山西省临汾市洪洞县第二中学校2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷
一、单选题
1．（2023八上·洪洞月考）计算=（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
2．（2023八上·洪洞月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x=2 D．x＜﹣2
3．（2023八上·洪洞月考）下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·洪洞月考）已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣1
5．（2020九上·南阳月考）已知a﹣b＝2 ﹣1，ab＝ ，则（a＋1）（b﹣1）的值为（ ）
A．﹣ B．3 C．3 ﹣2 D． ﹣1
6．（2023八上·洪洞月考）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
7．（2023八上·洪洞月考）观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
8．（2023八上·洪洞月考）下框是缘缘与芳芳两位同学解方程的过程：
缘缘： 两边同除以得： ， 解得：． 芳芳： 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：．
下列判断正确的是（ ）．
A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对
C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错
9．（2023八上·洪洞月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（2023八上·洪洞月考）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使面积为的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二、填空题
11．（2023八上·洪洞月考）计算的值是 ．
12．（2023八上·洪洞月考）已知x＝，则的值等于 ．
13．（2023八上·洪洞月考）若根式与为同类最简二次根式，则等于 ．
14．（2023八上·洪洞月考）若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是 ．
15．（2023八上·洪洞月考）如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是，则小正方形的边长为 ．
三、解答题
16．（2023八上·洪洞月考）计算：
（1） ；
（2）；
（3） ；
（4）.
17．（2023八上·洪洞月考）解方程：
（1） （因式分解法）
（2）（公式法）
（3）（配方法）
（4）．（适当方法）
18．（2023八上·洪洞月考）已知，，满足
（1）求，，的值；
（2）以，，为边能否构成直角三角形？请说明理由．
19．（2023八下·庐阳期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
20．（2023八上·洪洞月考）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是 ；
（2）若售价为每顶元，求每周的销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
21．（2023八上·洪洞月考）阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且____． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的 ， ．
（2）求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值．
22．（2023八上·洪洞月考）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为．
（1）当为何值时，的面积为？
（2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
23．（2023八上·洪洞月考）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法.
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（2）利用上述方法，填空：（ - ）；
（3）如果，且，，都是正整数，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 解：∵在实数范围内有意义 ，
∴，
∴，
∴x=2.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求解.
3．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 解：A、，与是同类二次根式，A符合题意；
B、，与不是同类二次根式，B不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同类二次根式的定义进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵a﹣b＝2 ﹣1，ab＝ ，
∴（a＋1）（b﹣1）＝ab﹣a＋b﹣1
＝ab﹣（a﹣b）﹣1
＝ ﹣（2 ﹣1）﹣1
＝﹣ .
故答案为：A.
【分析】把（a＋1）（b 1）写成含ab和a b的式子，再整体代入计算.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程的一个解是，
∴a+b+2=0，
∴a+b=-2，
∴2023-a-b=2023-（a+b）=2023-（-2）=2023+2=2025.
故答案为：D.
【分析】把代入方程得a+b=-2，接着2023-a-b变形为2023-（a+b），即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般.
故答案为：A.
【分析】根据题目中的规律，分析确定其蕴含的思想方法.
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：等式的两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立，
缘缘：两边同除以，其中有可能等于0，
所以，缘缘的做法错误；
芳芳的过程中，提取公因式应该得：，
所以，芳芳的做法错误.
故答案为：A.
【分析】根据等式的性质和一元二次方程的解法即可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，，
解得：且.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义即可求解.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】 解：设运动时间为t，
由题意得：AP=t，BQ=2t，
∵，，
∴BP=8-t，
∴，
∵面积为，
∴，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3时，面积为.
故答案为：B.
【分析】根据题意求出AP、PB、BQ的长，由三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解.
11．【答案】﹣1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可.
12．【答案】4
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：，
.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 解：∵根式与为同类最简二次根式，
∴，
解得：x=4，
∴.
故答案为：.
【分析】根据同类二次根式的定义可得关于x的方程，解方程得x的值，即可求解.
