第六章 平面向量综合
一、选择题
1．（2023高二上·朝阳开学考）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．（2023高二上·朝阳开学考）已知，，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·朝阳开学考）已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·柳州开学考）在平行四边形ABCD中，＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．3 D．4
7．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2023·海盐开学考）已知平面向量，，，若∥，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·）已知向量，，若是在上的投影向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·深圳月考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高三上·深圳月考）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，是边的中点，是的中点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二上·吉林开学考）已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（ ）
A．2 B． C． D．
14．（2023高三上·广州月考）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．-1
15．（2023高三上·深圳月考）已知向量，，若，则（ ）
A．0或2 B．2 C．0或 D．
16．（2023高一下·浦东期末） 下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
17．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
18．（2023高一下·湖南期末）在三角形中，若D，E分别为边，上的点，且，，与交于点O，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023高一下·河北期末）已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023高二下·保山期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
21．（2023高二上·朝阳开学考）向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
22．
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
23．如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.
（1）若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；
（2）求的取值范围.
24．（2023高二上·柳州开学考）已知＝（2，1），||＝2．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若（5﹣2）⊥（+），求与的夹角．
25．（2023·）已知向量与的夹角为，且，是单位向量．
（1）分别求和的值；
（2）若与共线，求．
26．（2023·）如图，在△ABC中，，，，点D，E分别在，上且满足， ，点在线段上．
（1）若，求；
（2）若，且求；
（3）求的最小值．
27．（2023高三上·深圳月考）已知平面向量，.
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求；
（3）若，求与夹角的余弦值.
28．在直角坐标系中，是坐标原点，向量，其中．
（1）若与的夹角为，求的值；
（2）若，求的最小值．
29．（2023高一下·保山期末）如图所示，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.
（1）用，表示，；
（2）如果且，求的余弦值.
30．（2023高一下·汕尾期末）已知点，，.
（1）若，是实数，且，求的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，由，得，，求得，.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，坐标，根据坐标运算求出 ，进而求.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设，由 得 ，即，求得，.
故答案为：D.
【分析】根据向量坐标运算求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： ，，N为BC中点，，.
故答案为：C.
【分析】结合平行四边形法则和向量减法运算法则求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ， 则，即，
所以 在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算的几何意义可得，进而结合投影向量的定义运算求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设与交点为，．
故答案为：Ｃ.
【分析】设与交点为，结合平行四边形性质化简判断.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 ， .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据向量模长公式求.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，即，由已知，可得.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，结合已知条件可得.
8．【答案】C
【解析】【解答】解： ，又∥，，求得 ，，.
故答案为：C.
【分析】先求出，再根据共线向量性质求，进而求的值.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，
可知在上的投影向量，所以 .
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为为，，，
故答案为：B.
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可.
11．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论.
12．【答案】D
【解析】【解答】解： 是边的中点，，又 是的中点， ， ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的加法和平行四边形法则求解.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：不妨以为基底向量，由题意可知：，
可得，，
所以.
故答案为：C.
【分析】先用表示，再根据题意结合数量积的运算律运算求解.
14．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 为的重心 ，则
又因为在中，，
所以，
则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据重心的性质可知，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：由向量，可得
由 可得，即解得或
故答案为：C.
【分析】利用向量加法的坐标运算可得的坐标，再利用向量垂直的坐标表示可得，求解可得m的值.
16．【答案】B
【解析】【解答】A、 若，只能得到与的长度相等， A错误；
B、 若，且与的方向相同， ，B正确；
C、 只有平面上所有单位向量的起点移到同一点时，其终点在同一个圆上，C错误；
D、 当时，，与方向不一定相同或相反 ，D错误.
故答案为：B
【分析】根据向量的模定义、向量的相等定义、共线向量定义逐一判断选项.
17．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，，所以，，又因为，故存在实数，使得，所以解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算先求，以及，再根据，故存在实数，满足，列方程组求解即可.
18．【答案】C
【解析】【解答】解：对A：因为 ，， 则，，
可得，
所以，故A正确；
对B：过点E作，交DB于点F，则，
因为 ，则，所以，即，
所以，故B正确；
对D：因为，
所以
，故D正确；
对C：因为，，
所以，则，
所以，可得，
所以，故C错误.
