武汉市武昌区名校2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试卷
一 单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题“对任意，均有”的否定为（ ）
A.对任意，均有
B.对任意，均有
C.存在，使得
D.存在，使得
2.设为两个集合，则是的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
3.已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为均大于零，则（ ）
A. B.
C. D.
6.对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如：.若方程的解集为，且，则实数的取值范围为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
7.已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
8.定义：[A]表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.且
二 多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.设全集，集合，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下面结论正确的是（ ）
A.若，则的最大值是-1
B.函数的最小值是2
C.函数的值域是
D.且，则的最小值是3
11.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
三 填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数的定义域为__________.
14.已知，则函数的值域为__________.
15.已知函数，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于__________.
16.已知正实数满足，则的最大值为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）已知为正实数且，求下列式子的最值.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值；
18.（本小题12分）设集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若全集，求实数的取值范围.
19.（本小题12分）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设.
（1）用的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）求的最大面积及相应的值.
20.（本小题12分）给定函数.且，用表示的较大者，记为.
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为3，试求实数的值.
21.（本小题12分）设函数，其中为常数且.新定义：若满足.但.则称为的回旋点.
（1）当时，求的值并判断是否为回旋点；
（2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点.
22.（本小题12分）已知函数，（其中）
（1）若，求的最小值：
（2）若，且函数定义域 值域均为，求的值；
（3）若函数的图像与直线在上有2个不同的交点，试求的范围.
答案
一 单选题（本大题共10小题，共50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题“对任意，均有”的否定为：存在，使得.故选.
2.解：，不能保证有公共元素，
但，说明中至少有一公共元素，，
则是的必要不充分条件，
故选.
3.解：由的定义域为，
得，所以，
所以的定义域为，
令，解得，
所以的定义域为.
故选：.
4.解：对于，因为，故，即，故错误；
对于，无法判断，故错误；
对于，因为，故正确；
对于，因为，故，即，故错误.
故选.
5.解：由题得，，且，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
，即，当且仅当时等号成立.
故选.
6.解：，得，所以，
，
当时，成立；
当时，或，即；
当时，或，即；
综上所述，或.
故选.
7.解：因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即时，等号成立，
所以，即，
因为对满足的所有正实数都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为1.
故选：.
8.解：，
，
，
又，
或，
方程的解为；
方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，
或或，
故只需要排除，
若，
①当，即时，
或，成立；
②若-1是方程的根，则，
，成立；
③若1是方程的根，则，
，成立，
0不可能是方程的根.
综上所述，当且仅当或时，，
故的取值范围是且，
故选：D.
二 多选题（本大题共5小题，共25.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.解：因为，所以，故与都不正确；
又因为全集，
所以，
因此，故与都正确.
10.解：时，.
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是2，
即的最小值是1，
从而的最大值是正确；
，当且仅当时等号成立，
但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，错；
时，，
因为，所以时，时，，
时，.
所以值域是正确；
且，
，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是正确.
故选：.
11.解：对任意的，总存在唯一的，使得，
转化为方程在上有唯一解，
即函数与有且只有一个交点，
作出的图象，如图所示：
由图象可知，当时，，
则，解得或（不符合题意，舍去），
故符合题意；
当时，对任意的，
要使函数与有且只有一个交点，
由图象可得，解得
当时，对任意的，
要使函数与有且只有一个交点，
由图象可得，解得，
综上所述，原命题成立的充要条件为，
对于是原命题成立的必要不充分条件，故错误；
对于是原命题成立的充分不必要条件，故正确；
对于是原命题成立的充分不必要条件，故正确；
对于是原命题成立的充要条件，故错误；
故选：.
12.解：因为，所以，
因为，且解集中的整数恰有3个，所以，
因为，所以，
从而，即，
因为，所以.
故选.
三 填空题（本大题共5小题，共25.0分）
13.解：由题可得，
即，
故函数的定义域为.
14.解：，
令，则，
，
易知该二次函数图像的对称轴方程为，
时，函数单调递增，
故答案为：.
15.解：由，令，则.
而，
所以对任意的，存在，使得成立.
因为，所以在上的值域为，
函数在上的值域为，
依题意有，
故，可得，得.
16.解：根据题意，由于
，
令，
当时，由已知可得，所以；
当时，
则
，
令；
，
当且仅当，即，即时取等号，
即的最大值.
故答案为.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：（1）
当且仅当取到最大值
（2）
当且仅当时取到最小值
18.解：（1）由，
得，因为，所以，
所以，
整理得，解得或-3，
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为-1或-3；
（2）由，可知，
所以，
所以，
综上，实数的取值范围为.
19.解：（1）如图，，由矩形的周长为，可知.设，则，
，
，
.
在Rt中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
即.
（2）的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，
得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，的面积最大值为.
20.解：（1）当时，，
令有，
，
在单调递减，在单调递增，
当时，取最小值；
（2），
①当时，即时，
在单调递减，单调递增，
，
即
（舍去）.
②当，即时，在单调递减，在单调递增，
，故此时无解，
③当时，在单调递减，单调递增，
，
即（舍去）
综上可得或.
21.解：（1），画出函数图象如图所示：
故的最小值为；
在上单调递增，，
（2）
故若函数定义域 值域均为，
则，即，解得；
（3）由，可得，
时，，
时，，
时，，
由于的对称轴在轴左侧，
则与在上最多有一个交点；
若与在上有两个交点，且，
即位于区间左侧，
则，可得，
其中与矛盾，所以此时无解；
若与在上有两个交点，且，即有一部分位于区间，
则可得，
为确保与没有交点，则，
又，所以，这与矛盾，所以此时无解；
若分别与在上有1个交点，则，解得；
综上所述：.
22.（1）是回旋点；（2），是的回旋点.
【详解】（1）当时，，
，
，
是回旋点；
（2）中时，值域也是，
又，
由，得，
当时，，
同理，时，，
，
当时，，
当，由得，
，故不是的回旋点，
当时，由得，
是的回旋点.