14．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且.
故答案为：且.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可求解.
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图，设小正方形的边长为xcm，则表面①和③的宽为xcm，
设表面②和④的宽为ycm，
∵ 大正方形的边长为，
∴2x+2y=8，即x+y=4，
∴剪掉的小长方形的长为4cm，宽为xcm，
∵折成的长方体盒子的表面积是，
∴，
解方程得：x1=1，x2=-5，
∴小正方形的边长为1cm.
故答案为：1.
【分析】设小正方形的边长为x cm，可得小长方形的宽为x cm，易求得小长方形的长为4cm，利用长方体盒子的表面积=大正方形的面积减去2个小正方形的面积和2个小长方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解.
16．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
=
=
= ；
（3）解：原式
=
=
=
=
=
=；
（4）解：原式
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（3）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（4）根据实数的运算法则及二次根式的性质进行计算即可.
17．【答案】（1）解：移项，得，
分解因式，得，
或，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴原方程无实数根；
（3）解：
∴，；
（4）解：，
，
，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（2）根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（4）根据一元二次方程的解法步骤进行计算即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴， ，=0，
∴，，；
（2）解：以，，为边不能构成直角三角形．
理由如下：
∵，，，
∴较小的两边之和为：，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质即可得出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算，然后判断即可.
19．【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且
（2）解：∵方程的一个根是，
，
解得，
∴方程为：，即，
解得．
即另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 (1)关于x的方程kx2-2x-1=0有个不相等的实数根，因此k≠0且△=b2-4ac >0，建立关于k的不等式组，解得k值范围即可；
(2)由一元二次方程的解的定义，x=-1代入方程，求出K的值，再解方程即可求得方程的另一个根.
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
（元），
答：每周的销售利润为元；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价或20元．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵每降价元，平均每周可多售出顶，
∴每降价1元，平均每周可多售出20顶，
设每顶头盔降价元，
∴平均每周可多售出20x顶，
∴平均每周的销售量为.
故答案为：.
【分析】（1）首先可以得到每降价1元，平均每周可多售出20顶，从而降价x元时，平均每周可多售出20x顶，由此可找出y与x之间的函数关系式.
（2）根据每周的销售利润=每顶的销售利润和每周的销售量之积，列出式子计算即可求出结论.
（3）根据每周的销售利润=每顶的销售利润和每周的销售量之积，可得到关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，再由降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可求解.
21．【答案】（1）；1
（2）解：一元二次方程中，
则，
所以，该方程的两根互为有理化的一对无理根．
（3）解：若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为
则另一根为．
一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，即．
无理根积为，即．
综上所述，，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
x=，
∴，，
∴.
故答案为：，1.
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得方程的根，利用两与系数的关系求得即可；
（2）根据公式法解一元二次方程得出方程的根即可判断；
（3）根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方的另一根，利用根与系数的关系求出p，q的值即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得：，，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴不符合题意，则，
∴当时，的面积为．
（2）解：由题意可得：，，，
∴，
∵为钝角三角形；且为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴方程无解，
∴不存在t使为等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意得到DQ=4-t，AP=6-2t，∠A=90°，根据三角形的面积公式得，再解方程并结合t的取值范围检验即可.
（2）由题意可得：DQ=4-t，AP=6-2t，AQ=t，由△APQ中的勾股定理得，由△PDQ为钝角三角形且为等腰三角形，可得DQ=PQ，建立方程，再利用方程根的判别式得到方程无解，所以不存在t使为等腰三角形．
23．【答案】（1）；
（2）1；2
（3）解：由(1)得，
∴，而，都为正整数，
∴，或，.
当，时，
当，时，
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，.
故答案为：；.
（2）.
故答案为：1；2.
【分析】（1）仿照阅读理解把展开，即可得答案.
（2）根据完全平方公式进行变形计算即可.
（3） 由（1）得，从而mn=3，因为，，都是正整数，所以分m=3，n=1或m=1， n=3两种情况，根据( 1 )的结论计算即可得到答案.
