2023-2024学年苏科版九年级数学上第八周周末提优训练（期中复习一）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
2.若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，﹣2 B．﹣1，0 C．1，0 D．无法确定
3．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2 022的值为( )
A．2 024 B.2 023 C．2 022 D．2 021
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连结BE，DE.若∠A＋∠ABC＋∠ADC＝240°，则∠E＝( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为( )
A．16° B．21° C．32° D．37°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
9. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为( )
A.32° B.31° C.29° D.61°
10. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ ）.
A. B. C. 5 D. 6
二．填空题(每小题3分 共30分)
11．若，则代数式的值为 ．
12．直角三角形的两条边长分别为3和4，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．
13．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．
14．如图所示，在圆内有折线，其中，，，则的长为 ．
15.如图，是的弦，，点是上的一个动点，且．若点，分别是，的中点，则长的最大值是 ．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
16．如图，已知是的内切圆，切点为、、，如果，，，则内切圆的半径 ．
17．如图，点、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则 ．
18.如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ．
19．如图，点A到直线l的距离为3，⊙A的半径为2，C、P分别为⊙A和l上的动点，以PC为直角边的Rt△PBC与圆A始终相切于点C，且∠P＝30°，则斜边PB的最小值为 ．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为________.
三．解答题（60分）
21.（12分）解方程：
（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法） （2）x2+8x﹣9=0（配方法）
（3）2x2﹣4x﹣5=0（公式法） （4）2x2+10x=0 （因式分解法）
22.(8分)如图四边形ABCD是☉O的内接四边形,四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠E=40°,∠F=50°,连接BD.
(1)求∠A的度数;
(2)当☉O的半径等于2时,请直接写出的长(结果保留π).
23.(8分)阅读下列材料:
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程.例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;
(2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系.
24.(12分)如图14①所示,OA是☉O的半径,D为OA上的一个动点,过点D作线段CD⊥OA交☉O于点F,过点C作☉O的切线BC,B为切点,连接AB,交CD于点E.
(1)求证:CB=CE;
(2)如图②,当点D运动到OA的中点时,CD刚好平分,求证:△BCE是等边三角形;
(3)如图③,当点D运动到与点O重合时,若☉O的半径为2,且∠DCB=45°,求线段EF的长.
25．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2) 类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3) 提升：已知实数s，t满足且，求的值．
26.（12分）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°．
【初步运用】
（2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ D ） A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
2．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ A ） A．1，﹣2 B．﹣1，0 C．1，0 D．无法确定
3．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（ B ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：4x+＝4x﹣4++4＝4（x﹣1）++4，∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，∴4x+的最小值是8．故选：B．
4、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ A ）
A． B． C． D．
解:依题意得,,代入得,∴,∴.故选A
5．已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2 022的值为( A )
A．2 024 B.2 023 C．2 022 D．2 021
解： ∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m2－2m－1＝0，∴m2－2m＝1，
∴2m2－4m＋2 022＝2(m2－2m)＋2 022＝2×1＋2 022＝2 024.
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连结BE，DE.若∠A＋∠ABC＋∠ADC＝240°，则∠E＝( B )
A．55° B．60° C．65° D．70°
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为( B )
A．16° B．21° C．32° D．37°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ B ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
9. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为( A )
A.32° B.31° C.29° D.61°
解:记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.
10. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ A ）.
A. B. C. 5 D. 6
解：作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，∴CD=10，BC=6，∠ABC=90°，∵DE为直径，∴∠DME=∠DMC=90°，
∵CD的中点为F，AB=10，∴FM= FM=5，由对称可知，BH=BN= ，CH=9，
，GM+GN最小值为，故选：A．
二．填空题(每小题3分 共30分)
11．若，则代数式的值为 ．
12．直角三角形的两条边长分别为3和4，那么这个三角形的外接圆半径等于 或2 ．
13．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．
14．如图所示，在圆内有折线，其中，，，则的长为 20 ．
解：延长交于，作于；，；为等边三角形；；，又，；
；；故答案为20．
15.如图，是的弦，，点是上的一个动点，且．若点，分别是，的中点，则长的最大值是 ．
解：点，分别是，的中点，，当取得最大值时，就取得最大值，当时直径时，最大，如图，，，，
，故答案为：．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
16．如图，已知是的内切圆，切点为、、，如果，，，则内切圆的半径 1 ．
解：是的内切圆，切点为、、，，，，
，，，，，，，，，是直角三角形，内切圆的半径，故答案为：1．
17．如图，点、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则 ．
解：连接，四边形是平行四边形，，又，，为等边三角形，，，，，由圆周角定理得，故答案为：．
18.如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ．
解：如图，作直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切长最小，的坐标为，设直线与轴，轴分别交于，，，，
，，，，在与中，，，，．
，此时最小，所以此时切线长也最小，最小值为．
19．如图，点A到直线l的距离为3，⊙A的半径为2，C、P分别为⊙A和l上的动点，以PC为直角边的Rt△PBC与圆A始终相切于点C，且∠P＝30°，则斜边PB的最小值为 ．
解：连结AC，AP，作AP′⊥l于P′如图，AP′＝3，∵PC切⊙O于点C，∴AC⊥PC，∴∠PCA＝90°，∴PC，当点P运动到点P′的位置时，AP最小时，则PC最小，此时AP＝3，∴PC的最小值为．∴以PC为直角边的Rt△PBC，∵∠P＝30°，∴PBPC，∴斜边PB的最小值为，故答案为：．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为20，以A为圆心，AD长为半径作，点E在上，∠DEC＝135°，则△DEC的面积为___40______.
