福州市鼓楼区2023-2024学年高二上学期10月期中考试
（数学）
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A． （2，4） B．（2，4）
C． （4，+∞） D．（2，4）
2．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A． a1+a3≥2a2 B． a12+a32≥2a22
C． 若a1=a3，则a1=a2 D． 若a3＞a1，则a4＞a2
3．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
4. 若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a+ B．a﹣ C． D．
5．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高） （参考数据≈1.732）（ ）
A．110米 B．112米 C．220米 D．224米
6．已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（ ）
A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的
B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的
C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的
D．不一定能构成三角形
7. 已知条件p：x≥y≥0，条件q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 在实数集上定义运算 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．
9. 设等比数列的公比，前项和为，则（ ）
A．5 B．7 C．8 D．15
10.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（ ）
A． B． C．4 D．
11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与 CD的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 相交成60°角
C. 异面成60°角 D. 异面且垂直
12. 设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是( )
A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）
二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为 ．
14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 ．
15.设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于 ．
16、下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号___________.（写出所有真命题的序号）。
① 设为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线；
② 设为两个定点，若动点满足，且，则的最大值为8；
③ 方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④ 双曲线与椭圆有相同的焦点
三、解答题（共6小题，每题12分，共72分）
17. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（Ⅰ）若，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
18. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
19. 已知命题P：（1﹣x）（x+4）≥0，q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，m＞0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围．
20. 已知{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=﹣3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an及Sn；
（Ⅱ）设{bn﹣2an}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
21．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
22. 设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
答案
1.B 2. B 3.B 4. A 5. A 6. B 7. C 8. C 9.B 10. B 11.C 12. A
13.2 14.6 15. （或9.6） 16. ②③
17. 解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB ABcos30°==．
∴PA=．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得，即，
化为．∴．
18. 解：设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，-).
∵|AF|=3，∴y0+=3，
∵|AM|=，∴+(y0+)2=17，
∴=8，代入方程=2py0得，
8=2p(3-)，解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y
19. 解：由：（1﹣x）（x+4）≥0，得﹣4≤x≤1；
由x2﹣6x+9﹣m2≤0，得3﹣m≤x≤3+m（m＞0）．
由q是p的必要不充分条件，
即p q，q推不出p，
由p q得，
解得m≥7．故m的取值范围是[7，+∞）．
20. 解：（Ⅰ）由S5=5，S6=﹣3，有，
解得a1=7，d=﹣3，
∴an=7+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+10﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴Sn==﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由题意有bn﹣2an=3n﹣1，又由（1）有bn=3n﹣1+20﹣6n﹣﹣﹣﹣
∴Tn=b1+b2+…+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n﹣1+2an）
=1+3+…+3n﹣1+2（a1+a2+…+an）=﹣﹣﹣﹣﹣
21. 解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，
即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．
所以对一切x＞2，均有不等式成立．
而（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
22. 解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴递减
∴
解得．
（2）当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
