广东省深圳市2023年九年级上册期中考试模拟训练卷
一、选择题（共30分）
1．方程的根是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．， D．，
2．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．四个角相等的四边形是矩形
4．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A．（男，女）（男，男）（女，女） B．（男，女）（女，男）
C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女） D．（男，男）（女，女）
6．如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（ ）
A． B． C． D．
8．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
10．如图，在平行四边形中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：①四边形是正方形；②；③；④，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．如果，那么 ．
12．若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是 ．
13．时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是 ．
14．如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程 ．
15．如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ．
三、解答题（共55分）
16．（5分）解下列方程：
(1)
(2)
17．（7分）某学校为了了解2021年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向：A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他；进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：
(1)此次调查共调查了______名初中毕业生；
(2)将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
(3)若年级共有初三学生500名，请你估算读普通高中的学生总人数为______人；
(4)老师想从甲、乙、丙3位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，求恰好选中甲和乙两同学的概率．
18．（8分）已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3，
（1）求证：△ABO∽△DCO；
（2）求线段CD的长．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点，过点О作EFAC分别交边AB，CD于点E，F．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)当AF平分时，且 CF=5，DF=2，求AD的值．
20．（8分）某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．
(1)求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；
(2)商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份：如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
21．（9分）如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．
(1)________；__________．
(2)若与相似，求的值；
(3)连接，如图2，若，求的值．
22．（10分）在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．
（1）当直线l在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．
（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．
参考答案
1．C
【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】解：由可得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
2．C
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，从中任意抽取1张，是“梅花”的3种，
从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为，
故选择：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可
【详解】解：A：对角线互相垂直且平分的的四边形是菱形，故A错误，不符合题意
B：四条边都相等且有一个角为直角的平形四边形是正方形，故B错误，不符合题意
C：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意
D：四个角相等的四边形是矩形，说法正确，符合题意
故选D
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键．
4．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5．C
【分析】根据题意，列举出所有可能结果，注意“男、女”和“女、男”是两个基本事件，而不是一个基本事件．
【详解】一个家庭有两个小孩，给两个小孩编号为1号和2号，则所有可能的基本事件是：
（1）1号：男，2号：女；（2）1号：女，2号：男；（3）1号：男，2号：男；（4）1号：女，2号：女；
即共有4个基本事件．
故选C．
【点睛】列举法求等可能试验结果，列举出所有可能是解题的关键．
6．B
【分析】根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴，解得DE＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，读懂题意，结合图形得到相应比例求解是解决问题的关键．
7．B
【分析】利用三角形中位线的性质得出，再由四边形是矩形，即可得出结果．
【详解】解：由于E、F、G、H分别是的中点，
根据三角形中位线定理得：，
∵四边形是矩形，即，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查中点四边形及矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．C
【分析】设全班有x名学生，根据“每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名学生，根据题意，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．A
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
10．D
【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC=90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；
②由△OCF∽△OAD，得OC：OA=1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；
③根据BC= AB，DE=2AB进行推理说明便可；
④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．
【详解】①，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
， ，
四边形是正方形，故此题结论正确；
②，
，
，
，，
，故此小题结论正确；
③∵AB＝CD＝EC，
，
， ，
，
，故此小题结论正确；
④，
∴，
∴，
，
，
，
，故此小题结论正确．
故选D．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定，三角形相似的性质，解题关键在于掌握各性质定义的运用
11．
【分析】根据比例的性质，得出，代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
12．4
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=4即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
13．．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球，
∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小．
14．
【分析】根据矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，可表示出两块相同的矩形绿地的长和宽，根据两块相同的矩形绿地面积之和为，由此即可求解．
【详解】解：∵矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，
∴两块相同的矩形绿地的长为，宽为，且面积之和为，
∴，整理得，，
∴设人行通道的宽度为米，列方程．
【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的运用，掌握解一元二次方程与实际问题中的数量关系的综合是解题的关键．
15．
【分析】连接，取中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】如图，连接，取中点F，连接．