山西省临汾市洪洞县第二中学校2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷
一、单选题
1．（2023八上·洪洞月考）计算=（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
2．（2023八上·洪洞月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x=2 D．x＜﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 解：∵在实数范围内有意义 ，
∴，
∴，
∴x=2.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求解.
3．（2023八上·洪洞月考）下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 解：A、，与是同类二次根式，A符合题意；
B、，与不是同类二次根式，B不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同类二次根式的定义进行判断即可.
4．（2023八上·洪洞月考）已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
5．（2020九上·南阳月考）已知a﹣b＝2 ﹣1，ab＝ ，则（a＋1）（b﹣1）的值为（ ）
A．﹣ B．3 C．3 ﹣2 D． ﹣1
【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵a﹣b＝2 ﹣1，ab＝ ，
∴（a＋1）（b﹣1）＝ab﹣a＋b﹣1
＝ab﹣（a﹣b）﹣1
＝ ﹣（2 ﹣1）﹣1
＝﹣ .
故答案为：A.
【分析】把（a＋1）（b 1）写成含ab和a b的式子，再整体代入计算.
6．（2023八上·洪洞月考）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2025
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程的一个解是，
∴a+b+2=0，
∴a+b=-2，
∴2023-a-b=2023-（a+b）=2023-（-2）=2023+2=2025.
故答案为：D.
【分析】把代入方程得a+b=-2，接着2023-a-b变形为2023-（a+b），即可求解.
7．（2023八上·洪洞月考）观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般.
故答案为：A.
【分析】根据题目中的规律，分析确定其蕴含的思想方法.
8．（2023八上·洪洞月考）下框是缘缘与芳芳两位同学解方程的过程：
缘缘： 两边同除以得： ， 解得：． 芳芳： 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：．
下列判断正确的是（ ）．
A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对
C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：等式的两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立，
缘缘：两边同除以，其中有可能等于0，
所以，缘缘的做法错误；
芳芳的过程中，提取公因式应该得：，
所以，芳芳的做法错误.
故答案为：A.
【分析】根据等式的性质和一元二次方程的解法即可求解.
9．（2023八上·洪洞月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，，
解得：且.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义即可求解.
10．（2023八上·洪洞月考）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使面积为的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】 解：设运动时间为t，
由题意得：AP=t，BQ=2t，
∵，，
∴BP=8-t，
∴，
∵面积为，
∴，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3时，面积为.
故答案为：B.
【分析】根据题意求出AP、PB、BQ的长，由三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解.
二、填空题
11．（2023八上·洪洞月考）计算的值是 ．
【答案】﹣1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可.
12．（2023八上·洪洞月考）已知x＝，则的值等于 ．
【答案】4
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：，
.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.
13．（2023八上·洪洞月考）若根式与为同类最简二次根式，则等于 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 解：∵根式与为同类最简二次根式，
∴，
解得：x=4，
∴.
故答案为：.
【分析】根据同类二次根式的定义可得关于x的方程，解方程得x的值，即可求解.
14．（2023八上·洪洞月考）若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且.
故答案为：且.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可求解.
15．（2023八上·洪洞月考）如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是，则小正方形的边长为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图，设小正方形的边长为xcm，则表面①和③的宽为xcm，
设表面②和④的宽为ycm，
∵ 大正方形的边长为，
∴2x+2y=8，即x+y=4，
∴剪掉的小长方形的长为4cm，宽为xcm，
∵折成的长方体盒子的表面积是，
∴，
解方程得：x1=1，x2=-5，
∴小正方形的边长为1cm.
故答案为：1.
【分析】设小正方形的边长为x cm，可得小长方形的宽为x cm，易求得小长方形的长为4cm，利用长方体盒子的表面积=大正方形的面积减去2个小正方形的面积和2个小长方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解.
三、解答题
16．（2023八上·洪洞月考）计算：
（1） ；
（2）；
（3） ；
（4）.
