2023-2024学年苏科新版八年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC
3．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（ ）
A．12 B．4 C．12或4 D．6或10
4．下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（ ）
A．9 B．41 C．9或41 D．不确定
6．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题
B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理
D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
7．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成的两个小三角形也是等腰三角形，则原△ABC的顶角的度数有几种情况？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．5的平方根是 ；0.027的立方根是 ．
10．已知在△ABC中，∠A＝40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 ．
11．三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等．
12．△ABC中，AB＝7，AC＝24，BC＝25，则∠A＝ 度．
13．如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为 ．
14．如图，锐角△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，NE＝6，则△EAN的周长为 ．
15．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是 cm．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．如图，在正方形网格中，每个小方格的边长都为1，△ABC各顶点都在格点上．若点A的坐标为（0，3），请按要求解答下列问题：
（1）在图中建立符合条件的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′．
18．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：
①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？
19．如图，四边形ABCD为正方形纸片，点E是CD的中点，若CD＝4，CF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？试说明理由．
20．已知：2x+y+7的立方根是3，16的算术平方根是2x﹣y，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
21．如图，在等边△ABC中，点D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），CD＝DE，∠BDE＝120°．点F是线段BE的中点，连接DF、CF．
（1）请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
（2）若AB＝4，求线段CF长度的最小值．
22．如图，一架梯子AB长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
23．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．
（1）求证：BF＝CG
（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．
24．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．
（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
25．综合与实践
【问题情境]
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ；
A．SSSB．AASC．SASD．HL
（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
[灵活运用]
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交 AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，直接写出你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．解：A、若添BC＝EC即可根据SAS判定全等；
B、若添∠A＝∠D即可根据ASA判定全等；
C、若添DE＝AB则是SSA，不能判定全等；
D、若添∠DEC＝∠ABC即可根据AAS判定全等．
故选：C．
3．解：根据题意，
①当12是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10，所以腰长为4；
②当9是腰长与腰长一半时，AC+AC＝9，解得AC＝6，所以腰长为12，
∵6+6＝12，
∴不符合题意．
故腰长等于4．
故选：B．
4．解：A、＝﹣＝﹣2，正确；
B、原式＝﹣＝﹣，错误；
C、原式＝|﹣3|＝3，错误；
D、原式＝6，错误，
故选：A．
5．解：当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41；
当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9．
故第三边的平方为9或41，
故选：C．
6．解：A．任何命题都有逆命题，所以A选项不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定是正确的，所以B选项不符合题意；
C．任何定理不一定有逆定理，所以C选项符合题意；
D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，所以D选项不符合题意；
故选：C．
7．解：如图所示：
，
最多可以画出4个．
故选：C．
8．解：设该等腰三角形的底角是x；
①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD，
设∠A＝x°，
则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°，
∴∠BCD＝∠B＝x°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴x+x+x+x＝180，
解得x＝45，
则顶角是90°；
②如图2，
AC＝BC＝BD，AD＝CD，
设∠B＝x°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，
∴∠ACB＝3x°，
∴x+x+3x＝180，x＝36°，则顶角是108°．
③如图3，
当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD，
设∠C＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝2x°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
x＝36°，
则顶角是36°．
④如图4，
当∠A＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，
AD＝BD，BC＝DC，
∠A＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x，
则x+3x+3x＝180°，
x＝，
因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．解：5的平方根是±，0.027的立方根是0.3，
故答案为：，0.3．
10．解：如图1所示：当DA＝DC时，
∵∠A＝40°，
∴∠ABD＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°，
当BD＝BC1时，∠BC1D＝∠BDC1＝80°；
当DB＝DC2时，∠DBC2＝∠DC2B＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
当BC3＝DC3时，∠BC2D＝180°﹣80°×2＝20°；
如图2所示：当AB＝AD时，
∵∠A＝40°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，
当DB＝DC4时，∠DBC4＝∠DC4B＝（180°﹣110°）÷2＝35°；
如图3所示：当AB＝DB时，
∵∠A＝40°，
∴∠ADB＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
当DB＝DC5时，∠DBC5＝∠DC5B＝（180°﹣140°）÷2＝20°．
