2023-2024学年深圳市福田区八校联考试卷模拟卷
数学试卷
一、单选题（30分）
1．一元二次方程5x2﹣11x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．已知反比例函数，在每个象限内y随着x的增大而增大，点P
（a－1， 2）在这个反比例函数上，a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．一元二次方程x2-x=2020的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．如图，在 ABCD中，AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ABEF的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．如图， ， 、 分别是 的高和中线， 、 分别是 的高和中线，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
7．方程的常数项是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．如图，在 中，点 在 上， ．若 ，则 等于（ ）
A．5 B．6 C． D．
9．某社区要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题（15分）
11．如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到 ，已知点 的坐标是 ，则点 的坐标是 .
12．已知一元二次方程x2﹣2x+n＝0的一个根为1+ ，则另一个根为 .
13．如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在 s时，与相似.
14．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则矩形的对角线长为 .
15．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为
三、计算题（12分）
16．解方程.
17．若关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取值范围.
四、解答题（43分）
18．如图，为了测量池塘的宽 ，在岸边找到点 ，测得 ，在 的延长线上找一点 ，测得 ，过点 作 交 的延长线于 ，测出 ，则池塘的宽 为多少
19．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，EF＝9，求DE的长.
20．如图是一个粮仓（圆锥与圆柱组合体）的示意图，请画出它的三视图．
21．如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的 ，镜框的宽度应该多少厘米？
22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
23．综合题
（1）探究：如图1 ，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(a，b).
①若 ，请用含n的代数式表示 ；
②求证： ；
（2）应用：如图2，直线l与坐标轴的正半轴分别交于点A，B两点，与反比例函数 的图象交于点C，D两点(点C在点D的左边)，已知 ，△OBD的面积为1，试用含m的代数式表示k.
参考答案与解析
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵在方程5x2﹣11x+4=0中，△=（﹣11）2﹣4×5×4=41＞0，
∴方程5x2﹣11x+4=0有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】根据根的判别式找出△=41＞0，由此即可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据函数的增减性判断出图象所在象限，进而得出图象上点的坐标特征，将四个选项的数值代入P（a-1，2)验证即可．
【解答】∵反比例函数，在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴函数图象在二、四象限，
∴图象上的点的横、纵坐标异号．
A、a=0时，得P（-1，2)，故本选项正确；
B、a=1时，得P（0，2)，故本选项错误；
C、a=2时，得P（1，2)，故本选项错误；
D、a=3时，得P（2，2)，故本选项错误．
故选A．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟悉反比例函数的性质，同时要注意数形结合．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 一元二次方程x2-x=2020化成一般形式为x2-x-2020=0，
∴ =（-1）2-4×1×（-2020）=8081＞0，
∴方程有两个不相等的实数根 .
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答，先把一元二次方程化成一般形式，计算出判别式 ＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根.
4．【答案】A
【知识点】等式的性质；平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】由作法得AB＝AF＝3，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴BE∥AF
∴∠BEA＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝BA＝3，
∴BE＝AF
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF
∴四边形ABEF为菱形，
∴四边形ABEF的周长＝4×3＝12.
故答案为：A.
【分析】利用基本作图得到AB=AF=3，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质得BC∥AD，则∠BEA=∠FAE，所以∠BAE=∠BEA，从而得到BE=BA=3，于是可判断四边形ABEF为菱形，于是得到四边形ABEF的周长.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，
∴
∵AD=4，A′D′=3，BE=6，
∴
解得：
故答案为：D.
