景胜中学 2023-2024 学年度第一学期高一月考（10 月）
数学试题（A卷）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U Z,集合M {x∣x 3k 1,k Z},N {x∣x 3k 2,k Z}，
U(M N ) （ ）
A. {x | x 3k ,k Z} B. {x∣x 3k 1,k Z}
C. {x∣x 3k 2,k Z} D.
2. 若 a,b,c R，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ab 0且 a 1 1 b，则 B. 若 0 a 1，则 a2 a
a b
C. 若 a b 0，则 a2 b2 D. 若 a b, c d，则 ac bd
2
3.已知 f x 1 的定义域为 1,3 ，则 f 2x 1 的定义域为（ ）
1
A. ,
9 1 9 9 9
B. , C. , D. , 2 2 2 2 2 2
4.“m 0”是“ x R ， (m 1)x2 2(1 m)x 3 0 是假命题”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
y f x 6,1 fg x 2x 1 5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
x 2
A. [ 11, 2) ( 2,3]
7
B. , 2 ( 2,0] 2
7
C. ,0
D. 11,3 2
6. 设全集 U 是实数集 R，M x x 3 ，N x 2 x 5 都是 U 的子集（如图所示），
则阴影部分所表示的集合为（ ）
1
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
A. x 2 x 3 B. x 2 x 3
C. x 2 x 3 D. x 2 x 5
7.对于实数 x，规定 x 表示不大于 x的最大整数，例如： 1.5 1, 4 .若方程
6x2 x 0
2 2
的解集为 A,B x∣2x 5ax 3a 0 ，且 A B R，则实数 a的取值
范围为（ ）
1 a 0 1 1 1 1 2A. 或 a B. a 0或 a
2 6 3 2 6 9
1 a 1C. 或0 a 2 1 a 1 1 D. 或0 a
3 6 9 3 6 3
1 4 y
8.若两个正实数 x，y 满足 1，且不等式 x m2 3m有解，则实数 m 的取值范
x y 4
围是（ ）
A.{m∣ 1 m 4} B.{m∣m 0或m 3}
C.{m∣ 4 m 1} D.{m∣m 1或m 4}
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的
得 0 分.
9. 已知函数 f x 是一次函数，满足 f f x 9x 8，则 f x 的解析式可能为（ ）
A. f x 3x 2 B. f x 3x 2
C. f x 3x 4 D. f x 3x 4
10. 已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 3, 4 ，则（ ）
A. a<0
B. 不等式bx c 0的解集是 x | x 12
C. 函数 y ax2 bx c的零点为 3,0 和 4,0
2 , 1 1 D. 不等式cx bx a 0的解集为 4
,
3
12.已知0 b a 1，若关于 x的不等式 (x b)2 (ax)2的解集中的整数恰有 3 个，则 a的
值可以为（ ）
2
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
1 1 3 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
12.公元 3 世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图
所示），以线段 AB为直径作半圆 ADB，CD AB，垂足为C，以 AB的中点O为圆心，
OC为半径再作半圆，过O作OE OD，交半圆于E，连接 ED，设 BC a，
AC b(0 a b)，则下列不等式一定正确的是（ ）
a b b2 ab a bA. B. a2 ab
2 2
2 2
C. a b a bb a2 ab D.
2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x 3 3, 0
13. 命题“ 2x 4 ”的否定是__________________________．
14. 2已知关于 x的不等式 a 2 x 2a 1 x 6 0的解集为M ．若3 M 且5 M ，
则实数 a的取值范围是______．
15.已知函数 f x x 1,g x kx 2 x k 1 ，其中 k 1 .若对任意的 x1 2,4 ，存
f x g x
在 x2 2,4
，使得 1 2 成立，则实数 k的值等于__________.g x1 f x2
x 1
16.已知 p : 1 2 ， q : x2 2x 1 m2 0，若 p是 q的必要不充分条件，则实
3
数m的取值范围是___________.
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
2
A x x 2 0
x a 2
17. 已知全集U R ，非空集合 ， B x 0
．
x 3
x a
1
（1）当 a 时，求 UB A；2
（2）命题 p：x A，命题 q：x B，若 q是 p的必要条件，求实数 a的取值范围．
18. 已知集合 A {x | x2 x 6 0}， B {x |1 m x 2m 3}．
3
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
（1）若 A B B，求实数m的取值范围；
（2）若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19.（本小题 12 分）设矩形 ABCD(AB AD)的周长为 24cm，把 ABC沿 AC向 ADC
折叠， AB折过去后交DC 于点 P，设 AB xcm,DP ycm .