∵为等边三角形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）用因式分解法即可求解；
（2）用因式分解法即可求解；
【详解】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，选择合适的方法求解一元二次方程是本题的关键．
17．(1)100
(2)见解析
(3)200
(4)恰好选中甲和乙两同学的概率为
【分析】（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解；
（2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可；
（3）用500乘以读普通高中的学生人数所占的百分比，即可；
（4）根据题意可以画出相应的树状图，共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有4个，由概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：100；
（2）解：B去向人数： (人)，
C去向百分比，
故B条形高度是30，C百分比是；
将两幅统计图中不完整的部分补充完整，如下：
（3）解： (人) ；
故答案为：200；
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 (甲，乙) (甲，乙)
乙 (乙，甲) (乙，丙)
丙 (丙，甲) (丙，甲)
∵共有6种等可能事件，其中2种成立，
∴P(恰好选中甲和乙同学) ．
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（1）见解析；（2）线段CD的长为6．
【分析】（1）由AB∥CD得到∠A=∠D，∠B=∠C，根据相似三角形的判定方法得到△ABO∽△DCO；
（2）利用相似三角形的性质可计算出CD．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABO∽△DCO；
（2）解：∵△ABO∽△DCO，
∴，即，
∴CD=6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质知OA=OC，再由EFAC推出EF是线段AC的垂直平分线，得到AF=CF，AE=CE，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用平行线的性质推出，证出AF=AE=CE=CF，即可得到四边形AECF是菱形；
（2）先由AF平分，AF=CF，推出，结合推出，进而推出，代入求解即可求出AD的值．
【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点，
∴OA=OC，
∵EFAC，
∴EF是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，AE=CE，
在等腰三角形AFC中，EOAC，OA=OC，
（三线合一），
又平行四边形ABCD，
，
，
∴AF=AE=CE=CF，
四边形AECF是菱形．
（2）证明：∵AF平分，
，
∵AF=CF，
，
，
又，
，
，
∵CF=5，DF=2，
∴CD=7，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定，垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、相似三角形的判定和性质等知识，涉及知识点较多，难度一般，解题方法不唯一，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
20．(1)一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元
(2)当时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元
【分析】（1）设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为元，根据6份A套餐价格=5份B套餐价格列出方程解方程即可；
（2）两种套餐都提高a元后，根据销售A套餐获得的利润+销售B套餐获得的利润=2055元列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设一份A套餐的售价为x元，则一份B套餐的售价为元，根据题意得：
，
解得：，（元），
答：一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元．
（2）两种套餐都提高a元后，销售一份A套餐获得的利润为元，即元，
销售一份B套餐获得的利润为元，即元，
可以销售A套餐的份数为：份，即份，
可以销售B套餐的份数为：份，即份，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：当时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解题的关键．
21．(1)，
(2)的值为或
(3)的值
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出的值，根据点的运动，即可求解；
（2）根据点的运动，分类讨论，①当；②当；根据相似三角形的性质，图形结合分析即可求解；
（3）如图所示，过点作于点，根据三角形函数值的计算分别求出的值，再证，根相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：在，，，
∴，
∵动点从点到点的速度为每秒，动点从点到点的速度为每秒，运动时间为t秒（），
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：①当，
∴，即，垂足为点，
由（1）可知，，，，，
∵，
∴，即，解得，，符合题意；
②当，
∴，即，垂足为点，
∴，即，解得，，符合题意；
综上所述，与相似，的值为或．
（3）解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∵，，，
∴在中，，即，，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，即，解得，或，
∵运动时间为t秒（），
∴．
【点睛】本题主要考查动点与直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．
22．（1）①；②；（2）；证明见解析；（3）或．
【分析】（1）①，根据CE=BC，四边形ABCD为正方形，可得BC=CD=CE，根据CF⊥DE，得出CF平分∠ECD即可；
②，过点C作CG⊥BE于G，根据BC=EC，得出∠ECG=∠BCG=，根据∠ECH=∠HCD=，可得CG=HG，根据勾股定理在Rt△GHC中，，根据GE=，得出即可；
（2），过点C作交BE于点M，得出，先证得出，可证是等腰直角三角形，可得即可；
（3）或，根据，分两种情况，当∠ABE=90°-15°=75°时，BC=CE，先证△CDE为等边三角形，可求∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，根据CF⊥DE，得出DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，根据勾股定理HE=，当∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=，根据勾股定理EF=，再证FH=FE，得出EH=即可．
【详解】解：（1）①
∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=CE，
∵CF⊥DE，
∴CF平分∠ECD，
∴∠ECH=∠HCD，
故答案为：∠ECH=∠HCD；
②，过点C作CG⊥BE于G，
∵BC=EC，
∴∠ECG=∠BCG=，
∵∠ECH=∠HCD=，
∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+，
∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°，
∴CG=HG，
在Rt△GHC中，
∴，
∵GE=，
∴GH=GE+EH=，
∴，
∴，
∴，
故答案是：；
（2），
证明：过点C作交BE于点M，
则，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
（3）或，
∵，分两种情况，
当∠ABE=90°-15°=75°时，
∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，
∵CE=CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，
∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，
∵CF⊥DE，
∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，
∴EF=HF=1，
∴HE=，
当∠ABE=90°+15°=105°，
∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，
∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，
∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，
∵CE=BC=CD，CH⊥DE，
∴∠FCE=，
∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，
∴CF=，
∴EF=，
∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，
∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，
∴FH=FE，
∴EH=，
∴或．
【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差，掌握正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差是解题关键．