【分析】由△ABC∽△A′B′C′，AD，根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比可得比例式求解。
6．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中：从左面看易得共两层，下层有3个正方形，上层最左边有一个正方形。故选A.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得：
常数项为-2
故答案为：D
【分析】根据方程常数项的定义即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ADC和△ACB中，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AB AD，
∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，
∴AC2=5×2=10，
∵AC＞0，
∴AC= ，
故答案为：D．
【分析】根据两角对应相等，即可证明△ADC∽△ACB，得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB AD，将数字代入计算即可求出AC的值。
9．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
A B C
A B，A C，A
B A，B C，B
C A，C B，C
由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者和的有2种结果，
所以恰好抽到志愿者和的概率为．
故答案为：A
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5﹣4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故答案为：C．
【分析】 先根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形最上面的边的距离，进而求出这条边到三角形纸片的底的距离，即为此正方形（包括此正方形）下面的所有矩形的宽度的和，然后再根据矩形的宽求得是第几张．
11．【答案】（1，2）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，∴点A′的坐标是（2× ，4× ），即（1，2）．故答案为（1，2）．
【分析】根据B与B'的坐标可知，位似三角形的相似比。进而得到A'与A的坐标关系。
12．【答案】1﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，则：（1+ ）+a＝2，
解得：a＝1﹣ ，
即方程的另一个根为1﹣ .
故答案为：1- .
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系可得(1+)+a＝2，求解即可.
13．【答案】或
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设x秒后与相似，
当时，
，
即，
解得，
当时，
，
即，
解得，
即秒或秒后与相似.
故答案为：或.
【分析】设x秒后△ABC与△PQC相似，然后分△PCQ∽△ACB、△PCQ∽△BCA，结合相似三角形的对应边成比例计算即可.
14．【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=AB=12cm，
∴AC=2OA=2×12=24cm．
故答案为24．
【分析】根据题意画出图形，得出△ABO是等边三角形，即可求解．
15．【答案】3或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3.
故答案为：或3.
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC=5，由折叠的性质可得∠AB′E=∠B=90°，EB=EB′，AB=AB′=3，则CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，利用勾股定理可得x；②当点B′落在AD边上时，此时ABEB′为正方形，则BE=AB，据此解答.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 用配方法解一元二次方程的步骤：
1、把原方程化为一般形式；
2、方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4、把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
5、进一步通过直接开平方法求出方程的解
17．【答案】解：根据题意得 且 ，
解得 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求出两个不等式的公共部分即可.
18．【答案】解：∵AB∥DE，
∴△CED∽△CBA，
∴ ，即
∴DE=60（m）.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证出 △CED∽△CBA，得出 ，代入数值进行计算，即可求出DE的长.
19．【答案】解：∵ 直线l1∥l2∥l3，
∴ ，
而AB＝6，BC＝10，EF＝9，
∴ ，
解得： .
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，据此即可求解.
20．【答案】
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【解答】解：正确的三视图如图所示： ．
【分析】认真观察实物，可得这个几何体的主视图和左视图都为长方形上面一个三角形，俯视图为一个有圆心的圆．
21．【答案】解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得：
（30+2x）（20+2x）﹣30×20＝30×20× ，
整理，得：x2+25x﹣54＝0，
即：（x+27）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣27（舍）或x＝2，
答：镜框边的宽度应是2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设镜框的宽度为xcm， 然后分别表示出大长方形的长和宽，再根据镜框所占面积为照片面积的 ，构建方程求解即可.
22．【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】先求出 四边形OCED是平行四边形，再利用菱形的判定方法证明即可。
23．【答案】（1）①∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB=90°，又∵∠ACE=∠DCG，∴△ACE∽△DCG∴ ；
②证明：易证△ACE∽△DCG∽△DBF
又∵G(a，b) ∴C( ) ，D(a， ) ∴
即△ACE与△DBF都和△DCG相似，且相似比都为
∴△ACE≌△DBF
∴AC=BD.
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H
由（2）可得AC=BD
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）①由直角相等，对顶角相等，可证明△ACE∽△DCG， ；②由①同理可证明△ACE∽△DCG∽△DBF，通过证明△ACE∽△DCG相似比与△DBF∽△DCG相似比相等，则可证得△ACE≌△DBF，则AC=BD；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，则DH//OA，所以有 ， ，根据反比例函数k的几何意义可得 ，
则可写出 ，代入比可解得.