（1）用 x的代数式表示 y，并写出 x的取值范围；
（2）求 ADP的最大面积及相应 x的值.
ax b
20.已知函数 f x 2 是定义在 1,1 上的函数， f x f x 恒成立，且1 x
f 1 2 .
2 5
（1）确定函数 f x 的解析式并判断 f x 在 1,1 上的单调性（不必证明）；
（2）解不等式 f x 1 f x 0 .
x2 x 2 0
21. 关于 x的不等式组 2 的整数解的集合为A . 2x 2k 5 x 5k 0
（1）当 k 3时，求集合A：
（2）若集合 A 2 ，求实数 k 的取值范围：
（3）若集合A中有 2019个元素，求实数 k的取值范围.
22. 已知二次函数的图像经过点 0, 5 和 6, 5 ，且函数在 x R 上的最大值为 4.
（1）求函数的解析式；
（2）当 t x t 2时，函数的最大值为m，最小值为 n，且m n 2，求 t的值.
4
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数学参考答案（A 卷）
单选题 1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.B 7.C 8.D
多选题 9.AD 10.ABD 11.CD 12.AD
填空题
13.
x 30 3, 02x0 4 2x0 4 0或
1 a 7
14. 5
2 2 2
15. 3
( , 9] [9, )
16.
解答题
9
17.【答案】（1） x x 3
4
（2） , 1 1,2
【解析】
【分析】（1） A {x | 2 x 3}，当 a 1 时， B {x | 1 9 x }， 再运用交、补集的
2 2 4
运算，计算求解即可；
（2）由已知可得 p q，故 A B，计算求解即可得到结论．
【小问 1 详解】
x 2
不等式 0的解集为{x | 2 x 3}
x 3
所以 A {x | 2 x 3}，
a 1
当 时， B x
4x 9 1 9
0 ，化简得 B 2 4x 2
x x ，
2 4
全集U R ，
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
UB
x x
1 9
x 或 ，
2 4
∴ UB A
x
9
x 3
4
；
【小问 2 详解】
由 q是 p的必要条件，可得 p q，
所以 A B，
2
a2 2 a 1 7因为 a 0
2 4
所以 a2 2 a，
x a2 2 2
所以不等式 0的解集为 x | a x a 2 ，
x a
所以 B x | a x a 2 2 ，
a 2
2 ，解得a 1或1 a 2，
a 2 3
所以 实数 a的取值范围是 , 1 1,2 .
18.【答案】（1） 4， )
（2）m
1
， .
2
【解析】
【分析】（1）解不等式得集合A，由 A B B得 A B，再由集合包含关系得不等关系，
从而求得结论；
（2）由 x A ”是“ x B ”的必要不充分条件得 B是 A的真子集，然后按 B是否为空集分类
讨论求解．
【小问 1 详解】
由题意知 A {x | 3 x 2}，
因为 A B B，所以 A B，
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
1 m 3
则 ，解得m 4，则实数m的取值范围是 4， )；
2m 3 2
【小问 2 详解】
因为“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，所以 B是 A的真子集，
当 B 时，1 m 2 2m 3 解得m ；
3
1 m 3
当 B 时， 2m 3 2
2 1
（等号不能同时取得），解得 m ，
3 2
1 m 2m 3
m 综上，
1
，
2
.
19.解：（1）如图， AB xcm，由矩形 ABCD(AB AD)的周长为 24cm，可知
AD 12 x cm .设 PC acm，则DP x a cm，
APD CPB , ADP CB P 90 , AD CB ，
Rt ADP Rt CB P AAS ，
AP PC acm .
在 Rt ADP中，由勾股定理得 AD2 DP2 AP2 ，即 (12 x)2 (x a)2 a2，
2
解得 a x 12x 72 ，所以DP x a
12x 72
.
x x
y 12x 72即 (6 x 12) .
x
（2） ADP的面积为
S 1 1
2
AD DP 12 x 12 x 72 6 x 18x 72 6 x
72
18
.
