析得到答案．
【详解】∵，，垂足为B，
∴AB和BC重合，理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
【点睛】本题考查了同一平面内直线的垂直关系及垂线段的知识点，解题的关键是熟悉对垂线段定义的理解．
7．D
【分析】根据垂线段最短可得3＜BD＜5．
【详解】解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5，BC=3，
∴BC＜BD＜AB，
即3＜BD＜5．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
8．B
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【详解】点A到线段BC所在直线的距离是线段AF的长度，
故选B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．
9．D
【分析】根据角平分线的性质得到，又因为与是补角，所以，所以，所以A错误，D正确；因为，且与是对顶角，所以，所以，与共线，所以，，所以B，C均错误．
【详解】解：如图，
∵，
∵分别是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴射线互相垂直，故D正确；故A错误；射线互相垂直；故C错误；故B错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
10．B
【分析】根据垂直的定义可知，故A正确；根据互补定义，由图知和互补，故B错误；根据OE⊥AB，∠EOD＝38°，结合对顶角定义，可得，故C正确；根据互余定义和对顶角定义可知，即可得到∠AOC与∠EOD 互为余角，故D正确，从而得到结论．
【详解】解：A、由于OE⊥AB，则，故该选项不符合题意；
B、由于三点共线，则，即∠DOB是∠AOE 的补角错误，故该选项符合题意；
C、由于OE⊥AB，则，再结合∠EOD＝38°，根据对顶角相等可知，故该选项不符合题意；
D、由于OE⊥AB，则，从而，根据对顶角相等可得，∠AOC与∠EOD 互为余角，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点，熟记概念，准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键．
11．或
【分析】分两种情况，当时，当，然后进行计算即可解答，
【详解】解：设为，则，
分两种情况：
当时，如图：
，
解得：，
，
当，如图：
，
解得：，
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键．
12．144°
【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE=90°，进而利用∠AOC：∠COE=2：3，得出∠AOC的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC：∠COE=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COE=3x，
则3x+2x=90°，
解得：x=18°，
故∠AOC=36°，
则∠AOD=180°-36°=144°．
故答案为：144°．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC度数是解题关键．
13．##50度
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质得，最后根据平角的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵OE 平分∠BOC，
∴．
∵OF⊥OE，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．
14．55°或125°
【分析】分OC，OD在AB的同侧和异侧两种情况求解．
【详解】当OC和OD在AB同一侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
当OC和OD在AB同异侧时，如图：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣55°＝125°．
∴∠BOD的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【点睛】本题考查了垂直的定义即两直线相交，交成的四个角中有一个是直角，理解定义，学会分类是解题的关键．
15．##72.5度
【分析】根据比大，和互补，即可求出，进而由垂直性质可求出，再由角平分线性质即可得出答案．
【详解】解：∵比大，
∴设，则，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵OE平分，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．
16．①②③
【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．
【详解】解：∵，
∴∠BOC=180°-=130°，则①正确
∵OD平分，
∴∠AOD=，则②正确
∴∠BOD=180°-∠AOD=155°，则③正确
∵
∴∠COE=-=40°，则④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．
17．
【分析】先由角平分线定义得：，由垂直定义和角的和差，再根据，得到与的关系，进而得解．
【详解】∵是的角平分线，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案是．
【点睛】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由，，推导出关于的函数关系式是解本题的关键．
18． 9900 19800
【分析】由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解．
【详解】解：图①中共有2对对顶角，4对邻补角，
图②中共有6对对顶角，12对邻补角，
图③中共有12对对顶角，24对邻补角，
，
根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角，
若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角，
故答案为：9900，19800．
【点睛】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)5，垂线段最短
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据线段的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：①如图1所示，射线BC，直线l即为所求；
②如图1所示，线段AP，PQ即为所求；
；
（2）解：过A作AQ⊥BC交直线l于P，
则此时，AP+PQ的值最小，
∵点A到直线BC的距离为5，
∴AP+PQ的最小值为5，
依据是垂线段最短，
故答案为：5，垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
20．
【分析】依据，，可得，再根据平分，即可得出，依据平角定义得到．
【详解】解：∵，
∴.
∵.
∴.
∵平分.
∴.
∴.
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．
21．(1)30°
(2)45°
(3)60°
【分析】（1）由角平分线的定义，表示出，即可求解；
（2）由角平分线的定义，表示出，即可求解；
（3）由角平分线的定义，列出关于的方程组，即可求解．
【详解】（1）解：平分平分，
，，
，
．
（2）解：平分平分，
，
，
，
，
，
．
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角的计算，解题关键是由角平分线定义得出有关等式．
22．（1）见解析；（2）OF＜OG；理由见解析；（3）∠AOD＝70°，∠DOE＝20°．
【分析】（1）使用量角器量出的度数，再用直角三角尺画它的平分线，使用直角三角尺画于G；
（2）根据垂线段最短即可确定OF和OG的大小；
（3）先利用邻补角计算出，再根据角平分线定义得，然后利用角互余计算的度数．
【详解】（1）先使用量角器量出的度数，再用直角三角尺画它的平分线；使用直角三角尺画于G，如下图所示，OD、FG即为所画
（2）．理由如下：
是点O到FG的距离
由直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短可知，；
（3）
∵OD是的平分线
∴
∵
∴
∴
故的度数为，的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线和垂线的画法、垂线段最短、角互余等知识点，掌握角平分线的定义是解题关键．
23．(1)C
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据垂线段最短解答；
（2）根据周长公式计算即可；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：“”的理由是垂线段最短，
故选：C；
（2）解：；
（3）解：；
∵n
∴，
∴．
【点睛】此题考查了垂线的性质，计算图形的周长，利用作差法比较两个式子的大小，整式加减的应用，正确掌握垂线的性质及作差法比较大小的方法是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
(3)6秒或秒
【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；
（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；
（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
①当射线在内部时，如图2（1），
；
②当射线在外部时，如图2（2），
，
综上所述，的度数为或；
（3）∵平分，
∴，
①如图3，
，
∵平分，
∴，
∴，
∴旋转的时间（秒）；
②如图3（1），
此时，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴旋转的时间（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或秒．
【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
