22.2一元二次方程的解法 同步练习 2023-2024华东师大版九年级数学上册
一．选择题（共10小题）
1．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
2．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0
C．x2﹣3x+3＝0 D．x2+2x+2＝0
3．已知关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（ ）
A．10 B．25 C．﹣25 D．±25
4．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根，则这两个根的和是（ ）
A．6 B．3 C．﹣6 D．﹣9
5．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
6．关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．6或10
8．若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2mx+m＝1有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2且m≠﹣2 B．m≤2 C．m≤1且m≠﹣2 D．m≥2
9．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣3x+b不经过第一象限，则关于x的方程bx2+x+2023＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
10．已知a，b是一元二次方程x2+2023x+1＝0的两个实数根，求的值（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．±2023
二．填空题（共5小题）
11．方程（x﹣3）2＝1的根为 ．
12．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于 ．
13．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2+ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是a＝ ，b＝ ．
15．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣8x﹣9＝0；
（2）3x2﹣6x+1＝0．
17．关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有实数根，试求k的取值范围．
19．已知等边三角形ABC的边AB、AC的长分别是关于x的方程x2﹣mx+9＝0的两个实数根．
（1）求m的值．
（2）求△ABC的面积．
20．已知关于x的方程2x2﹣（k﹣1）x＝﹣k2有两个实数根x1、x2．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在k，使得+＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
22.2一元二次方程的解法 同步练习 2023-2024华东师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
2．【解答】解：在方程x2﹣x﹣1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
在方程x2﹣6x+5＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×5＝16＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
在方程中，Δ＝＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；
在方程x2+2x+2＝0中，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，故D选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：由题意得，
Δ＝（﹣10）2﹣4×1×m＝0
解得m＝25．
故选：B．
4．【解答】解：设x1与x2是一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝6．
故选：A．
5．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1．
故选：A．
6．【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+6＝0中，
a＝1，b＝﹣5，c＝6，
Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×1×6＝1＞0，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；
当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是4+4+2＝10．
故选：A．
8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2mx+m＝1有实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m+2）（m﹣1）≥0且m+2≠0，
解得m≤2且m≠﹣2．
故选：A．
9．【解答】解：∵直线y＝﹣3x+b不经过第一象限，
∴b≤0，
当b＝0时，方程bx2+x+2023＝0是一次方程，有一个根，
当b＜0时，
∵关于x的方程bx2+x+2023＝0，
∴Δ＝12﹣4b×2023＞0，
∴关于x的方程bx2+x+2023＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
10．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2023x+1＝0的两个实数根，
∴a+b＝＝﹣2023，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝＝＝﹣（）＝﹣＝2023．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：（x﹣3）2＝1，
则x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得x1＝4，x2＝2，
故答案为：x1＝4，x2＝2．
12．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝1，m2﹣m＝2，
则原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3
13．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0．
解得m≥0且m≠1．
故答案为m≥0且m≠1．
14．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+ax+b＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝b，
∵x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴﹣a＝3，b＝1，
即a＝﹣3，b＝1．
故答案为：﹣3，1．
15．【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故答案为：3或4．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）因式分解得（x+1）（x﹣9）＝0，
∴x+1＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝9；
（2）∵a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×1＝36﹣12＝24＞0，
∴，
∴，．
17．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0中，
Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（2k+4）＝k2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝（x﹣2）（x﹣k﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+2．
∵方程有一根小于1，
∴k+2＜1，解得：k＜﹣1，
∴k的取值范围为k＜﹣1．
18．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1，
∴k的取值范围为k≤﹣1．
19．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵边AB、AC的长分别是关于x的方程x2﹣mx+9＝0的两个实数根，
∴Δ＝0，
∴m2﹣36＝0，
∴m＝±6，
∵AB+AC＝m＞0，
∴m＝6；
（2）∵AB+AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝3，
∴△ABC的面积＝×32＝．
20．【解答】解：（1）2x2﹣（k﹣1）x＝﹣k2整理得2x2﹣（k﹣1）x+k2＝0，
根据题意得Δ＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×2×k2≥0，
解得k≤；
（2）成立．
根据题意得x1+x2＝，x1 x2＝k2，
∵+＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝，
∴（）2﹣k2＝，
整理得k2﹣4k﹣12＝0，
解得k1＝6，k2＝﹣2，
∵k≤，
∴当k＝﹣2时，+＝成立．
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