2 2 x x x
由基本不等式与不等式的性质，
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
得 S 6 72 2 x 18x
108 72 2，
72
当且仅当 x 时，即当 时，等号成立，
x x 6 2
故当 x 6 2时， ADP的面积最大值为 108 72 2 cm2 .
1
20.（1） f x x 2 ，在 1,1
上单调递增；（2）
1 x
0,
2
f 0 0
b 0
【解析】（1）由题意可得 f 1 2
，解得
a 1
2 5
x
所以 f x 2 ，经检验满足 f x f x .注：此处无检验扣 1 分1 x
易证在 1,1 上单调递增；
（2） f x 1 f x 0, f x 1 f x f x , f x 是定义在 1,1 上的
增函数，
1 x 1 1
1 x 1 1 ，得 0 x
1
，所以不等式的解集为 0, .
2 2
x 1 x
【答案】（1） ；
（2） 3, 2 ；
（3） 2021, 2020 2021,2022 .
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式组求解集即可；
（2）由不等式组有唯一整数解 x 2，应用数轴法有 2 k 3，即可得结果.
5 5
（3）讨论 k 、 k ，由元素个数确定 k的范围.
2 2
【小问 1 详解】
(x 1)(x 2) 0
当 k 3时 ，可得 3 x
5
，满足条件的整数 x不存在，故 A .
(2x 5)(x 3) 0 2
【小问 2 详解】
由 x2 x 2 0得： x 1或 x 2 .
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
x2 x 2 0
因为 2 有唯一整数解 x 2， 2x 2k 5 x 5k 0
5
又 2x2 2k 5 x 5k 0的两根为 k和 ，则 2 k 3，所以 3 k 2，2
综上，所求 k的取值范围为 3, 2 .
【小问 3 详解】
5
当 k 时，A 3, 4, , 2021 ，所以 2022 k 2021，得 2021 k 2022 .
2
5
当 k 时，A 2,3,4, , 2020 ，所以 2020 k 2021，得 2021 k 2020 .
2
所以实数 k的取值范围为 2021, 2020 2021,2022 .
【答案】（1） f x x 3 2 4
（2） t 3 2或 t 1 2
【解析】
【分析】 2（1）首先得到函数的对称轴，从而得到顶点坐标，设 y f x a x 3 4
（ a<0），代入点的坐标，求出 a的值，即可得解；
t 2 3 t 1 3
（2）首先得到函数的单调性，再分 t 2 3、 、 、t 3四种情况讨论，
t 1 3 t 3
分别得到函数在区间 t, t 2 上的最大值与最小值，从而得到关于 t的方程，解得即可.
【小问 1 详解】
0 6
因为二次函数的图像经过点 0, 5 和 6, 5 ，所以函数的对称轴为 x 3，
2
又函数在 x R 上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为 3,4 ，开口向下，
设 y f x a x 3 2 4 2（ a<0），则 5 a 0 3 4，解得 a 1，
所以 f x x 3 2 4 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 f x x 3 2 4，
函数在 ,3 上单调递增，在 3, 上单调递减，
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
当 t 2 3，即 t 1时 f x 在 t, t 2 上单调递增，所以m f t 2 t 1 2 4，
n f t t 3 2 4，
2
因为m n 2，即 t 1 4 t 3
2 4 3 2，解得 t （舍去）；2
t 2 3
当 ，即1 t 2是 f x 在 t,3 上单调递增，在 3, t 2 上单调递减，且
t 1 3
f t f t 2 ，
所以m f 3 4， n f t t 3 2 4，
2
又m n 2，所以4 t 3 4 2，解得 t 3 2 （舍去）或 t 3 2；
t 1 3
当 ，即 2 t 3是 f x 在 t,3 上单调递增，在 3, t 2 上单调递减，且
t 3
f t f t 2 ，
所以m f 3 4， n f t 2 t 1 2 4，
又m n 2，所以 4 t 1
2 4 2，解得 t 1 2 或 t 1 2（舍去）；
当 t 3时 f x 在 t, t 2 上单调递减，所以 n f t 2 t 1 2 4，
m f t t 3 2 4，
2
因为m n 2，即 t 3 4 t 1
2 4 2 t 5 ，解得 （舍去）；2
综上可得 t 3 2或 t 1 2 。
{#{QQABTYSEogAoABIAAAhCAwlyCkGQkBAACCoOgEAIMAABgBNABAA=}#}