解：如图，取BC的中点T，连接AT交BE于J，连接AE，ET，延长CE交AD于P，过点D作DH⊥CP于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝20，∵AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠EAD）＝135°，∵∠CED＝135°，∴∠BEC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵BT＝CT，∴TE＝TB＝TC，∵AB＝AE，∴AT垂直平分线段BE，∵CE⊥BE，∴AT∥CP，∵AP∥CT，∴四边形ATCP是平行四边形，∴AP＝CT＝10，∴PD＝AP＝10，
∴PC＝＝＝10，∵DH⊥PC，∴ CD PD＝×PC×DH，∴DH＝4，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，在△BEC和△CHD中，
，∴△BEC≌△CHD（AAS），∴EC＝DH＝4，∴S△DEC＝ EC DH＝40．
三．解答题（60分）
21.（12分）解方程：
（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法） （2）x2+8x﹣9=0（配方法）
（3）2x2﹣4x﹣5=0（公式法） （4）2x2+10x=0 （因式分解法）
解：（1）x﹣5=±4，所以x1=1，x2=9；
（2）x2+8x=9，x2+8x+16=25，（x+4）2=25，x+4=±5，所以x1=1，x2=﹣9；
（3）△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56，x=，所以x1=，x2=；
（4）2x（x+5）=0，2x=0或x+5=0，所以x1=0，x2=﹣5．
22.(8分)如图四边形ABCD是☉O的内接四边形,四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠E=40°,∠F=50°,连接BD.
(1)求∠A的度数;
(2)当☉O的半径等于2时,请直接写出的长(结果保留π).
解:(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠DCE=∠A.∵∠EDF=∠A+∠F=∠A+50°,
∠EDF+∠DCE+∠E=180°,∴∠A+50°+∠A+40°=180°,∴∠A=45°.
(2)连接OB,OD,如图.∵∠BOD=2∠A=90°,∴的长为=π.
23.(8分)阅读下列材料:
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程.例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;
(2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系.
解：(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)由题意知圆心为C(2,0),半径为2,
∵A(3,-1),∴AC=<2, ∴点A在☉C内部.
24.(12分)如图14①所示,OA是☉O的半径,D为OA上的一个动点,过点D作线段CD⊥OA交☉O于点F,过点C作☉O的切线BC,B为切点,连接AB,交CD于点E.
(1)求证:CB=CE;
(2)如图②,当点D运动到OA的中点时,CD刚好平分,求证:△BCE是等边三角形;
(3)如图③,当点D运动到与点O重合时,若☉O的半径为2,且∠DCB=45°,求线段EF的长.
解:(1)证明:如图①,连接OB.∵CB为☉O的切线,切点为B,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,∴∠OBA+∠CBE=90°.∵OA=OB,∴∠DAE=∠OBA.∵CD⊥OA,∴∠DAE+∠DEA=90°,∴∠DEA=∠CBE.又∵∠CEB=∠DEA,∴∠CEB=∠CBE,∴CB=CE.
(2)证明:如图②,连接OF,OB.在Rt△ODF中,OF=OA=2OD,∴∠OFD=30°,∴∠DOF=60°.
∵CD平分,∴∠AOB=2∠AOF=120°,∴∠C=360°-∠ODC-∠OBC-∠AOB=60°.又∵CB=CE,∴△BCE是等边三角形.
（3）如图③,连接OB,∵BC是☉O的切线,∴∠OBC=90°.又∵∠DCB=45°,∴△OBC为等腰直角三角形,∴BC=OB=2,OC=2.又∵CB=CE,∴OE=OC-CE=OC-CB=2-2,
∴EF=DF-OE=2-(2-2)=4-2.
25．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2) 类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3) 提升：已知实数s，t满足且，求的值．
解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，；
（2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，，
∴；
（3）∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵
，∴或，当时，，
当时，，综上分析可知，的值为或．
26.（12分）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°．
【初步运用】
（2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长．
解：（1）∵AB=AC=AD，∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC=90°，∴，故答案为：；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，
∴，∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，∴；
（3）如图所示，、即为所求；
（4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=90°，
∴B在圆O上，，∴，∵OH⊥EF，∴，∴，∴，∴，∴，即
②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，在直角△BOC中BC=BD+CD=8，
∴，∵OE⊥BC，∴，∴DE=OF=2
，∴，∴
