2023-2024学年云南省文山州丘北县九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
2．如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
4．如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其内角是否均为直角
D．测量对角线是否垂直
6．用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
7．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是方程x2﹣12x+11＝0的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．11 B．21 C．11或21 D．11或1
8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
10．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75° B．45° C．60° D．30°
11．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个实数根m，n，那么一次函数y＝mnx+m+n的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
二、填空题（每小题2分，共8分）
13．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
14．若正方形的一条对角线长为，则该正方形的周长为 ．
15．某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．
三、解答题：（共9题，共56分）
17．解方程：（x+2）2﹣x﹣2＝0．
18．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE，CF．求证：∠AEB＝∠F．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥BC，且DE，CE交于点E，连接AE，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
21．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2＝a2+b2+2ab﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
（1）若a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝ ；
（2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8﹣m＝a，8﹣m＝a，m﹣3＝b，
则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3，
所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
请参照上述方法解决下列问题：若（3x﹣2）（10﹣3x）＝6，求（3x﹣2）2+（10﹣3x）2的值；
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是 ．
23．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
24．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
解：A、 ABCD中，本来就有AB＝CD；故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD＝CB；故本选项错误；
C、 ABCD中，AB＝BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形；故本选项正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
【分析】根据各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形，结合活动场所的面积为1750平方米，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，且绿化带的宽度为x米，
∴被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形．
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．
解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出BC的长是解题的关键．
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其内角是否均为直角
D．测量对角线是否垂直
【分析】由矩形的判定和平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项B不符合题意；
C、其内角是否均为直角，能判定矩形，故选项C符合题意；
D、对角线是否垂直，不能判定形状，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟记矩形的判定是解题的关键．
6．用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
【分析】先化二次项的系数为1，然后把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．
解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
【点评】本题考查的是用配方法解方程，把二次项系数化为1，然后把方程的左边化为完全平方的形式，右边为非负数．
7．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是方程x2﹣12x+11＝0的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．11 B．21 C．11或21 D．11或1
【分析】利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．
解：方程x2﹣12x+11＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣11）＝0，
所以x﹣1＝0或x﹣11＝0，
解得：x＝1或x＝11，
当第三边为11时，10＜11，不能构成三角形，舍去，
当第三边为1时，该三角形周长为10+1＝11．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】首先由翻折的性质得BE＝EG，设AE＝x，则BE＝EG＝6﹣x，然后在Rt△AEG中由勾股定理求出x即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，∠A＝∠B＝90°，
由翻折的性质得：BE＝EG，
设AE＝x，则BE＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴EG＝BE＝6﹣x，
∵点G为AD的中点，
∴AG＝4，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：EG2﹣AE2＝AG2，
即：（6﹣x）2﹣x2＝42，
解得：，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，图象的折叠变换及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图象的折叠变换及性质．
9．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【分析】设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份拼搏进取的留言，根据小明所在的小组共写了30份留言，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份拼搏进取的留言，
依题意得：x（x﹣1）＝30，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
∴该小组共有6人．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75° B．45° C．60° D．30°
【分析】首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B＝∠D＝60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF的度数．
解：连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB＝AC，AD＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
11．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个实数根m，n，那么一次函数y＝mnx+m+n的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先利用公式法求出方程的两个解，从而求出m+n和mn的值，代入一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质解答即可．
解：x2﹣2x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）
＝4+12
＝16＞0，
∴方程由两个不相等的实数根，
∴，
x1＝3，x2＝﹣1，
∴x1+x2＝3+（﹣1）＝2，
x1 x2＝3×（﹣1）＝﹣3
∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
∴一次函数y＝mnx+m+n为y＝﹣3x+2，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的一般步骤和一次函数图象及性质．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】先观察数轴，根据m，n在数轴上的位置，判断其正负，再求出方程根的判别式，根据m，n的值判断判别式的大小，进行解答即可．
解：观察数轴可知：m＞0，n＜0，
∴m2＞0，﹣4n＞0
∴x2﹣mx+n＝0，
a＝1，b＝﹣m，c＝n，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式和数轴，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
二、填空题（每小题2分，共8分）
13．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
14．若正方形的一条对角线长为，则该正方形的周长为 8 ．
【分析】根据对角线长求出边长，即可求出周长．
解：设正方形的边长为a，
∵对角线长为2，
∴2a2＝（2）2，
解得：a＝2或﹣2（不符合题意，舍去），
∴正方形的周长为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
15．某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为 10% ．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得，
7200（1﹣x）2＝5832，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 （）n﹣1 ．
【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC2＝12+12，AC＝；
同理可求：AE＝（）2，HE＝（）3…，
∴第n个正方形的边长an＝（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．
三、解答题：（共9题，共56分）
17．解方程：（x+2）2﹣x﹣2＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
解：（x+2）2﹣x﹣2＝0，
（x+2）（x+2﹣1）＝0，
x+2＝0或x+2﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE，CF．求证：∠AEB＝∠F．
【分析】由菱形的性质得AD∥BC，AB＝BC，再由平行线的性质得∠A＝∠CBF，然后证△ABE≌△BCF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠F．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝2，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
解：（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+2）
＝（m+1）2，
∵无论m取何值，（m+1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，
∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝﹣1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥BC，且DE，CE交于点E，连接AE，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
【分析】根据平行四边形 的判定和性质度量以及菱形的判定定理即可得到结论．
解：四边形ADCE是菱形，
证明：∵CE∥BD，DE∥BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∴BD＝CE，
在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BC＝AB，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
21．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2＝a2+b2+2ab﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
（1）若a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝ 37 ；
（2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8﹣m＝a，8﹣m＝a，m﹣3＝b，
则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3，
所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
请参照上述方法解决下列问题：若（3x﹣2）（10﹣3x）＝6，求（3x﹣2）2+（10﹣3x）2的值；
【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入数据即可；
（2）根据以上材料即可解答．
解：（1）根据学习小组发现可知：
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
当a+b＝7，ab＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×6
＝49﹣12
＝37，
故答案为：37；
（2）∵（3x﹣2）（10﹣3x）＝6，
∴（3x﹣2）+（10﹣3x）＝8，
∴（3x﹣2）2+（10﹣3x）2
＝[（3x﹣2）+（10﹣3x）]2﹣2×（3x﹣2）（10﹣3x）
＝64﹣12
＝52．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，理解公式并能灵活运用是关键．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是 4 ．
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD＝×4×2＝4．
故答案为：4．
【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
23．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？
【分析】（1）利用每天的销售量＝30+3×每箱“特色农产品”的售价降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每箱“土特产”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40﹣x）元，每天可售出（30+3x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论．
解：（1）30+3×3＝39（箱）．
答：每天的销售为39箱；
（2）设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40﹣x）元，每天可售出（30+3x）箱，
根据题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵为尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每箱“特色农产品”的售价需降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，可得DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，结合，再解方程并检验即可；
（2）由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，可得PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2，由△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，可得DQ＝PQ，建立方程（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2，再利用方程根的判别式可得答案．
解：（1）由题意可得：AQ＝t，BP＝2t，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，
∴DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，
∴，
∴t2﹣7t+6＝0，
解得：t＝1或t＝6；
∵0≤t≤3，
∴t＝6不符合题意，则t＝1，
∴当t＝1s时，△PQD的面积为6cm2．
（2）不存在t使△PDQ为等腰三角形．
由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，
∴PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2，
∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，
∴DQ＝PQ，
∴（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴方程无解，
∴不存在t使△PDQ为等腰三角形．
【点评】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键．
