5.5 三角恒等变换一课一练
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．7 D．-7
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．洛阳栾川老君山形成于十九亿年前的大陆造山运动，造就了其千姿百态、群蜂竞秀、拔地通天、气势磅礴的景观，塑造了“华夏绿色心脏，世界地质奇观”的主题形象.某旅游爱好者在老君山山脚（处的海拔高度约为830m）测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走1200m到达处，在处测得山顶的仰角为75°，则老君山的海拔高度约为（ ）（参考数值：，）
A．1469m B．1869m C．2299m D．2399m
二、多选题
8．下列说法正确的有（ ）
A．，
B．不存在无穷多个和的值，使得
C．存在这样的和的值，使得
D．当取最大值时，
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为2π
B．为奇函数
C．在区间上单调递增
D．的最小值为
三、填空题
10．已知 均为锐角， ， .
11．设当 时，函数 取得最大值，则 .
12．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 的斜边 、直角边 、 ， 为 的中点，点 在以 为直径的半圆上.已知以直角边 ， 为直径的两个半圆的面积之比为3， ，则 ．
四、解答题
13．已知sinα=﹣ ，tan（α+β）=﹣3，π＜α＜ ，0＜β＜π．
（Ⅰ）求tanβ；
（Ⅱ）求2α+β的值．
14．已知函数 .
（1）若对任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数 ，求 在区间 内的所有零点之和.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故 ．
故答案为：A
【分析】首先由两角和的正弦公式整理化简原式，再由诱导公式整理即可得出答案。
2．【答案】A
【解析】【解答】sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30° ，
故答案为：A．
【分析】利用两角和正弦公式计算即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】根据 ,可得 ,则 ，根据正切和角公式有 ，
故答案为：D。
【分析】利用结合同角三角函数基本关系式，从而求出角的余弦值，进而求出角的正切值，再利用两角差的正切公式，从而求出的值。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】结合三角比关系，计算出，结合正切的两角和公式，即可得出答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】 ， ，
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式，即可得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以，分子分母同除得，解得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再结合二倍角的正切公式，进而得出的值。
7．【答案】C
【解析】【解答】依题意可得如下图形，
其中，，，，
则，令，，，
所以，
，
则，即，
所以，
其中，
，
，
所以
，
所以点的海拔约为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义以及两角和与两角差的正弦公式、余弦公式和正切公式，进而得出点P的海拔。
8．【答案】C,D
【解析】【解答】A：，错误；
由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B不符合题意，C符合题意；
D：由且，故，则，解得，正确.
故答案为：CD
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦函数性质的应用逐一判断即可.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】A、 ，的最小正周期，A错误；
B、，为奇函数，B正确；
C、当 时， ，单调递增，C正确；
D、当时，取最小值为，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质逐一选项.
10．【答案】
【解析】【解答】由 ， 都是锐角，且 ，知 ， ，
所以 ， ，又
．
故答案为： ．
【分析】由同角的三角函数关系与两角和的余弦公式计算即可。
11．【答案】
【解析】【解答】 ，当 时 取得最大值，即 ，所以 .
【分析】由题首先运用三角函数差角公式化简所给三角函数，然后运用三角函数图象性质求得对应最大值时的角，进而得到所求角的余弦值.
12．【答案】
【解析】【解答】因为以直角边 ， 为直径的两个半圆的面积之比为3，
所以 ,
设 ，则 ，且 ，
由已知得： ，整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： 。
【分析】因为以直角边 ， 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以 ,设 ，则 ，且 ，由已知得： ，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出，再利用二倍角的余弦公式，从而求出角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求出角的正弦值，再利用两角差的余弦公式，从而求出的值。
13．【答案】解：（Ⅰ）因为π＜α＜ ，∴cosα=﹣ =﹣ ，∴tanα= = ，∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]= = =7．（Ⅱ）因为tan（α+β）=﹣3，tanα= ，所以tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]= = =﹣1．由（Ⅰ）知tanβ＞1，所以 ＜β＜ ．又因为π＜α＜ ，所以2π+ ＜2α+β＜ ，所以2α+β=2π+ = ．
【解析】【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数的基本公式可求得tanα=，再由拼凑法可得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=7.
（Ⅱ）由已知拼凑可得 tan（2α+β）=tan[（α+β）+α] 根据两角和差的正切值可求得结果。
14．【答案】（1）解：因为
， 所以 .
又 ，所以 ， 故 ，即 ， ，
所以实数m的取值范围为
（2）解：由（1）得 ，
令 ，得 ，由正弦函数图象可知， 在 上有4个零点
这4个零点从小到大不妨设为 ， ， ， ，则由对称性得 ， ，
从而所有零点和为 .
【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到 ，从而得到 的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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