第二十二章 二次函数
一、选择题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x﹣1
C．y＝2x2﹣3x+1 D．y＝2x2﹣3x3
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（0，4） B．（0，－4） C．（－3，0） D．（3，0）
3．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大
B．二次函数中，当时，y有最大值0
C．a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点
5．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上.若抛物线经过点，则菱形的面积为（ ）.
A．15 B．20 C．25 D．30
7．赵州桥的桥拱近似为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为，当水面离桥拱顶的高度DO为时，水面宽度AB为（ ）.
A．-10m B． C． D．
8．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1.其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．函数，当x 时，函数值y随x的增大而增大.
10．把二次函数y＝x2﹣4x+3的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度后，此时抛物线相应的函数表达式是 .
11．抛物线与x轴交点坐标是 ．
12．若抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的解为 .
13．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．
三、解答题
14．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 .将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ，求b的值.
15．已知：如图，在直角坐标系中，抛物线y=(x-1)2与x轴交于点A，与抛物线y=x2交于点B，过点B作BC∥x轴，点C在抛物线y=(x-1)2上，连结OB，AC．
（1）求证：BC=OA．
（2）求四边形OACB的面积．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为．求m的值．
17．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米.设，矩形的面积为.
（1）可表示为 ；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由.
18．我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买
（2）求该专卖店当一次销售x只时（），所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．C
5．D
6．B
7．D
8．C
9．x＞1
10．y＝（x+1）2﹣2
11．（3，0），（-1，0）
12．
13．4
14．解：∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 .
∴原抛物线经过 ，
把 代入 可得： ，
∴ .
15．（1）解：∵抛物线y=(x-1)2由抛物线y=x2向右平移1个单位得到，
∴点O的对应点是点A，OA=1，
∵BC∥OA，
∴点B的对应点为点C，
∴BC=OA；
（2）由得，
∴两抛物线的交点坐标B（，），
∵BC∥OA，BC=OA=1，
∴四边形OACB是平行四边形，
∴S四边形OACB =1×=.
16．（1）解：将，代入得：
，
解得，
∴．
（2）解：由（1）可令，
解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为，，
∵抛物线开口向上，
∴根据图象可知当或时，点P在x轴上方．
（3）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
∴，
解得，
当时，点P为最低点，
将代入得，
∴，
解得（舍），，
∴或．
17．（1）36-3x
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是108
（3）解：能
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米.
18．（1）解：设一次购买x只，则，
解得，
∴一次至少买50只，才能以最低价购买；
（2）解：当时，
当时，；
（3）解：∵，
当时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大；
当时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小；
∴当时，最大利润为，
∴店主一次卖的只数在10至50只之间，一次卖45只获得的利润最大，其最大利润为元.