综上所述，∠C的度数可能是80°或50°或20°或35°或20°．
故答案为：80°或50°或20°或35°或20°．
11．解：由角平分线性质可知：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等，
故所给命题是假命题．
故本题答案为：×．
12．解：∵△ABC中，AB＝7，AC＝24，BC＝25，
∴72+242＝252即BC2＝AB2+AC2，
∴三角形ABC是直角三角形．
∴∠A＝90°．
13．解：直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1＝OB＝，
在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B＝，
过点O作高，交A1B与M，连接AM，
则△AOM是直角三角形，则AM＝A1B＝，
OM＝＝，
∴△OA1B的面积是．
14．解：（1）∵点E、N分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴BE＝AE，AN＝CN．
∴△AEN的周长＝AE+AN+EN＝BE+NC+EN＝BC+2NE＝12+12＝24；
故答案为24
15．解：8是斜边时，第三边长＝2cm；
8是直角边时，第三边长＝10cm．
故第三边应该是10或2cm．
16．解：过B作BG⊥BC，且BG＝BA，连接GE，
∵AD⊥BC，
∴GB∥AD，
∴∠GBA＝∠BAD，
∵GB＝AB，BE＝AF，
∴△GBE≌△BAF（SAS），
∴GE＝BF，
∴BF+CE＝GE+CE≥GC，
∴当G、E、C三点共线时，BF+CE＝GC最小，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
在Rt△BCG中，GC＝，
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：（1）如图所示：
（2）如图所示，点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（1，1）；
（3）如图所示，△A′B′C′即为所求．
18．解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择①③证明．
∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°，
答：∠BOC的度数为120°．
19．解：图中的有4个直角三角形，它们为Rt△ADE，Rt△ABF，Rt△CEF，Rt△AEF．
理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝AB＝CD＝4，
∴△ADE、△ABF和△CEF都为直角三角形，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝2，
∵CF＝1，
∴BF＝3，
在Rt△ADE中，AE2＝22+42＝20，
在Rt△CEF中，EF2＝22+12＝5，
在Rt△ABF中，AF2＝32+42＝25，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF为直角三角形．
20．解：（1）依题意，
解得：；
（2）x2+y2＝36+64＝100，100的平方根是±10．
21．解：（1）线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，理由如下：
延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图1所示：
∵点F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，
，
∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，
∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，
∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD＝DM＝2DF；
（2）连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，如图2所示：
∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴点F的轨迹为射线NF，且∠CNF＝30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB＝BC＝4，
∴CN＝2，
在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
∴CF＝CN＝1，
∴线段CF长度的最小值为1．
22．解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO＝＝＝8（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有8米高；
（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为OA′＝8﹣2＝6（米），
根据勾股定理：OB′＝＝＝8（米），
∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），
答：当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了2米．
23．（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵ED⊥BC，D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG．
（2）解：在Rt△AEF和Rt△AEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，
∴2AF＝8，
∴AF＝4．
24．解：（1）EC＝AC，理由如下：
由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，
当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，AC＝EB，
∴四边形ABEC是正方形，
∴EC＝AC．
（2）AC﹣EC＝DC，理由如下：
如图2，作DF⊥BC交AC于点F，则∠CDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴DF＝DC，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴AF＝EC，
∴AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC，
∵FC＝＝＝DC，
∴AC﹣EC＝DC.
（3）如图3，点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
由（2）得∠DFC＝45°，△ADF≌△EDC，AC﹣EC＝CD，
∴∠ECD＝∠AFD＝180°﹣∠DFC＝135°，
∴∠GCE＝180°﹣∠ECD＝45°，
∵AB＝AC＝4，CD＝1，
∴EC＝AC﹣DC＝4﹣×1＝3，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC sin∠GCE＝EC sin45°＝3×＝3，
∴S△DCE＝CD EG＝×1×3＝；
如图4，点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵∠CDF＝90°，∠DCF＝∠ACB＝45°，
∴∠F＝∠DCF＝45°，
∴FD＝CD，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°+∠ADC，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，
∵FC＝＝＝DC，
∴EC＝AF＝AC+CF＝4+×1＝5，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC sin∠GCE＝EC sin45°＝5×＝5，
∴S△DCE＝CD EG＝×1×5＝，
综上所述，△DCE的面为或．
25．解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：C；
（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∵AD＝AE，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：
∵AE＝EF．EF＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝5，
故线段BF的长为5；
（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2，理由如下：
延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，如图3所示：
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CG2+CF2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