故答案为：C.
【分析】对A：根据题意结合三角形的面积公式分析判断；对B：过点E作，交DB于点F，根据平行线的性质分析判断；对C、D：根据题意结合向量的线性运算分析判断.
19．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，
根据向量夹角公式得，由于，∴向量与向量的夹角为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件先求向量的模，再化简即可求得，最后利用向量夹角公式求解即可.
20．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，由图形可知：与是相反向量，故A错误；
B、
由已知易得：（如图）AC=AE=EC，AD平分∠EAC，点H是EC的中点，AH= AD，
所以，故B错误；
C、由图形可得：，
，
所以，故C错误；
D、
由图知：，，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的特点，利用向量的线性运算，数量积公式，平行四边形法则等即可求解。
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
【解析】【分析】(1)根据向量的减法求 ，再根据模长公式求；
(2)取二次函数的对称轴时，取最小值解不等式求出的范围，再求夹角的取值范围.
22．【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
23．【答案】（1）解：，
；
（2）解：直接转化
设，，则
，
∵，故的取值范围是.
【解析】【分析】(1)根据题意结合向量的线性运算求解；
(2)以为基底向量，结合数量积的运算分析求解.
24．【答案】（1）解：∵＝（2，1），由∥，可设＝（2λ，λ），
再根据||＝2＝，求得λ＝±2，
∴＝（4，2）或（﹣4，﹣2）．
（2）解：若（5﹣2）⊥（+），
则（5﹣2） （+）＝5+3·﹣2＝25+3·﹣40＝0，
∴·＝5．
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则×2×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝．
【解析】【分析】 (1)根据向量平行设＝（2λ，λ）， 结合模长公式求解λ即可；
(2)根据向量数量积运算得（5﹣2） （+）＝0，求得·＝5，进而求与夹角 .
25．【答案】（1）解：，
（2）解：若与共线，则存在，使得，
即，又因为向量与不共线，
所以，解得，所以
【解析】【分析】 (1) 根据数量积的定义以及数量积的运算律运算求解；
(2)根据题意结合向量共线的判定定理分析运算.
26．【答案】（1）解：点在线段上，则，使得，t>0，
则，又，，
故，根据题干可知：，，于是
（2）解：，由，，且，
故，又由，，，代入数据可得t=1 ，故.
（3）解：取中点，
则，由，于是，
由，，故为等边三角形，故，根据中位线可知，//，于是，在中根据余弦定理可得，
为锐角，又，故过作的高线时，垂足点落在线段上，由题意垂足点为时，最小.最小值为
，，
在中，根据余弦定理可求得，
即，故的最小值为.
【解析】【分析】(1)设 ，使得，t>0， 结合向量的线性运算可得 ， 列式求解即可；
(2)根据向量垂直可得 ，结合（1）中结论运算求解；
(3)根据题意分析可知 过作的高线 ， 垂足点为时，最小 ，进而根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解.
27．【答案】（1）解：因为，所以，解得：.
（2）解：因为，所以，解得：.
所以，，
则.
（3）解：当时，，所以，
所以，
则与夹角的余弦值是.
【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标公式即可求得答案；
（2）根据向量垂直的坐标公式及向量的模运算可得答案；
（3）先求出的坐标，再由向量的数量积坐标公式运算即可得出结论.
28．【答案】（1）解：由题意知向量，
因为与的夹角为，所以，
即，
解得（负值舍去）
（2）解：因为，
又，则，即，
即得，
又，故，
当且仅当且，即时取得等号，
所以
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示即可求得，从而得解；
（2）利用两个向量互相垂直即有，可求得，再用巧用“1”方法解基本不等式即可得出其 的最小值 .
29．【答案】（1）解：，
（2）解：
，
，
【解析】【分析】（1）利用向量加法、减法的三角形法则，结合向量的线性运算即可；
（2）利用向量模的公式求出，，再利用向量夹角公式进行计算可得 的余弦值.
30．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，，故
∵
∴
解得
（2）解：∵，，，
∴，
故与的夹角的余弦值为
【解析】【分析】 (1) 先求得，再根据向量垂直的坐标表示运算求解；
(2) 先根据坐标运算求得，，，再代入向量夹角公式运算求解.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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