复数（二）
一、选择题
1．（2024高三上·硚口）若复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·达州期末）若是方程的复数根，则（ ）
A．2 B．2i C．4 D．4i
3．（2023高二下·镇巴县期末）复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2023高一下·衢州期末） 若复数，则复数的模为（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．（2023高一下·杭州期末） 若（是虚数单位），则（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023高二下·龙岗期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·黄埔）设复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·深圳期中）已知复数的模等于2，则实数的值为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
9．（2023高二下·嘉兴月考）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023高三下·梅河口月考）若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B．-1 C． D．1
11．（2023高一下·湖口期中）复数的实部为，且，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．-1
12．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足，则在复平面内所对应的点是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·普宁月考）若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2023·全国乙卷）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
15．（2023高一下·浙江期中）若，则（ ）
A．32 B．16 C．4 D．2
16．（2023高一下·安徽期中）已知i是虚数单位，若，则实数a=（ ）
A．2 B．2 C．-2 D．±2
17．（2023·铜川模拟）已知复数，满足，，则（ ）
A． B． C． D．6
18．（2023·玉林模拟）已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（ ）
A．1＋i B．2 C． D．－1＋i
19．（2023高一下·汕头期末）设复数(为虚数单位)，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023高一下·安徽月考）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的虚部与实部相等
C． D．存在复数，使
22．（2023高一下·通州月考）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
23．（2023·广州模拟）下列关于某个复数的说法中，①②③④有且只有一个说法是错误的，则错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、解答题
24．（2023高二上·西乡县开学考）已知i是虚数单位，.
（1）求；
（2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
25．（2023高一下·资阳期末）已知复数，，其中i是虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求m的值；
（2）若，求的虚部.
26．（2023高一下·黄浦期末）已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为实数，求；
（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求．
27．（2023高一下·浙江期中）已知复数，，在复平面内所对应的点为A.
（1）若复数为纯虚数，求实数m的值；
（2）若点A在第二象限，求实数m的取值范围.
28．（2023高一下·成都期末）设复数，i为虚数单位，且满足．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
29．（2023高一下·渭源期末）已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数及其模.
30．（2023高一下·太原期中）已知复数，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： ， 复数的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】根据复数的除法和模长公式先求复数，进而得到复数的虚部.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 或，故
故答案为：A.
【分析】先求出 或，再结合复数模的公式求得.
3．【答案】B
【解析】【解答】由题意得，.
故答案为：B
【分析】先根据复数的四则运算求出，再求 。
4．【答案】A
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】先化简复数为z=a+bi的形式，再利用求模公式即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵z·i=2+3i，
∴z＝＝＝3 2i，
所以|z|＝＝．
故选：C．
【分析】 先求得z=3-2i，再根据模长公式即可求解|z|．
6．【答案】C
【解析】【解答】因为， 则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算求，进而求模长.
7．【答案】A
【解析】【解答】由题意得
则
故选：A
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：因为复数的模等于2，
所以，
解得m=1或3，
故选：A
【分析】根据复数的求模公式，代入数据，解方程即可得答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】
则|z|=
故选：C.
【分析】先化简z，再根据模得计算公式求|z|.
10．【答案】D
【解析】【解答】由，可得，
则，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：设复数z=1+bi，则 ，
所以 ，解得b=1，z=1+i，
故选：C
【分析】设出复数z=1+bi，求出模长，便可解得.
12．【答案】B
【解析】【解答】 ，，在复平面内所对应的点是.
故选：B
【分析】先求出 ，在求得出答案。
13．【答案】D
【解析】【解答】，
所以共轭复数为，则在复平面内对应的点的坐标为（4，-2），位于第四象限.
故答案为：D
【分析】先利用复数的模的公式和复数的商的运算化简复数，从而得到共轭复数，即可得到对应点所在象限.
14．【答案】C
【解析】【解答】，，.
故选：C
【分析】利用，直接代入计算。
15．【答案】B
【解析】【解答】设，所以，，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数求模公式和复数的乘法运算法则，进而得出的值。
16．【答案】D
【解析】【解答】，
，
解得，
故答案为：D
【分析】由复数模的计算公式求解，可得答案.