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
=
=
= ；
（3）解：原式
=
=
=
=
=
=；
（4）解：原式
=
=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（3）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（4）根据实数的运算法则及二次根式的性质进行计算即可.
17．（2023八上·洪洞月考）解方程：
（1） （因式分解法）
（2）（公式法）
（3）（配方法）
（4）．（适当方法）
【答案】（1）解：移项，得，
分解因式，得，
或，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴原方程无实数根；
（3）解：
∴，；
（4）解：，
，
，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（2）根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
（4）根据一元二次方程的解法步骤进行计算即可.
18．（2023八上·洪洞月考）已知，，满足
（1）求，，的值；
（2）以，，为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴， ，=0，
∴，，；
（2）解：以，，为边不能构成直角三角形．
理由如下：
∵，，，
∴较小的两边之和为：，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质即可得出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算，然后判断即可.
19．（2023八下·庐阳期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且
（2）解：∵方程的一个根是，
，
解得，
∴方程为：，即，
解得．
即另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 (1)关于x的方程kx2-2x-1=0有个不相等的实数根，因此k≠0且△=b2-4ac >0，建立关于k的不等式组，解得k值范围即可；
(2)由一元二次方程的解的定义，x=-1代入方程，求出K的值，再解方程即可求得方程的另一个根.
20．（2023八上·洪洞月考）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是 ；
（2）若售价为每顶元，求每周的销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
（元），
答：每周的销售利润为元；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价或20元．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵每降价元，平均每周可多售出顶，
∴每降价1元，平均每周可多售出20顶，
设每顶头盔降价元，
∴平均每周可多售出20x顶，
∴平均每周的销售量为.
故答案为：.
【分析】（1）首先可以得到每降价1元，平均每周可多售出20顶，从而降价x元时，平均每周可多售出20x顶，由此可找出y与x之间的函数关系式.
（2）根据每周的销售利润=每顶的销售利润和每周的销售量之积，列出式子计算即可求出结论.
（3）根据每周的销售利润=每顶的销售利润和每周的销售量之积，可得到关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，再由降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可求解.
21．（2023八上·洪洞月考）阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且____． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的 ， ．
（2）求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值．
【答案】（1）；1
（2）解：一元二次方程中，
则，
所以，该方程的两根互为有理化的一对无理根．
（3）解：若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为
则另一根为．
一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，即．
无理根积为，即．
综上所述，，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
x=，
∴，，
∴.
故答案为：，1.
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得方程的根，利用两与系数的关系求得即可；
（2）根据公式法解一元二次方程得出方程的根即可判断；
（3）根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方的另一根，利用根与系数的关系求出p，q的值即可.
22．（2023八上·洪洞月考）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为．
（1）当为何值时，的面积为？
（2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：，，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴不符合题意，则，
∴当时，的面积为．
（2）解：由题意可得：，，，
∴，
∵为钝角三角形；且为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴方程无解，
∴不存在t使为等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意得到DQ=4-t，AP=6-2t，∠A=90°，根据三角形的面积公式得，再解方程并结合t的取值范围检验即可.
（2）由题意可得：DQ=4-t，AP=6-2t，AQ=t，由△APQ中的勾股定理得，由△PDQ为钝角三角形且为等腰三角形，可得DQ=PQ，建立方程，再利用方程根的判别式得到方程无解，所以不存在t使为等腰三角形．
23．（2023八上·洪洞月考）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法.
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（2）利用上述方法，填空：（ - ）；
（3）如果，且，，都是正整数，求的值.
【答案】（1）；
（2）1；2
（3）解：由(1)得，
∴，而，都为正整数，
∴，或，.
当，时，
当，时，
【知识点】二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，.
故答案为：；.
（2）.
故答案为：1；2.
【分析】（1）仿照阅读理解把展开，即可得答案.
（2）根据完全平方公式进行变形计算即可.
（3） 由（1）得，从而mn=3，因为，，都是正整数，所以分m=3，n=1或m=1， n=3两种情况，根据( 1 )的结论计算即可得到答案.
