2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）
3．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
4．（3分）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2）
5．（3分）如图，⊙O的直径CD＝30，AB是⊙O的弦，AB⊥CD．垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．24 C．16 D．2
6．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）
A．9 B．15 C． D．
8．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
9．（3分）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（3分）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x＝1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中：
①ac＜0；②2a+b＝0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根．
正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 ．
12．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ ．
13．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于 ．
14．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 ．
15．（4分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 ．
16．（4分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．
三.解答题（本大题有8小题，共66分.）
17．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当x＝6时，求y的值．
18．（6分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′：
（2）点B'的坐标是 ；
（3）△BOB'的形状是 ．
19．（6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
21．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过30m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为Sm2，AD的长度为xm．
（1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？
（2）当AD和AB分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
23．（10分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）．
（1）若该函数图象经过点B（﹣1，﹣2），
①求函数的表达式．
②若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．
（2）求2a+b2的最小值．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市上城区绿城育华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知⊙O的半径为5，若OP＝5.5，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，OP＝5.5，5.5＞5，
∴点P在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解答此题的关键．
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
3．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴点（2，﹣3）必在该图象上，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．（3分）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2）
【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接OB，
∵正方形OABC的边长为，
∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，
∴OB＝＝＝2，
∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，
∴B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，
∴点B1的坐标为（0，2），
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，⊙O的直径CD＝30，AB是⊙O的弦，AB⊥CD．垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．24 C．16 D．2
【分析】先根据⊙O的直径CD＝30，OM：OC＝3：5求出OA及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径CD＝30，
∴OC＝OA＝15，
∵OM：OC＝3：5，
∴OM＝9，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝12，
∴AB＝2AM＝24．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，
∴CO是△ABE的中位线，
∴EB＝2OC，
在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，
∵AO2＝OC2+AC2，
∴x2＝（x﹣1）2+22，
解得：，
即，，
∴EB＝2OC＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明CO是△ABE的中位线．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（ ）
A．9 B．15 C． D．
【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD，再根据三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴AD＝BD＝AB＝3，
∵OA＝OE，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD＝，
由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+BE2＝DE2，
即（3）2+（2x）2＝（3x）2，
解得x＝3或x＝﹣3（舍去），
即OD＝3，
∴S△DOE＝OD BD
＝×
＝，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出OD的长是正确解答的关键．
8．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°．
9．（3分）下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】分别根据垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；
（2）平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；
（4）每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆的认识，熟知垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系是解答此题的关键．
10．（3分）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x＝1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中：
①ac＜0；②2a+b＝0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根．
正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1可对②进行判断；由顶点P的坐标为（1，4）得到a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8，然后把2a＝﹣b代入得到b＝8﹣2c，则可对③进行判断；根据二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4，则当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m，
于是可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线的顶点P的坐标为（1，4），
∴a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8，
而2a＝﹣b，
∴b＝8﹣2c，
∵c＞0，
∴b＜8，所以③正确；
∵二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4，
∴当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m，
即方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 （0，4） ．
【分析】将x＝0代入解析式求解．
【解答】解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
12．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 40° ．
【分析】根据旋转的性质得出∠AOC＝55°，∠COD＝∠AOB＝15°，即可求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，
∴∠AOC＝55°，∠COD＝∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝55°﹣15°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．
13．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于 8 ．
【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，再求出OE的长，然后由勾股定理可求出CE的长，即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝5，AE＝2，
∴OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE的长是解答此题的关键．
14．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 x1＝﹣2，x2＝5 ．
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，即可得答案．
【解答】解：由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，
∵当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，
∴不等式x2+bx+c＜mx+n的解为﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．
16．（4分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 4﹣8． ．
【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝4﹣8，可得结论．
【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．
∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，
∴AH＝AO+OH＝12，
∴AT＝＝＝4，
∴∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠RCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝8，
∴AE≥AE﹣ET＝4﹣8，
∴AE的最小值为 4﹣8．
故答案为：4﹣8．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三.解答题（本大题有8小题，共66分.）
17．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当x＝6时，求y的值．
【分析】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定；
（2）将x＝6代入y＝（x﹣1）2+2即可．
【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2，
则y＝x2﹣2x+3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3；
（2）y＝（x﹣1）2+2．
当x＝6时，y＝（6﹣1）2+2＝27，
故x＝6时，y＝27；
【点评】本题考查二次函数的解析式顶点式与一般式的互化，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
18．（6分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′：
（2）点B'的坐标是 （﹣3，﹣4） ；
（3）△BOB'的形状是 等腰直角三角形 ．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由旋转可得OB＝OB'，∠BOB'＝90°，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求.
（2）由图可得，点B'的坐标是（﹣3，﹣4）．
（3）由旋转可得OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴△BOB'是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
19．（6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
20．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出BC＝4，再根据垂径定理得到BF＝CF＝2，然后利用勾股定理可计算出OF的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝＝，
即OF的长为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过30m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为Sm2，AD的长度为xm．
（1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？
（2）当AD和AB分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）因为AD＝x，所以AB＝80﹣2x，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方可化为顶点式．利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD的长度为xm，
∴AD＝BC＝x．
∵矩形除CD边外的三边总长为80m，
∴AB＝80﹣2x，且80﹣2x≤30，
∴x≥25，且x＜40，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+80x（25≤x＜40）；
（2）由（1）得S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且（25≤x＜40），
∵﹣2＜0，
∴当x＞20时，S随x的增大而减少，
∴当x＝25时，S取最大值，最大值＝750（m2），
此时AD＝25m，AB＝30m，
∴当AD＝25m，AB＝30m时，矩形的面积最大，最大值为750m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用中求最值的问题，解题关键是根据二次函数的性质求函数的最值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
23．（10分）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）．
（1）若该函数图象经过点B（﹣1，﹣2），
①求函数的表达式．
②若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．
（2）求2a+b2的最小值．
【分析】（1）①把（0，﹣1）和（2，7）代入二次函数解析式即可求出；
②把x＝﹣5代入解析式求出y1再根据y1+y2＝28进行计算，求出y2，把y2代入解析式即可求出；
（2）先根据图象经过点A（2，7），求出a，b之间的关系，再代入2a+b2，用二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）①把B（﹣1，﹣2）和A（2，7）分别代入y＝ax2+bx﹣1可得：
，
解得：，
∴函数的表达式为y＝x2+2x﹣1；
②把x＝﹣5代入二次函数得：y1＝25﹣10﹣1＝14，
∵y1+y2＝28，
∴y2＝14，
把y＝14代入二次函数得：x2+2x﹣1＝14，
解得：x1＝﹣5，x2＝3，
∵点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上两个不同的点，
∴m＝3；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7），
∴4a+2b﹣1＝7，
∴2a＝4﹣b，
∴2a+b2＝b2﹣b+4＝（b﹣）2+，
∵1＞0，
∴2a+b2的最小值为．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数求最值，解答问题的关键是熟练掌握二次函数的知识，难度不大．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x＝﹣求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x＝0，可求出点C坐标；令y＝0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），
∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0，
解得：b＝，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+x+4，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，
∴对称轴方程为：x＝3．
（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2，
∴B（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
（3）存在，
理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3，
可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4），
∴AC＝2，AQ＝，CQ＝．
①当AQ＝CQ时，
有＝，
25+t2＝t2﹣8t+16+9，
解得t＝0，
∴Q1（3，0）；
②当AC＝AQ时，
有2＝，
∴t2＝﹣5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC＝CQ时，
有2＝，
整理得：t2﹣8t+5＝0，
解得：t＝4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．