17．【答案】C
【解析】【解答】由，则，，
故答案为：C.
【分析】根据复数模长的运算性质，可得答案.
18．【答案】D
【解析】【解答】设复数z对应的点为(x，y)，则
，，
∴复数z对应的点为，
∴．
故答案为：D.
【分析】由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z代数形式.
19．【答案】D
【解析】【解答】，
∴，
故选：D.
【分析】根据复数的四则混合运算计算即可.
20．【答案】A
【解析】【解答】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为， ，
所以 ，，
则，
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内对应的点可得复数，的代数形式，再利用复数的除法运算以及复数的模的性质即可求解.
21．【答案】D
【解析】【解答】解：A、因为，所以A错误；
B、复数z的实部是，虚部是，故B错误；
C、，故C错误；
D、取z1=1+i，则，
存在复数z1，使zz1<0，故D正确；
故选：D.
【分析】根据已知条件，利用复数的四则运算和分母实数化对复数z化简，即可判断A选项，利用实部、虚部的定义，复数模的公式判断B、C选项，利用特殊值判断D选项.
22．【答案】B
【解析】【解答】设，，，即.
复数对应的点表示以为圆心，为半径的圆，
表示圆上点到的最小值，
故选：B
【分析】用代数式表示利用得出实部与虚部关系，再利用复数的几何意义结合点到圆上距离最小求解。
23．【答案】C
【解析】【解答】设，
对于① ：因为，
若，则，解得；
对于② ：因为，
若，则，解得；
对于③：因为，表示复平面中复数对应的点到点的距离为1，
符合条件的点Z是以点为圆心，半径为1的圆，所以；
对于④：因为，
若，则；
可知①②④结果相同，由题意可知①②④正确，③错误.
故答案为：C.
【分析】对于① ：根据复数的乘法和模长公式运算求解；对于② ：根据复数的除法结合复数的相关概念运算求解；对于③：根据复数的几何意义分析求解；对于④：根据共轭复数的定义分析求解.
24．【答案】（1）解：根据复数的运算法则，
可得，
所以.
（2）解：设，则，
因为是纯虚数，所以且，
解得，所以.
【解析】【分析】（1）先利用复数的除法运算化简复数，再利用模长公式计算即可；
（2）设，利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义得到m，从而求得.
25．【答案】（1）解：由题意得，
因为为纯虚数，所以且，解得.
（2）解：因为，所以，即，
所以，所以，所以的虚部为.
【解析】【分析】（1）先由，，求出，再根据为纯虚数，根据纯虚数满足的条件列式求m的值即可；
（2）将代入中化简可得，再根据复数乘法、除法运算化简，即可求其虚部.
26．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
因为为实数，所以，解得，所以
（2）解：因为，在复平面上所对应的点为、，
所以、，则、，
因为，所以，解得，
所以.
【解析】【分析】 (1) 根据复数的乘法可得，再结合复数的相关概念列式求解；
(2) 根据复数的几何意义可得、，再结合向量垂直的坐标表示运算求解.
27．【答案】（1）解：由已知，.
因为复数为纯虚数，所以有，
解得.
（2）解：根据复数的几何意义，可知.
因为点A在第二象限，所以，
解得，或.
【解析】【分析】(1)根据纯虚数实部为0，虚部不为0，求实数m的值；
(2)根据复数几何意义实部小于0，虚部大于0，求实数m的取值范围 。
28．【答案】（1）解：设，
，
，解得.
（2）解：是方程的一个根，
，即，
则
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数模公式即可求解.
（2）根据已知条件，结合韦达定理求出二次方程系数.
29．【答案】（1）解：将代入
得，
∵为纯虚数，∴，
解得，
所以复数.
（2）解：由（1）知，
，
.
【解析】【分析】(1)将复数z表达式代入，进行混合运算化简，再根据纯虚数的定义，求出a.
(2)将复数z表达式代入ω，并对分母进行有理化，化简ω，并根据复数的模的定义，求得模长.
30．【答案】（1）解：因为，
，
又为纯虚数，
，
解得.
（2）解：，
因为复数所对应的点在第二象限，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的取值范围.
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