叙州区第二中学校2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（文史类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知命题：，，则命题的否定为
A．， B．，
C．， D．，
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是
A． B．
C． D．
4．设函数，则
A． B．5 C．6 D．11
5．已知，且在第三象限，则
A． B． C． D．
6．函数的最大值为
A．1 B．2 C． D．
7．函数的图象大致为
A． B． C．D．
8．已知角的终边过点.则
A． B． C． D．
9．一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是
A． B． C． D．
11．已知函数，则满足的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知幂函数的图象过点，则的值为 .
14．已知，则 .
15．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是 .
16．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
18．（12分）已知函数
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.
19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．（12分）如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）当时，证明：．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，半径为2，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P为圆C上的动点，过P作直线的垂线，垂足分别为A，B，求面积的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数.
(1)求证：；
(2)若，证明：.叙州区第二中学校2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（文史类）参考答案
1．D 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B
13． 14． 15． 16．
17．（1）由图可知，，
函数的周期，所以，
所以，
又，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以；
（2）
，
由，得，
因为，所以，
所以或或或，所以或或或，
所以方程在区间内的所有实数解的和为．
18．（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
（2）由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，则，解得：.
19．（1）∵，
∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，
可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，
∴2．
（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，
∴由正弦定理可得c＝2a，①
∵cosB，△ABC的面积为，
∴sinB，由acsinBac ，解得ac＝2，②
∴由①②可得a＝1，c＝2，
∴由余弦定理可得b2，
∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5．
20．解：（1）∵∴
∵直角梯形绕转到∴
又∵∴平面
∵平面∴平面平面
（2）∵直角梯形绕转到∴
∵且∴平面
且为二面角的平面角
∴ 又∵∴为等边三角形
∴ ∴.
21．解：（1），
令，解得，令，解得，
∴函数在单调递减，在单调递增，∴的最小值为；
（2）证明：要证，即证，即证，
∵，∴，
∴只需证明对任意恒成立，
设，则，
设，则，
∴在为增函数，
又，
∴存在，使得，
由，得，即，即，
且当时，单调递减，当时，单调递增，
∴，
令，则，
∴在上单增，故，
∴，即．
综上，当时，．
22．（1）如图，设为圆C上一点，O为极点，为圆C的直径，
连接，则，
则．
故圆C的极坐标方程为．
（2）极坐标中的直线对应的直角坐标方程为．
因为圆C的直角坐标方程为，设，
所以，，
则的面积；
设，则，
当时，S取得最大值．
23．解：（1）因为，
当且仅当时取等号，
又，当且仅当，即时取等号，所以.
（2）因为，，且，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号.
